丁力棟，丁曉唐，袁 存

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098)

混凝土斷裂能的統(tǒng)計(jì)模型和標(biāo)準(zhǔn)值研究

丁力棟，丁曉唐，袁 存

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098)

采用三點(diǎn)彎曲法測(cè)定不同工況的混凝土斷裂能，并就其中一個(gè)工況進(jìn)行大樣本試驗(yàn)。根據(jù)試驗(yàn)和收集文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)建立斷裂能基于混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑的雙因素統(tǒng)計(jì)模型，將該統(tǒng)計(jì)模型與其他統(tǒng)計(jì)模型對(duì)比發(fā)現(xiàn)，其預(yù)測(cè)能力更好。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析軟件SAS針對(duì)選用工況的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了4種概率分布、5種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，得到該工況斷裂能最符合的概率分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，從而計(jì)算得到具有95%保證率的斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值GFk=66.0 N/m。

混凝土；斷裂能；統(tǒng)計(jì)模型；概率分布；標(biāo)準(zhǔn)值

混凝土斷裂能作為裂縫穩(wěn)定性的判據(jù)，是非線性斷裂力學(xué)在有限元分析計(jì)算中應(yīng)用的重要參數(shù)，雖然國(guó)際材料和實(shí)驗(yàn)室聯(lián)合會(huì)[1]已經(jīng)推薦了實(shí)驗(yàn)室內(nèi)測(cè)定混凝土斷裂能的方法，但在工程現(xiàn)場(chǎng)預(yù)留出測(cè)定斷裂能的試件還是有一定難度，因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一些用于預(yù)測(cè)混凝土斷裂能的統(tǒng)計(jì)模型。徐道遠(yuǎn)[2]等和高泉[3]等研究了齡期對(duì)混凝土斷裂能的影響，推導(dǎo)出了斷裂能與齡期有關(guān)的統(tǒng)計(jì)模型。Wittman[4]研究了混凝土斷裂能隨混凝土強(qiáng)度的變化，擬合出了斷裂能與混凝土強(qiáng)度之間的關(guān)系式。目前僅1990 CEB-FIP模式規(guī)范[5]列出了關(guān)于混凝土強(qiáng)度和骨料最大粒徑的斷裂能估算值表，但國(guó)外規(guī)范的混凝土強(qiáng)度等級(jí)是按照?qǐng)A柱體抗壓強(qiáng)度劃分的，不便于國(guó)內(nèi)使用。本文針對(duì)不同混凝土強(qiáng)度等級(jí)，不同粗骨料最大粒徑的斷裂能進(jìn)行了研究，同時(shí)考慮到混凝土的離散性大，收集了文獻(xiàn)中國(guó)內(nèi)外較新的斷裂能研究試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)作為一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，建立了混凝土斷裂能基于混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑的雙因素統(tǒng)計(jì)模型，并分析了其預(yù)測(cè)能力。

目前應(yīng)用有限元軟件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析計(jì)算越來(lái)越關(guān)注結(jié)構(gòu)的損傷發(fā)展，在有限元軟件ABAQUS的混凝土塑性損傷模型CDP中，需要應(yīng)用混凝土斷裂能這一參數(shù)。然而根據(jù)樣本數(shù)量較小的試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的斷裂能平均值并不能在設(shè)計(jì)施工中保證實(shí)際結(jié)構(gòu)的安全性，本文提出了斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值的概念以提高結(jié)構(gòu)的可靠度。在計(jì)算斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值之前，需進(jìn)行大樣本試驗(yàn)確定斷裂能的概率分布，不同的概率分布對(duì)應(yīng)不同的概率密度曲線，某一保證率下的斷裂能也各不相同。本文對(duì)混凝土斷裂能的概率分布和斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行了研究。

1 混凝土斷裂能試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文采用國(guó)際材料和實(shí)驗(yàn)室聯(lián)合會(huì)推薦的帶缺口的三點(diǎn)彎曲梁試件測(cè)定混凝土斷裂能，試件長(zhǎng)515 mm，寬100 mm，高100 mm，初始縫寬為3 mm，縫高比為0.3，跨高比為4。試驗(yàn)采用反向加載以消除試件自重的影響，因此需對(duì)國(guó)際材料和實(shí)驗(yàn)室聯(lián)合會(huì)給出的斷裂能計(jì)算公式進(jìn)行修正，修正后的公式為

式中，GF為計(jì)算得到的混凝土斷裂能；W0為外力做的功，等于荷載-撓度曲線下的面積；m＝m1+2m2，m1為梁支座之間的重量，m2為與試驗(yàn)機(jī)不相連，但直到試件破壞都加在試件上的加載裝置的質(zhì)量；A為斷裂韌帶的面積；δ0為梁最終破壞時(shí)的變形值。

為了得到混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑對(duì)混凝土斷裂能的影響規(guī)律，并提出混凝土斷裂能基于混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑的雙因素統(tǒng)計(jì)模型，試驗(yàn)分為C20、C30、C40、C50四種混凝土強(qiáng)度等級(jí)，9.5、16、25 mm三種粗骨料最大粒徑，共計(jì)12種工況，每種工況澆注4根三點(diǎn)彎曲梁試件用于測(cè)定斷裂能，同時(shí)澆注3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)立方體試件用于測(cè)定立方體抗壓強(qiáng)度。試驗(yàn)中水泥為中聯(lián)P·O42.5普通硅酸鹽水泥，粗骨料為碎石，細(xì)骨料為河砂，粗細(xì)程度屬于中砂，每個(gè)工況的配合比見(jiàn)表1。此外，為了研究混凝土強(qiáng)度C30，粗骨料最大粒徑dmax=9.5 mm的混凝土斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值，另外澆注了36個(gè)三點(diǎn)彎曲梁試件，配合比與表1中的C30-1工況相同。所有試件澆注成型后靜置48 h拆模，拆模后放入標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)室內(nèi)養(yǎng)護(hù)，由于澆注試件時(shí)在試模內(nèi)插入鋼片預(yù)制裂縫的效果不佳，因此本文試驗(yàn)試件的預(yù)制裂縫選擇在試驗(yàn)前采用切割機(jī)切割而成。

表1 混凝土配合比Tab.1 Mixture ratios of concrete

1.2 試驗(yàn)結(jié)果

表2列出了用于斷裂能影響因素和統(tǒng)計(jì)模型研究的12個(gè)工況的立方體抗壓強(qiáng)度平均值，荷載-撓度曲線中的最大荷載平均值與最大撓度平均值，以及根據(jù)荷載-撓度曲線計(jì)算得到的斷裂能平均值。表3列出了用于斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值研究的實(shí)測(cè)的36個(gè)三點(diǎn)彎曲梁試件的最大荷載、最大撓度和斷裂能，36個(gè)試件的斷裂能平均值GF=105.35 N/m，考慮到能量參數(shù)的離散性大，因此在表3中右上角以*號(hào)標(biāo)出了與斷裂能平均值相差50%的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在計(jì)算斷裂能平均值時(shí)未計(jì)入這部分?jǐn)?shù)據(jù)。

表2 用于斷裂能影響因素和統(tǒng)計(jì)模型研究的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.2 Test data used to research factors affecting fracture energy and statistical model

表3 用于斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值研究的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.3 Test data used to research characteristic values

2 斷裂能影響因素及統(tǒng)計(jì)模型

2.1 強(qiáng)度和骨料粒徑對(duì)斷裂能的影響

圖1 混凝土強(qiáng)度對(duì)斷裂能的影響Fig.1 Effect of concrete strength on fracture energy

圖2 粗骨料最大粒徑對(duì)斷裂能的影響Fig.2 Effect of maximum aggregate size on fracture energy

為了更直觀地表現(xiàn)出混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑對(duì)混凝土斷裂能的影響，將表2中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖的形式。圖1為混凝土斷裂能隨混凝土強(qiáng)度的變化曲線，從圖中可以看出當(dāng)混凝土強(qiáng)度不大于C50時(shí)，對(duì)于同一粗骨料最大粒徑，混凝土斷裂能隨混凝土強(qiáng)度的增加呈增大趨勢(shì)。這可解釋為，混凝土強(qiáng)度增加，砂漿與粗骨料的粘結(jié)力也隨之增加，因此混凝土斷裂所需的能量越大。圖2為混凝土斷裂能隨粗骨料最大粒徑的變化曲線，從圖中可以看出當(dāng)粗骨料最大粒徑不大于25 mm時(shí)，對(duì)于同一混凝土強(qiáng)度，混凝土斷裂能隨粗骨料最大粒徑的增加也呈增大趨勢(shì)。這是由于骨料對(duì)裂縫的擴(kuò)展存在阻礙作用，隨著骨料粒徑的增大，迫使開(kāi)裂路徑發(fā)生變化，裂縫因此變得曲折，混凝土斷裂能不斷提高[6]。

2.2 斷裂能統(tǒng)計(jì)模型

為了更準(zhǔn)確地建立混凝土斷裂能基于混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑的雙因素統(tǒng)計(jì)模型，首先查閱了大量國(guó)內(nèi)外較新的研究混凝土斷裂能方面的文獻(xiàn)，收集了65組可靠性較高的混凝土斷裂能實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1，具體數(shù)值及取值依據(jù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1中加入表2的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2。利用最小二乘法，分別根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2擬合得到的統(tǒng)計(jì)模型為式（2）與式（3），1990 CEB-FIP模式規(guī)范給出的統(tǒng)計(jì)模型為式（4）。

式中，fcm為圓柱體抗壓強(qiáng)度平均值。

圖3 斷裂能預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值線性擬合圖Fig.3 Linear fi t of predictive values and test values

為了衡量3個(gè)混凝土斷裂能統(tǒng)計(jì)模型預(yù)測(cè)能力的好壞，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2中混凝土抗壓強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑原始數(shù)據(jù)分別代入式（2）、（3）、（4），得到基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2和CEB-FIP模式規(guī)范3個(gè)統(tǒng)計(jì)模型的斷裂能預(yù)測(cè)值，并對(duì)斷裂能預(yù)測(cè)值=X和斷裂能實(shí)測(cè)值=Y的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果如圖3所示。理想情況下，即統(tǒng)計(jì)模型足夠精確，斷裂能預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值應(yīng)滿足此時(shí)擬合出的直線的斜率為1，截距為0。

由圖3可得，基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2和CEB-FIP模式規(guī)范3個(gè)統(tǒng)計(jì)模型線性擬合出的直線的斜率分別為1.08、0.99、0.79，截距分別為4.83、0.58、79.23。根據(jù)式（2）擬合的直線的斜率接近于1，截距接近于0，可以看出基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1建立的統(tǒng)計(jì)模型能較好地反映混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑對(duì)斷裂能的影響。根據(jù)式（3）擬合的直線的斜率更接近于1，截距更接近于0，說(shuō)明基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2建立的統(tǒng)計(jì)模型能更好地反映混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑對(duì)斷裂能的影響，另一方面也說(shuō)明了在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1中新加入的本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)提高了統(tǒng)計(jì)模型的精度。而相對(duì)于式（2）與式（3）的預(yù)測(cè)值，CEB-FIP模式規(guī)范給出的斷裂能統(tǒng)計(jì)模型預(yù)測(cè)值整體偏小。

3 斷裂能概率分布及標(biāo)準(zhǔn)值

3.1 斷裂能概率分布分析

為了得到混凝土強(qiáng)度C30，粗骨料最大粒徑dmax=9.5 mm的混凝土斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值，首先應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析軟件SAS對(duì)36個(gè)試件的斷裂能進(jìn)行了概率分布分析，為增加概率分布的可信度，本文選用了4種常見(jiàn)的概率分布以及針對(duì)每一種分布進(jìn)行了5項(xiàng)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。其中S-W檢驗(yàn)僅適用于正態(tài)分布，不適用于Weibull分布和Gamma分布，K-S檢驗(yàn)不適用于Weibull分布，當(dāng)樣本數(shù)量不大于2 000時(shí)，兩者以S-W檢驗(yàn)為準(zhǔn)，具體檢驗(yàn)結(jié)果如圖4以及表4所示。

圖4為根據(jù)斷裂能頻率分布直方圖擬合得到的4條概率分布曲線，表4中的數(shù)值為某一檢驗(yàn)針對(duì)該分布的實(shí)際顯著性水平P值，用于判定假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果。一般情況下，理論的顯著性水平α=0.05，如果P＜α=0.05則拒絕原假設(shè)。由圖4和表4可知，5種檢驗(yàn)均表明該工況斷裂能既服從正態(tài)分布又服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，但對(duì)數(shù)正態(tài)分布的P值大于正態(tài)分布的P值，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的符合程度就比正態(tài)分布高。C-M檢驗(yàn)和χ2檢驗(yàn)下不拒絕Weibull分布，除了S-W檢驗(yàn)之外的4種檢驗(yàn)都不拒絕Gamma分布，但對(duì)數(shù)正態(tài)分布的P值均高于或略低于兩種分布的P值，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的符合程度比Weibull分布和Gamma分布高。所以該工況斷裂能最符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值。

圖4 斷裂能概率分布Fig.4 Probability distribution of fracture energy

表4 斷裂能擬合優(yōu)度檢驗(yàn)Tab.4 Goodness-of- fi t tests of fracture energy

3.2 斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算

設(shè)隨機(jī)變量X表示某一個(gè)試件實(shí)測(cè)的混凝土斷裂能，當(dāng)X服從正態(tài)分布時(shí)，平均值μX=105.35 N/m，標(biāo)準(zhǔn)差σX=27.77 N/m，變異系數(shù)δX=σX/μX=0.264，即X～N(105.35，27.772)。當(dāng)X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，InX服從正態(tài)分布，即InX～N(μInX，。由對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知：=In(1+)=0.067 4(N/m)2。取標(biāo)準(zhǔn)值的保證率為95%，則InX需大于u=μInX-1.645σInX=4.19 N/m，此時(shí)GFk=eu=66.0 N/m即為混凝土強(qiáng)度C30，粗骨料最大粒徑dmax=9.5 mm的混凝土斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值。

4 結(jié)論

1）收集國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中較新的65組混凝土斷裂能實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1，基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1建立的雙因素統(tǒng)計(jì)模型能較好地反映混凝土強(qiáng)度和粗骨料最大粒徑對(duì)斷裂能的影響。在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)1中加入本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)，稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2，基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)2建立的統(tǒng)計(jì)模型預(yù)測(cè)混凝土斷裂能的精度更高，也從側(cè)面體現(xiàn)了本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)的合理性。1990 CEB-FIP模式規(guī)范給出的斷裂能統(tǒng)計(jì)模型偏于保守，預(yù)測(cè)值整體偏小。

2）對(duì)混凝土強(qiáng)度等級(jí)C30，粗骨料最大粒徑9.5 mm工況進(jìn)行了大樣本試驗(yàn)，用統(tǒng)計(jì)分析軟件SAS確定該工況下的斷裂能最符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布計(jì)算得到具有95%保證率的斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值GFk=66.0 N/m。

[1] RILEM Technical Committee 50-FMC. Determination of the fracture energy of mortar and concrete by means of three-point bend tests on notched beams[J]. Materials and Structures，1985，18(4)：287-290.

[2] 徐道遠(yuǎn)，陳里紅，李國(guó)英，等.早齡期混凝土斷裂參數(shù)KIc，GF的試驗(yàn)研究[J].河海大學(xué)學(xué)報(bào)，1991，19(3)：130-133.

[3] 高 泉，趙國(guó)藩，趙順波. 齡期及粗骨料級(jí)配對(duì)高壩混凝土斷裂能GF和斷裂韌度KIc的影響規(guī)律[J]. 建筑科學(xué)，1994(3)：19-23.

[4] WITTMANN F H，ROELFSTRA P E，MIHASHI H，et al. In fl uence of age of loading，water-cement ratio and rate of loading on fracture energy of concrete[J]. Materials and Structures，1987，20(2)：103-110.

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[6] 丁曉唐，袁 存，鄭 艷.混凝土劈裂抗拉強(qiáng)度與軸心抗拉強(qiáng)度關(guān)系研究[J].河北工程大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，33(1)：24-26.

[7] 袁 存.混凝土斷裂能標(biāo)準(zhǔn)值及其在數(shù)值模擬中應(yīng)用的研究[D].南京：河海大學(xué)，2016.

Research on statistical model and characteristic values for the fracture energy of concrete

DING Lidong，DING Xiaotang，YUAN Cun
(College of Civil and Transportation Engineering，Hohai University，Jiangsu Nanjing，210098，China)

The fracture energy of concrete for different cases is calculated by means of three-point bend tests，and large sample tests of one case are done. Based on the test data of this experiment and other articles，statistical model about fracture energy of two factors，concrete strength and maximum aggregate size，are established. Compared the statistical model with other models，the ability of prediction is better than other models，and it can prove rationality of test data indirectly. Statistical analysis system (SAS) is applied to compare four probability distribution and fi ve goodness-of- fi t tests，the most suitable probability distribution of test data is lognormal distribution. Based to lognormal distribution，the characteristic value of fracture energy is equal to 66.0 N/m，the reliability is not less than 95%.

concrete；fracture energy；statistical model；probability distribution；characteristic value

TU528.1

A

1673-9469（2017）04-0005-05

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.04.002

2017-07-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51279052)

丁力棟(1993-)，男，浙江金華人，碩士，從事混凝土結(jié)構(gòu)基本理論及近代計(jì)算方法方面的研究。