謝美華

(湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院管理學(xué)院 410073)

1 引言

然而在實(shí)際應(yīng)用中，該公式卻經(jīng)常沒有得到正確應(yīng)用，比較經(jīng)典的問題是“生孩子”問題.問題為：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知一個(gè)是男孩，另一個(gè)是女孩的概率是多少？爭議很大的答案有兩個(gè)，分別為1/2和2/3.天涯論壇上連續(xù)有幾個(gè)關(guān)于此問題的發(fā)帖[2-3]，從發(fā)帖上廣大網(wǎng)友的留言來看，支持者各占一半.

綜合網(wǎng)友的發(fā)言，發(fā)現(xiàn)認(rèn)定答案為1/2的人的主要看法有以下幾種：

第一種：你第一胎生男生女，不會(huì)影響第二胎，第二次生女孩依然是二分之一，二者是獨(dú)立的.

第二種：一個(gè)是男孩另一個(gè)是女孩的情況有兩種，一是姐弟，概率為1/2乘以1/2等于1/4；二是兄妹，概率同為1/4.將兩種情況相加得1/2.

第三種：兩個(gè)孩子的家庭，共有男女、男男和女女這三種情況，已知一個(gè)孩子是男孩，因此去掉女女的情況，還剩下男女和男男兩種情況，因此另一個(gè)為女孩的概率為1/2.

這三種想法都沒有真正理解題意，主要表現(xiàn)為對條件的把握和利用方式不對，對增加條件后的樣本空間缺乏認(rèn)識(shí).這也正是條件概率學(xué)習(xí)中經(jīng)常碰到的問題.

與此相似的問題還有三門問題[4].

2 條件概率的誤區(qū)

誤區(qū)一：對條件概率中的條件把握不準(zhǔn)確，致使條件事件的定義不準(zhǔn)確

生孩子問題中的條件是“一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知一個(gè)是男孩”，從題意不難理解這里“一個(gè)為男孩”的含義是至少有一個(gè)是男孩，并不是“一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知老大是男孩”，或者“一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知老二是男孩”.如果錯(cuò)誤地理解為后面兩種情況，則會(huì)得到1/2的結(jié)果.

下面對這三種情況，分別給出其條件概率的計(jì)算結(jié)果.

問題一：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知第一個(gè)是男孩，求另一個(gè)是女孩的概率？

解：設(shè)事件A表示第一個(gè)為男孩，事件B表示第二個(gè)為女孩，顯然這兩個(gè)事件是獨(dú)立的，因而PA(B)=1/2.

問題二：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知第二個(gè)是男孩，求另一個(gè)是女孩的概率？

解：與問題一相同，定義設(shè)事件A表示第一個(gè)為女孩，事件B表示第二個(gè)為男孩，則PB(A)=1/2.

問題三：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知其中一個(gè)是男孩，求另一個(gè)是女孩的概率？

如果不理解清楚條件的含義，錯(cuò)誤地定義事件A、B就會(huì)出現(xiàn)問題一和問題二的結(jié)果，上節(jié)中持有第一種錯(cuò)誤觀點(diǎn)的人就是這種錯(cuò)法.

誤區(qū)二：對增加條件后樣本空間的變化沒有理解

前文所述的第二種錯(cuò)法就是屬于忽視了條件，對增加條件后樣本空間的變化缺乏分析.既然條件已說明至少一個(gè)是男孩，則排除了女女的情況，因而加了條件的樣本空間中就只剩下男女、女男和男男三種情況，顯然另一個(gè)為女的概率是2/3.這種錯(cuò)法中，實(shí)際上是認(rèn)為此時(shí)的樣本空間仍然為男男、男女、女男、女女，因此得到的概率仍然為1/2.

誤區(qū)三：在概率計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤

針對上文的問題三，有不少同學(xué)會(huì)出現(xiàn)概率計(jì)算錯(cuò)誤.例如，有同學(xué)會(huì)將上文中“至少有一個(gè)男孩的概率”P(A)計(jì)算為2/3，理由是兩個(gè)孩子的情況分別是男男、女女和男女，因此有男孩的概率是2/3，這一部分同學(xué)在計(jì)算P(AB)同樣也容易算成1/3，因而也會(huì)得到PA(B)=1/2.這屬于對樣本空間理解不清，實(shí)際上此處樣本空間應(yīng)為男男、女女、男女、女男.前文所述的持有第三種錯(cuò)誤觀點(diǎn)的同學(xué)就是這種錯(cuò)法.

3 解決方法

1)結(jié)合題目的背景，正確理解條件

對于條件概率問題，首先一定要理解清楚條件，否則就容易犯第一種錯(cuò)誤.當(dāng)然對于條件的理解有時(shí)和題目背景交待不清楚有關(guān)，因此大家應(yīng)結(jié)合問題提出的實(shí)際背景來考慮.

2)正確定義增加條件后的樣本空間.條件概率PA(B)中新的樣本空間實(shí)際上已經(jīng)縮減為事件A，而不再是原來的樣本空間Ω.

3)把握好概率計(jì)算的每個(gè)環(huán)節(jié).概率的計(jì)算是計(jì)算條件概率的基礎(chǔ)，在對條件概率中分子分母的概率進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定要準(zhǔn)確把握事件和樣本空間，這樣才不會(huì)出現(xiàn)概率計(jì)算錯(cuò)誤.