鄒帥東，王光建

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雙齒輪偏心的傳動(dòng)誤差計(jì)算與研究

鄒帥東，王光建

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 沙坪壩區(qū) 400044)

采用解析法推導(dǎo)了存在雙偏心誤差的漸開線齒輪副的傳動(dòng)誤差計(jì)算公式，建立了其傳動(dòng)誤差解析計(jì)算模型，同時(shí)分析了齒輪副的瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)、傳動(dòng)比誤差以及傳動(dòng)誤差之間的等價(jià)關(guān)系；應(yīng)用RecurDyn軟件驗(yàn)證了傳動(dòng)誤差計(jì)算模型；在嚙合頻率變負(fù)載的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差仿真的基礎(chǔ)上，建立了與理論計(jì)算的傳動(dòng)誤差及其側(cè)隙值間的關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，針對已有偏心誤差情況下，提出齒輪偏心誤差初始相位的優(yōu)化配置方法，得到最小傳動(dòng)誤差，為精密傳動(dòng)設(shè)備的裝配調(diào)整提供理論指導(dǎo)。

解析法; 齒輪偏心; RecurDyn; 傳動(dòng)誤差

對于精密傳動(dòng)系統(tǒng)，傳動(dòng)誤差和側(cè)隙是影響運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)確性的重要因素，而偏心是大周期傳動(dòng)誤差和周期性側(cè)隙的主要來源。由于齒輪傳動(dòng)中的偏心是不可避免的，因此研究考慮偏心作用下的齒輪傳動(dòng)誤差有重要意義[1-4]。

目前在齒輪傳動(dòng)誤差計(jì)算方法方面主要有幾何解析法和嚙合線增量法，如文獻(xiàn)[5-6]采用幾何學(xué)方法研究擺線輪的行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)精度，但應(yīng)用范圍局限于擺線齒輪。文獻(xiàn)[7]采用嚙合線增量法等建立了多級傳動(dòng)誤差耦合模型，研究了隨機(jī)誤差對行星齒輪傳動(dòng)誤差的影響。文獻(xiàn)[8-10]采用解析法計(jì)算分析了單偏心外嚙合齒輪的傳動(dòng)誤差。但在工程實(shí)際中，齒輪嚙合副的兩個(gè)齒輪通常均存在偏心誤差。同時(shí)，傳動(dòng)誤差嚙合線增量計(jì)算法是一種近似計(jì)算方法，計(jì)算精度有限[11-12]。

本文采用精確的解析計(jì)算方法，建立存在雙偏心的漸開線齒輪副傳動(dòng)誤差解析計(jì)算模型，計(jì)算出雙偏心齒輪的瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)嚙合軌跡，傳動(dòng)比誤差和傳動(dòng)誤差，應(yīng)用RecurDyn軟件驗(yàn)證了解析計(jì)算模型，并對嚙合頻率下的變負(fù)載動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差進(jìn)行仿真，建立了與理論傳動(dòng)誤差的關(guān)系。同時(shí)針對已有偏心誤差情況下，提出了齒輪偏心誤差初始相位的優(yōu)化配置方法，得到最小傳動(dòng)誤差的初始相位調(diào)整方法，為精密傳動(dòng)系統(tǒng)的裝配調(diào)整提供了理論指導(dǎo)。

1 傳動(dòng)誤差理論計(jì)算

1.1 瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)軌跡

主動(dòng)輪1和從動(dòng)輪2為一對相嚙合齒輪，如圖1所示。1和2分別為輪1、2的回轉(zhuǎn)中心，1′和2′分別為輪1、2的基圓中心。在嚙合過程中，1′和2′的軌跡分別是以1和2為圓心，偏心誤差1和2為半徑的圓。若1′和2′轉(zhuǎn)動(dòng)至10和20位置時(shí)，側(cè)隙為零，0為標(biāo)準(zhǔn)嚙合時(shí)的節(jié)點(diǎn)，則100和200分別為輪1和輪2的分度圓半徑01和02。

如圖2所示，1′和2′為任意位置，其中1是輪1的任意時(shí)刻相對于初始時(shí)刻的轉(zhuǎn)角，1是輪1初始時(shí)刻偏心1與12的夾角，2是輪2的任意時(shí)刻相對于初始時(shí)刻的轉(zhuǎn)角，2是輪2初始時(shí)刻偏心2與12的夾角。

圖1 雙齒輪偏心誤差示意圖

圖2 具有雙偏心的齒輪傳動(dòng)誤差計(jì)算模型

在此瞬間，兩齒輪基圓中心的連線為1′2′，兩瞬時(shí)節(jié)圓的切點(diǎn)為￠。設(shè)￠為此時(shí)兩齒輪的瞬時(shí)嚙合線，且與回轉(zhuǎn)中心連線12交于點(diǎn)。

以輪2的旋轉(zhuǎn)中心2為原點(diǎn)，12為軸建立坐標(biāo)系，基圓中心1′的坐標(biāo)(11)為：

基圓中心2′的坐標(biāo)(3,3)為：

瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)￠的坐標(biāo)(2,2)為：

以表1中參數(shù)的為例，可描繪出具有雙偏心的外嚙合齒輪的瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)軌跡如圖3所示。

表1 偏心嚙合齒輪副參數(shù)

圖3 雙偏心齒輪瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)軌跡

由雙偏心齒輪瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)軌跡公式和圖形可以看出，其軌跡由偏心值和半徑?jīng)Q定而與齒輪轉(zhuǎn)速無關(guān)，轉(zhuǎn)速?zèng)Q定圖形軌跡上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快慢。同時(shí)，由于偏心的影響，外嚙合副齒輪的節(jié)點(diǎn)不再是一個(gè)固定的點(diǎn)，而是以原理想節(jié)點(diǎn)為中心，在其周圍以一定的周期規(guī)律不停的波動(dòng)。

1.2 傳動(dòng)比誤差

在任意時(shí)刻時(shí)，齒輪嚙合副的瞬時(shí)傳動(dòng)比為：

理論傳動(dòng)比為：

傳動(dòng)比誤差為：

設(shè)線段1′2′的斜率為1，￠的斜率為2，則：

所以傳動(dòng)比誤差為：

式中，

以表1的參數(shù)為例，代入上式方程，可得雙齒輪偏心齒輪傳動(dòng)比誤差曲線與簡化后的曲線對比圖4。從圖中可知，簡化后的傳動(dòng)比誤差與未簡化的傳動(dòng)比誤差幾乎完全重合，兩曲線差值的范圍約在10-6內(nèi)波動(dòng)，與傳動(dòng)比誤差本身差兩個(gè)數(shù)量級，所以在一般情況下，計(jì)算傳動(dòng)誤差時(shí)可采用簡化后傳動(dòng)比誤差公式。

圖4 精確與簡化傳動(dòng)比誤差曲線對比

1.3 傳動(dòng)誤差計(jì)算

一對相嚙合的齒輪的理想傳動(dòng)比為：

而實(shí)際傳動(dòng)比為：

所以傳動(dòng)比誤差為：

因此輪2的轉(zhuǎn)角誤差為：

在精密傳動(dòng)中，將上節(jié)所求得的精確傳動(dòng)比誤差公式代入并通過計(jì)算機(jī)輔助積分即可得到理論精確的傳動(dòng)誤差結(jié)果，如圖5所示。

在精度要求不是很高的情況下，為方便計(jì)算，本文將簡化的傳動(dòng)比誤差公式代入上式，可得到如下簡化的傳動(dòng)誤差公式：

由所求得的簡化的雙偏心齒輪副傳動(dòng)誤差公式可知，與嚙合線向量法所求的結(jié)果一致，傳動(dòng)誤差是兩正弦函數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的周期函數(shù)，幅值分別由主從輪的偏心值決定，頻率分別是主從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)頻。由于外嚙合副齒輪的從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向與主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向不同，所以雙偏心齒輪傳動(dòng)誤差計(jì)算中，不能將單偏心齒輪時(shí)計(jì)算所得傳動(dòng)誤差直接簡單疊加。

以表1齒輪參數(shù)為例，代入上述傳動(dòng)誤差公式，精確的傳動(dòng)誤差和簡化的傳動(dòng)誤差對比如下：

圖5 傳動(dòng)誤差曲線

從圖中可知，簡化后的傳動(dòng)誤差與未簡化的傳動(dòng)誤差幾乎完全重合，兩曲線差值的范圍約-62～+12內(nèi)波動(dòng)，與傳動(dòng)誤差本身差1個(gè)數(shù)量級，所以在一般情況下，計(jì)算傳動(dòng)誤差時(shí)可采用可簡化后傳動(dòng)誤差公式。

2 雙偏心齒輪傳動(dòng)誤差仿真

2.1 理論傳動(dòng)誤差仿真驗(yàn)證

RecurDyn作為多體動(dòng)力學(xué)分析軟件，可以對齒輪的接觸進(jìn)行良好分析[13-15]。以圖1理論模型和表1參數(shù)建立雙偏心齒輪傳動(dòng)實(shí)體模型，如圖6所示，并對兩偏心齒輪施加約束，設(shè)置接觸參數(shù)以及添加驅(qū)動(dòng)并設(shè)置驅(qū)動(dòng)參數(shù),設(shè)定負(fù)載為恒定值。最后仿真曲線和理論曲線對比如圖7所示。

圖6 雙偏心齒輪實(shí)體模型

通過RecurDyn仿真的傳動(dòng)誤差曲線與理論解析傳動(dòng)誤差曲線對比可知，兩曲線吻合良好，其中最大相差值占理論傳動(dòng)誤差值的2.508 9%，并通過MALAB軟件用理論公式擬合仿真數(shù)據(jù)曲線，決定系數(shù)高達(dá)0.991 6，從而驗(yàn)證了理論公式的正確性。仿真?zhèn)鲃?dòng)誤差曲線相比理論傳動(dòng)誤差曲線有一定微小量的向下偏移，是因?yàn)樵诜抡孢^程中，齒輪具有一定剛度、施加了一定的負(fù)載，且必須設(shè)置一定的穿透量。而剛度、負(fù)載和穿透量等因素相當(dāng)于使齒輪在初始傳動(dòng)時(shí)有一定的微小側(cè)隙，因此仿真的曲線整體向下微量偏移。

圖7 雙偏心齒輪仿真和解析傳動(dòng)誤差對比

2.2 嚙合頻率變負(fù)載動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差仿真以及與理論傳動(dòng)誤差關(guān)系

在實(shí)際工況下，負(fù)載為恒定值的情況非常少。因此，在上述仿真驗(yàn)證的基礎(chǔ)上將RecurDyn中的恒定負(fù)載重新設(shè)定為嚙合頻率的變負(fù)載。在變負(fù)載的驅(qū)動(dòng)下，從動(dòng)輪將在齒隙間以負(fù)載變動(dòng)的頻率波動(dòng)，仿真曲線如圖8所示。圖中，動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的下輪廓線與理論傳動(dòng)誤差重合，上輪廓線與理論傳動(dòng)誤差疊加間隙曲線重合?？梢?，隨著間隙量增大，動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差與靜態(tài)傳動(dòng)誤差差值增大，因此間隙越大，動(dòng)態(tài)沖擊越大。

圖8 嚙合頻率變負(fù)載動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差仿真

3 初始相位最優(yōu)配置

由于加工誤差和裝配誤差的存在，齒輪偏心無可避免。但通過傳動(dòng)誤差公式可以看出，在既定的偏心值下，調(diào)整偏心的初始相位，傳動(dòng)誤差最值呈正弦函數(shù)變化。所以，為了盡可能減少偏心對傳動(dòng)誤差的影響，調(diào)整齒輪偏心的初始相位非常有必要。

圖9 初始相位優(yōu)化前后傳動(dòng)誤差曲線對比

將傳動(dòng)誤差公式分別對1和2求偏導(dǎo)：

可得：

傳動(dòng)誤差值最小。

圖9為表1數(shù)據(jù)的初始相位改變前后傳動(dòng)誤差的對比。初始相位優(yōu)化后，傳動(dòng)誤差的最大幅值從-14分降低到最大幅值為6￠左右，優(yōu)化效果明顯。

4 結(jié)束語

本文在考慮一對嚙合的齒輪均有偏心的基礎(chǔ)上，建立傳動(dòng)誤差計(jì)算模型，用解析法推導(dǎo)了瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)軌跡、傳動(dòng)比誤差和傳動(dòng)誤差公式，結(jié)果表明傳動(dòng)誤差是兩正弦函數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的周期函數(shù)，幅值分別與主從輪的偏心值成正比，頻率分別是主從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)頻。在外嚙合齒輪副中，其傳動(dòng)誤差并非分別兩個(gè)單偏心齒輪時(shí)計(jì)算所得傳動(dòng)誤差的直接簡單疊加，其中的壓力角相位主動(dòng)輪為正，從動(dòng)輪為負(fù)。通過與RecurDyn仿真?zhèn)鲃?dòng)誤差曲線對比，兩種方法推導(dǎo)的傳動(dòng)誤差公式一致，驗(yàn)證了解析算法的正確性，并根據(jù)實(shí)際工況，在嚙合頻率變負(fù)載動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差仿真的基礎(chǔ)上，建立了與理論傳動(dòng)誤差曲線的關(guān)系。最后在考慮齒輪幾何偏心不變的情況下，分析初始相位對傳動(dòng)誤差的影響，并給出了最佳初始相位，結(jié)果表明通過初始相位優(yōu)化后，齒輪傳動(dòng)誤差可以明顯改善。

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編 輯 稅 紅

Research on Transmission Error of Dual-eccentric Gears

ZOU Shuai-dong and WANG Guang-jian

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University Shapingba Chongqing 400044)

A transmission error analytical mothed of dual-eccentric gears is proposed. The relation among instantaneous node, transmission ratio error, and transmission error is deduced.In order to demonstrate the validity of the analytical method, the solid model is constructed in the dynamics simulation software RecurDyn and the simulation transmission error is obtained. By comparison, the simulation transmission error curve agrees well with the analytical one. On this basis, dynamic transmission error under meshing frequency varying load is exploredand the relation between dynamic transmission error, the theoretical transmission error and backlash is studied simultaneously. Finally, the optimum initial phase has been given to decrease the transmission error under the circumstance of fixed eccentricity.

analytical method; eccentricity; RecurDyn; transmission error

TH13

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.06.027

2016-03-16；

2017-06-08

國家自然科學(xué)基金(51275538)；上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(SM2014D101)

鄒帥東(1987-)，男，博士，主要從事精密傳動(dòng)與控制方面的研究.