李 麗，房立金，王國勛

(1.東北大學 a.機械工程與自動化學院;b.機器人科學與工程學院，沈陽 110189；2. 沈陽理工大學 機械工程學院，沈陽 110159)

基于螺旋理論的6R串聯(lián)工業(yè)機器人奇異位形分析*

李 麗1a，房立金1b，王國勛2

(1.東北大學 a.機械工程與自動化學院;b.機器人科學與工程學院，沈陽 110189；2. 沈陽理工大學 機械工程學院，沈陽 110159)

針對6自由度串聯(lián)工業(yè)機器人，對其工作空間中的奇異位形進行了分析?；谛坷碚摚\用旋量指數(shù)積(POE)方法對機器人進行運動學建模，得到正運動學方程，并基于旋量指數(shù)積法對速度雅克比矩陣進行了推導。根據(jù)機器人處于奇異位形時的條件，對雅克比矩陣的行列式進行求解，從而得到機器人處于奇異位形時的所有情況，并給出了發(fā)生奇異時的機器人的構(gòu)型。在此基礎(chǔ)上，基于可操作度、雅克比條件數(shù)及最小奇異值等靈巧度指標使用MATLAB對機器人的奇異位形進行了仿真，仿真結(jié)果表明該機器人在3種情況下處于奇異位形，與分析結(jié)果一致，驗證了文中方法的正確性。

工業(yè)機器人；旋量理論；雅克比矩陣；奇異性

0 引言

奇異位形是指機構(gòu)在主動件的驅(qū)動下運動，在運動過程中如果機構(gòu)的運動學、動力學性能瞬間發(fā)生突變，機構(gòu)或處于死點、或失去穩(wěn)定、或自由度發(fā)生變化，使得機構(gòu)傳遞運動和動力的能力失常[1]。當機械手運動到奇異位置時, 產(chǎn)生的不良影響主要表現(xiàn)在三個方面[2]：①操作自由度減少；②某些關(guān)節(jié)角速度趨向無窮大，引起機械手失控；③使雅可比矩陣退化，從而所有包括雅可比的求逆控制方案無法實現(xiàn)。對于串聯(lián)機器人來說，運動學奇異性是其固有屬性，不可能完全消除，因此在研究機器人運動學時必須對其奇異性進行分析。許多研究人員通過分析機器人雅克比矩陣對奇異位形進行了分析。李誠等[3]針對6自由度裝校機器人，采用D-H法及微分變換法對其奇異性進行了分析。董伯麟等[4]以MOTOMAN-VA1400型7自由度機器人為研究對象，基于阻尼最小二乘法對機器人的奇異性進行分析并給出回避算法。李憲華等[5]針對6自由度模塊化機器人手臂，運用D-H法建模，對其奇異性進行了分析，并使用Robotics工具箱進行了仿真。張鵬程等[6]運用矢量法建立6自由度工業(yè)機器人的雅科比矩陣，并對其奇異性進行分析。呂永軍[7]基于雅克比矩陣，利用幾何法從奇異位形本質(zhì)出發(fā)，從運動副線性相關(guān)角度出發(fā)對6自由度串聯(lián)機器人的奇異位形進行了詳細分析。PENNE[8]和BOHIGAS[9]也分別對機器人的奇異性進行了分析。以上研究大多采用D-H法對機器人進行建模，但是D-H建模方法需要對每個關(guān)節(jié)建立坐標系，且每個坐標系姿態(tài)都不相同，當機器人構(gòu)型改變時需重新建立模型，因此D-H法過程復雜，計算效率低，幾何意義不明確。另外，建立機器人速度雅克比矩陣時大多采用微分變換法或矢量法等，這種方法求解過程和結(jié)果都比較復雜。

旋量指數(shù)積法只需建立基坐標系和工具坐標系，然后對各個關(guān)節(jié)建立普呂克坐標系[10]，建模過程簡單，幾何意義明確，避免了D-H法計算困難和存在奇異性問題。用旋量法求解機器人速度雅克比矩陣具有計算簡單、直觀的優(yōu)點。本文基于旋量理論，運用旋量指數(shù)積方法對6自由度工業(yè)機器人的速度雅克比矩陣進行求解，在此基礎(chǔ)上對其奇異性進行分析與仿真。

1 基于旋量理論的運動學模型

本文機器人采用廣數(shù)RB20機器人，該機器人擁有6個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，其三維模型由圖1所示，結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示，該6自由度機器人的結(jié)構(gòu)特點是關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3軸線相互平行，且均與關(guān)節(jié)1軸線垂直相交，后三個關(guān)節(jié)軸線交于一點，且關(guān)節(jié)4與關(guān)節(jié)5、關(guān)節(jié)5與關(guān)節(jié)6軸線相互垂直，滿足Pieper準則。

圖1 廣數(shù)RB20加工機器人

1.1 剛體運動與旋量理論

在三維歐式空間R3中設(shè)S為參考坐標系，T為固定在剛體上的物體坐標系，剛體相對于參考坐標系的位姿可由下式描述：

SE(3)={(R,t)RSO(3),tR3:

(1)

式中，SE(3)為特殊歐式群，即李群。R為3×3姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，t為位置向量。SO(3)為特殊正交群。

根據(jù)歐拉定理，對于剛體的每一個旋轉(zhuǎn)運動，都有一個旋轉(zhuǎn)矩陣R(RSO(3))與之對應，設(shè)ω是表示旋轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量，θ為轉(zhuǎn)角，則R可寫成ω和θ的函數(shù)：

(2)

根據(jù)指數(shù)映射關(guān)系，可得：

(3)

設(shè)r為旋轉(zhuǎn)軸ω上的一點，引入兩個矩陣：

根據(jù)Chasles定理[11]，任意剛體運動都可以通過螺旋運動即通過繞某軸的轉(zhuǎn)動與沿該軸移動的復合運動實現(xiàn)。也就是說剛體運動與螺旋運動是等價的。因此剛體運動變換可用旋量指數(shù)積形式表示：

(4)

由前面的分析可知，運動旋量的指數(shù)形式可表示剛體的相對運動，物體坐標系{T}經(jīng)螺旋運動后，相對于參考坐標系{S}的位形為：

(5)

式中，g(0)為初始位形，g(θ)為剛體運動的終止位置。

1.2 機器人正向運動學建模

機器人運動學主要是描述機器人關(guān)節(jié)與組成機器人的各剛體之間的運動關(guān)系。機器人運動學求解在機器人學中占有重要的地位,是機器人軌跡規(guī)劃,離線編程和運動控制的基礎(chǔ)。機器人運動學的求解方法有多種，一般常用的有兩種：D-H參數(shù)法[12-13]和旋量法[14-15]。

基于旋量指數(shù)映射理論建立加工機器人的運動學描述，應用指數(shù)積(POE)方法實現(xiàn)對機器人的正逆運動學問題進行求解。基于李群及旋量理論，建立各關(guān)節(jié)旋量坐標系，如圖2所示,將機器人的慣性坐標系{S}取在基座上，將工具坐標系{T}選在末端執(zhí)行器部分，取圖2所示的機器人位形為初始位形。

圖2 加工機器人結(jié)構(gòu)及連桿坐標系

gST(0)為初始位形時慣性坐標系與工具坐標系的變換：

(6)

(7)

1.3 雅克比矩陣的求解

運用旋量及指數(shù)積(POE)方法可以很方便的求解機器人的雅克比矩陣。

設(shè)ξi′表示將第i個關(guān)節(jié)坐標系由初始位形變換到當前位形，其與經(jīng)剛體變換的第i個關(guān)節(jié)的單位運動旋量ξi相對應,因而機器人雅克比矩陣的第i列就是變換到機器人當前位形下的第i個關(guān)節(jié)的單位運動旋量。根據(jù)單位運動旋量坐標的定義，與旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對應的運動副旋量坐標為：

(8)

式中，ri′為當前位形下軸線上一點的位置矢量，ωi′為當前位形下旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸線方向的單位矢量，并且滿足下式：

(9)

(10)

式中，ri(0)為初始位形下軸線上一點的位置矢量。

則：

JS(θ)=(ξ1′,ξ2′,…,ξn′)

(11)

對于6自由度工業(yè)機器人，雅克比矩陣求解過程如下。

J(θ)=(ξ1′,ξ2′,ξ3′,ξ4′ ,ξ5′,ξ6′)

(12)

(13)

雅克比矩陣的行列式為：

det(J)=a2d4cosθ3cosθ5(d4cos(θ2+θ3)-a2sinθ2)

(14)

2 機器人奇異性分析

2.1 奇異位形分析

機器人奇異位形包括邊界奇異位形和內(nèi)部奇異位形，邊界奇異位形可通過軌跡規(guī)劃時避開邊界點而回避，內(nèi)部奇異位形影響機器人的運動性能、加工軌跡等，因此在進行軌跡規(guī)劃時必須識別和回避。機器人奇異位形的判別通常是通過判斷其雅克比矩陣是否存在逆解來實現(xiàn)的，也就是判斷雅克比矩陣對應的行列式是否為0。

由式(14)中det(J)=0時機器人存在奇異位形，即：

a2d4cosθ3cosθ5(d4cos(θ2+θ3)-a2sinθ2)=0

(15)

由上式可以看出，三種條件下機器人處于奇異位形，如下：

(1)cosθ3=0

圖3 θ3的奇異位形

(2)cosθ5=0

(3)d4cos(θ2+θ3)-a2sinθ2=0

由此條件可知θ2和θ3滿足上述關(guān)系時，機器人產(chǎn)生奇異行位，如圖5所示。

為了更直觀的展現(xiàn)θ2和θ3的關(guān)系，將條件(3)改成函數(shù)式，如下：

(16)

式(16)即為機器人處于奇異位形時θ2和θ3的關(guān)系，對應的函數(shù)圖像如圖6所示。

圖4 θ5奇異位形

圖5 θ2和θ3的奇異位形

圖6 θ2和θ3的關(guān)系曲線

2.2 靈巧度指標

機器人在工作時要避開奇異，盡量遠離奇異位形，當機器人接近奇異位形時，其雅克比矩陣呈病態(tài)分布，其逆矩陣的精度降低，從而使運動輸入與輸出之間的傳遞關(guān)系失真。這種可以定量地衡量這種運動失真程度的指標稱為靈巧度，衡量機器人靈巧度的指標主要有三類：雅克比條件數(shù)，可操作度和最小奇異值。

2.2.1 雅克比條件數(shù)

雅克比矩陣的條件數(shù)可定義為：

κ(J)=‖J‖‖J-1‖

(17)

且

‖J‖=max‖x‖=1‖Jx‖

(18)

等式兩邊取平方，得：

‖J‖2=max‖x‖=1xTJTJx

(19)

由此可知，‖J‖2是矩陣JTJ的最大特征值。如果J為非奇異矩陣，則JTJ為正定矩陣，其特征值均為正數(shù)。因此J的譜范數(shù)是該矩陣的最大奇異值σmax；同理，J-1的譜范數(shù)是J的最小奇異值的倒數(shù)(1/σmin)。因此，

(20)

雅克比條件數(shù)與機構(gòu)幾何尺寸及位形有關(guān)，不同位形下末端執(zhí)行器所對應的條件數(shù)一般不同，但其值最小為1。條件數(shù)越大，機器人在該位形下的靈活性就越差。如果條件數(shù)的值為無窮大，則機器人處于奇異位形。

2.2.2 可操作度

YOSHIKAWA[16]將雅克比矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣乘積的行列式定義為機器人的可操作度，即：

(21)

利用J的奇異值，上式也可寫成：

ω=σ1σ2…σm

(22)

當機器人處于正常位形時，可操作度就是速度雅克比矩陣行列式的值；當機器人處于奇異位形時，可操作度為0。

2.2.3 最小奇異值

KLEIN[17]提出將雅克比矩陣的最小奇異值作為機器人靈巧度的性能指標，用來度量機器人的靈活性。根據(jù)矩陣的奇異值分解理論，對雅克比矩陣J進行奇異值分解，得：

J=UDV

(23)

其中，

式中，U∈Rm×n,V∈Rn×n,σ1,σ2,…,σm是雅克比矩陣J的奇異值，則最小奇異值為：

σmin=min(σ1,σ2,…,σm)

(24)

當σmin趨于0時，機器人處于奇異位形，其靈活性最差。

3 奇異位形仿真分析

由上節(jié)分析可知，機器人的奇異位形與關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3及關(guān)節(jié)5有關(guān)，當θ2，θ3，θ5運動到特定角度時，機器人處于奇異形位，其速度雅克比矩陣J奇異，降秩，對應的行列式det(J)=0。本節(jié)使用MATHLAB對機器人的奇異位形進行仿真。

機器人的奇異值大小與機器人的運動位置密切相關(guān)，即與各關(guān)節(jié)角的大小有關(guān)，因此在仿真時固定其他關(guān)節(jié)角不變，θ2、θ3、θ5在取值范圍內(nèi)變化。

圖7為關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角與可操作度、條件數(shù)及最小奇異值關(guān)系，對應的各個關(guān)節(jié)的角度值如表1所示。由圖7可看出，在表1的條件下，當θ2=0.277355時最小奇異值趨于0，可操作度為0，此時機器人處于奇異位形。由圖7還可以看出在θ2=0.277355附近，雅克比矩陣J的條件數(shù)κ達到最大值，雅克比矩陣出現(xiàn)降秩，此時機器人的靈活性最差。將表1中θ3的值帶入條件3中同樣可得出θ2=0.277355。

表1 第一組關(guān)節(jié)角取值

(a)可操作度 (b)最小奇異值

(c)條件數(shù) (d)雅克比矩陣的秩

圖8為關(guān)節(jié)3轉(zhuǎn)角與可操作度、條件數(shù)及最小奇異值關(guān)系，對應的各個關(guān)節(jié)的角度值如表2所示。由圖8可看出在表2條件下，關(guān)節(jié)3有2處位置最小奇異值趨于0，分別是0.58588，1.5708因此當θ3等于以上2個值時，機器人處于奇異位形。當θ2取表2中的值時，即θ2=(π/6)°時，由條件3可得出θ3=-0.163308,0.58588，而θ3的取值范圍是[-2π/5,7π/5]，因此θ3只能取0.58588，又根據(jù)上節(jié)分析的第一種情況，當θ3=π/2度時機器人處于奇異位形，因此表2條件下發(fā)生奇異位形時θ3的取值為0.58588rad和1.5708rad，計算結(jié)果與仿真結(jié)果一致。從圖8中還可看出關(guān)節(jié)3處于奇異位形的θ3對應的條件數(shù)具有極值，可操作度為0，雅克比矩陣降秩，此時機器人的靈活性最差。

由分析與仿真結(jié)果可知，要避免關(guān)節(jié)3處于奇異位形，在對機器人進行軌跡規(guī)劃時必須使關(guān)節(jié)角3遠離90°；同時，關(guān)節(jié)角2的值要遠離由式(16)所確定的值。

表2 第二組關(guān)節(jié)角取值

(a)可操作度 (b)最小奇異值

(c)條件數(shù) (d)雅克比矩陣的秩

圖9為關(guān)節(jié)5轉(zhuǎn)角與可操作度、條件數(shù)及最小奇異值關(guān)系，對應的各個關(guān)節(jié)的角度值如表3所示。由表5可知，θ2，θ3不滿足條件3，因此此情況下關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3不會處于奇異位形。由圖9可看出當θ5=π/2時最小奇異值為0，可操作度為0，雅克比矩陣條件數(shù)最大，且雅克比矩陣降秩，此時關(guān)節(jié)5處于奇異位形，關(guān)節(jié)靈活性最差。

由以上分析可知，關(guān)節(jié)5發(fā)生奇異位形時，關(guān)節(jié)角5與其他關(guān)節(jié)角沒有關(guān)系，因此，在進行軌跡規(guī)劃時，只要使關(guān)節(jié)角5遠離90°就可以避免機器人處于奇異位形。

表3 關(guān)節(jié)角取值

(a)可操作度 (b)最小奇異值

(c)條件數(shù) (d)雅克比矩陣的秩

4 結(jié)束語

基于李群及旋量理論，以廣數(shù)RB20機器人為例，運用旋量指數(shù)積方法建立機器人的速度雅克比矩陣。與傳統(tǒng)D-H方法相比，該方法模型簡單，幾何意義明確，易推廣到其他構(gòu)型的機器人。在此基礎(chǔ)上，對機器人所有情況下的奇異位形進行了分析，并基于最小奇異值、雅克比條件數(shù)、可操作度等靈巧度指標利用MATLAB對機器人的奇異性進行了仿真分析，仿真結(jié)果驗證了分析結(jié)果的正確性。分析計算和仿真結(jié)果表明，本文機器人的奇異位形與其他6自由度串聯(lián)機器人的奇異情況有所不同，該機器人在3種情況下處于奇異位形，分別是θ3=π/2，θ5=π/2，以及θ2和θ3滿足特定關(guān)系 2.1節(jié)中的條件3，此時機器人的可操作度及雅克比矩陣的最小奇異值趨于0，其靈活性最差，并出現(xiàn)自由度缺失及雅克比矩陣降秩等情況。 最后，根據(jù)仿真分析結(jié)果，針對不同的奇異位形給出了避免奇異的建議，為機器人合理軌跡規(guī)劃提供參考。分析與仿真結(jié)果為切削加工機器人末端刀具路徑規(guī)劃提供必要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，有利于提高零件表面加工質(zhì)量和加工效率 。

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SingularityAnalysisof6RSeriesIndustrialRobotBasedonScrewTheory

LI Li1a, FANG Li-jin1b, WANG Guo-xun2

(1 a.School of Mechanical Engineering & Automation; b.Faculty of Robot Science and Engineering,Northeastern University,Shenyang 110189, China; 2. School of Mechanical Engineering,Shenyang Ligong University,Shenyang 110159, China)

Aiming at the 6-DOF series robot, the singularity in the working space was analysed. Based on the screw theory, the kinematic modeling of the robot is carried out by using the screw product of exponentials (POE) method to obtain the positive kinematics equation, and the velocity Jacobian matrix is deduced based on the screw product of exponentials method. According to the condition that the robot is in the singularity, the determinant of the Jacobian matrix is solved, and all the cases when the robot is in the singularity are obtained, and the configurations of the robot when the singularity occurs are given. On this basis, the singularity of the cutting robot is simulated using MATLAB based on the dexterity index: Operability, Jacobian condition and minimum singular value, the simulation results show that the robot is in singularity in three cases, the simulation results are in agreement with the analytical results, the correctness of this method is verified.

industrial robot; screw theory; jacobian matrix; singularity

TH165;TG659

A

1001-2265(2017)12-0001-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.12.001

2017-07-08；

2017-08-13

國家自然科學基金項目(51575092)；遼寧重大裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心項目

李麗(1981—)，女，山東聊城人，沈陽理工大學副教授，東北大學博士研究生，研究方向為機器人技術(shù)，先進制造技術(shù)，(E-mail)wgxlili@126.com;通訊作者：王國勛(1979—)，男，山東五蓮縣人，沈陽理工大學副教授，博士，研究方向為機器人技術(shù)，先進制造技術(shù)，(E-mail)wangguoxun@126.com。

(編輯李秀敏)