殷明娥， 牛祥秋

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

考慮投資回報(bào)的相依離散風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

殷明娥， 牛祥秋

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

破產(chǎn)概率是保險(xiǎn)公司度量風(fēng)險(xiǎn)的重要手段，而計(jì)算破產(chǎn)概率也是經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)理論中最為核心的問題之一.相對于破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式，保險(xiǎn)公司可能更關(guān)心通過再保險(xiǎn)及投資等方式，使得破產(chǎn)概率盡可能小.研究一類含有投資回報(bào)的相依離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，模型中假設(shè)持續(xù)的投入資金量是常數(shù)形式,并且假設(shè)股票市場的回報(bào)比例和凈損失均具有一階自回歸結(jié)構(gòu)，而利率為一個(gè)馬爾科夫鏈.通過構(gòu)造一個(gè)上鞅，利用最優(yōu)停時(shí)定理給出了破產(chǎn)概率的上界估計(jì)．

一階自回歸；馬爾科夫鏈；破產(chǎn)概率

令{Xn,n=1,2,…}和{Yn,n=1,2,…}是2列獨(dú)立同分布(i.i.d.)的隨機(jī)變量序列，經(jīng)典的完全離散風(fēng)險(xiǎn)模型的結(jié)構(gòu)如下：

Un=Un-1+Xn-Yn,

其中,Yn為第n個(gè)周期內(nèi)的全部理賠，Xn為第n個(gè)周期內(nèi)的保費(fèi)收入.由于在上述模型中沒有考慮利率因素，因此，第n個(gè)周期的資本剩余過程不依賴于保費(fèi)和索賠的具體支付時(shí)間.

許多學(xué)者對上述經(jīng)典模型進(jìn)行了推廣，即在模型中考慮利率因素的影響.假設(shè){In,n=1,2,…}為另外一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量序列，如果假設(shè)保費(fèi)在期初支付而索賠在期末支付，則保險(xiǎn)公司的資本盈余過程{Un,n=1,2,…}定義為

Un=(Un-1+Xn)(1+In)-Yn,

如果保費(fèi)和索賠都在期末支付，則保險(xiǎn)公司的資本盈余過程{Un,n=1,2,…}定義為

Un=Un-1(1+In)+Xn-Yn.

特別的，當(dāng)In=0時(shí)，上述帶利率的2個(gè)模型就退化為經(jīng)典的離散時(shí)間模型.

利率對破產(chǎn)概率的影響是保險(xiǎn)精算理論研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題.關(guān)于帶利率的連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型參見文獻(xiàn)[1-2].對于離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，Yang研究了當(dāng){In,n=1,2,…}為相同的常數(shù)時(shí)模型的破產(chǎn)概率[3]；Cai則研究了{(lán)In,n=1,2,…}為i.i.d.的隨機(jī)變量的條件下模型的破產(chǎn)概率[4].然而常利率和i.i.d.利率的假設(shè)與保險(xiǎn)實(shí)際不符，因此考慮相依利率的模型受到越來越多學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)[5]將利率推廣為具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的情形，而文獻(xiàn)[6]則假設(shè)利率為Markov鏈,并且利用遞歸方法和鞅方法得出了破產(chǎn)概率的上界估計(jì).文獻(xiàn)[7]假設(shè)凈損失額具有一階自回歸結(jié)構(gòu),利率是Markov鏈形式的風(fēng)險(xiǎn)模型，文獻(xiàn)[8]研究了利率是Markov鏈形式的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型.

在文獻(xiàn)[9-11]中，作者研究了含有投資回報(bào)的破產(chǎn)模型，并利用遞歸方法得出破產(chǎn)概率的上界估計(jì).本文的目的是使用鞅方法得到該模型下破產(chǎn)概率的另外一種形式的上界.

1 模型描述

考慮文獻(xiàn)[9]中的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，保險(xiǎn)公司的資本盈余過程{Un,n=1,2,…}定義為

Un=Un-1(1+In)+αnWn-Zn,

(1)

其中，In表示第n時(shí)期的利息率，并假定{In,n≥1}是一個(gè)狀態(tài)空間為E={is,s=0,1,2,…}的齊次Markov鏈，它的轉(zhuǎn)移概率為Ps t=P{In+1=it|In=is}.股票回報(bào)率用κn表示，并假設(shè)1+κn=Wn>0，假設(shè){Wn,n=1, 2,…}為i.i.d.的隨機(jī)變量序列.而{αn,n=1, 2,…}為持續(xù)注資的投資決策變量，并且假設(shè)αn∈σ{Ii,i=1,2,…,n-1;Wi,i=1,2,…,n-1}.獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列{Zn,n=1,2,…}表示凈損失過程，即為索賠額減去保費(fèi).

進(jìn)一步，在模型(1)中假設(shè)Wn和Zn均具有一階自回歸結(jié)構(gòu)，即對于n=1,2,…，

Wn=aWn-1+Qn,

Zn=bZn-1+Rn,

其中,0≤a,b<1，初始值W0=w0,Z0=z0.{Qn,n=1,2,…}和{Rn,n=1,2,…}為2個(gè)i.i.d.的非負(fù)隨機(jī)變量序列.Q1和R1的概率分布函數(shù)分別為F(x)和G(x).等價(jià)地，

Wn=anw0+an-1Q1+…+aQn-1+Qn,

Zn=bnz0+bn-1R1+…+bRn-1+Rn.

根據(jù)文獻(xiàn)[8]的解釋，僅關(guān)注常數(shù)注資量的情形，即令αn≡α≥0.

由于Zn表示凈損失額，所以對于任意的n≥1應(yīng)有EZn<0成立，即

這個(gè)不等式成立的一個(gè)充分條件為z0<0且EW1<0.

易知，模型(1)等價(jià)于

(2)

令T=inf{n:Un<0}為模型(2)的破產(chǎn)時(shí)間.則在常數(shù)投資策略α下，模型(2)對應(yīng)的最終破產(chǎn)概率定義為

ψ(u,w0,z0,is)=Ρ(T<∞|U0=u,W0=w0,Z0=z0,I0=is)=

2 破產(chǎn)概率的上界估計(jì)

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中,一定存在某個(gè)正數(shù)R0使得{e-R0Un,n=0,1,2,…}成為一個(gè)鞅,進(jìn)而利用鞅的最優(yōu)停時(shí)定理得到關(guān)于破產(chǎn)概率的上界.但在模型(2)的假設(shè)條件下這個(gè)結(jié)論不再成立.為此，類似于經(jīng)典模型下的處理方法，構(gòu)造一個(gè)指數(shù)型的上鞅.令

其中，θ0=1.易見

進(jìn)一步，若記

則當(dāng)b≤a≤i且w0≥0,z0<0時(shí)，有

定理1對于任意的u≥0,如果b≤a≤i且w0≥0,z0<0成立,而且存在κ>0使得等式

Ε[exp{-κ(Q1-R1)}]=1

(3)

成立，則模型(2)的破產(chǎn)概率滿足如下不等式

Mn-1Ε[exp{-κθn(Qn-Rn)(1+Hn)}|Fn-1].

(4)

由于θn(1+Hn)∈Fn-1,Qn-Rn與Fn-1相獨(dú)立,因此

Ε[exp{-κθn(Qn-Rn)(1+Hn)}|Fn-1]=h(θn(1+Hn)),

其中,h(x)=Ε[exp{-κ(Qn-Rn)x}|Fn-1]=Ε[exp{-κ(Qn-Rn)x}].

另外，由a≤i可知

即0<θn(1+Hn)≤1.根據(jù)Jessen不等式和式(3)知,若0≤x≤1，則有

h(x)≤Ε[exp{-κ(Qn-Rn)}]x=1.

于是有

h(θn(1+Hn))≤1.

(5)

將式(5)代入到式(4)中即知{(Mn,Fn),n=0,1,2,…}是一個(gè)上鞅.顯然,對任意給定的n≥1,T∧n是一個(gè)有界停時(shí).由最優(yōu)停時(shí)定理知

則有

(6)

令式(6)中n→∞,則得到

定理得證.

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Ruinprobabilityforadiscretetimemodelwithinvestmentreturnsanddependentstructure

YINMing’e,NIUXiangqiu

(School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian 116029, China)

Ruin probability is an important tool for insurance companies to measure risks，and the calculation of ruin probability is also one of the core issues in classical risk theory.Compared to the exact expression of ruin probability，the insurance company may be more concerned to minimize the ruin probability through reinsurance and investments.We study a class of dependent discrete time risk model with investment returns，in which the amount of investment is assumed to be a constant and the stock market returns ratio and net losses follow autoregressive structures of order one，while the interest rate is a Markov chain.By constructing a martingale，upper bound for ruin probability is obtained by using the optimal stopping theorem.

autoregressive structure of order one；Markov chain；ruin probability

O211.6

A

2017-06-20

殷明娥(1972- ),女,遼寧大連人,遼寧師范大學(xué)副教授.

1000-1735(2017)04-0451-05

10.11679/lsxblk2017040451