董政呈，方彥軍，田 猛

(武漢大學(xué)a.動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院；b.電子信息學(xué)院，武漢 430072)

相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究綜述

董政呈a，方彥軍a，田 猛b

(武漢大學(xué)a.動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院；b.電子信息學(xué)院，武漢 430072)

通過(guò)文獻(xiàn)整理和分類(lèi)，對(duì)近年來(lái)相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述。作為相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究基礎(chǔ)，首先介紹了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性常用的研究方法；然后對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了梳理和分類(lèi)，并以電力系統(tǒng)為例介紹了相互依存網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用；最后對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究和發(fā)展進(jìn)行了總結(jié)和展望。希望能為研究者提供一定的參考和研究思路。

相互依存網(wǎng)絡(luò)；抗毀性；級(jí)聯(lián)失效；電力-信息耦合網(wǎng)絡(luò)

0 引言

自網(wǎng)絡(luò)的“小世界”和“無(wú)標(biāo)度”特性被發(fā)現(xiàn)以來(lái)[1-2]，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，相關(guān)研究被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。作為重要的動(dòng)力學(xué)特性之一，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程一直是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[3]。網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)或幾個(gè)節(jié)點(diǎn)(邊)的失效會(huì)通過(guò)節(jié)點(diǎn)之間的相互作用引發(fā)其它節(jié)點(diǎn)的失效，即產(chǎn)生連鎖效應(yīng)，最終導(dǎo)致相當(dāng)一部分節(jié)點(diǎn)甚至整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰，例如由于潮流重分配導(dǎo)致的大面積停電、由于擁堵導(dǎo)致的通信網(wǎng)和交通網(wǎng)失效等。

近年來(lái)，計(jì)算機(jī)、信息和控制等技術(shù)得到了迅猛發(fā)展，使得現(xiàn)實(shí)世界的各種聯(lián)系變得更加緊密和錯(cuò)綜復(fù)雜，系統(tǒng)與系統(tǒng)間相互作用的重要性日益凸顯(如圖1所示)。早在2008年，美國(guó)就發(fā)布了《關(guān)于國(guó)家關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施的電磁脈沖攻擊威脅評(píng)估報(bào)告》(文獻(xiàn)4)，報(bào)告對(duì)電力、通訊、銀行金融、交通、水資源等基礎(chǔ)設(shè)施的脆弱性進(jìn)行了評(píng)估，并指出“理解跨部門(mén)基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)之間的相互依賴(lài)和相互作用，對(duì)于評(píng)估整個(gè)關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的恢復(fù)能力或魯棒性至關(guān)重要，亟需理論建模和模擬分析來(lái)研究和探索包含大規(guī)模但有限數(shù)目的相互關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的復(fù)雜反映情況”。

圖1 不同基礎(chǔ)設(shè)施之間的相互依賴(lài)關(guān)系[4,5]Fig.1 Interdependency between different infrastructures

與單個(gè)網(wǎng)絡(luò)不同，相互依存網(wǎng)絡(luò)往往會(huì)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，如故障和病毒的傳播、網(wǎng)絡(luò)的同步與控制等。基于相互依存網(wǎng)絡(luò)特有的結(jié)構(gòu)，某一網(wǎng)絡(luò)的故障傳播不僅限于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部，也會(huì)通過(guò)依存關(guān)系引起其他相依存網(wǎng)絡(luò)的故障或失效。相關(guān)研究指出，不同基礎(chǔ)設(shè)施之間的相互依賴(lài)關(guān)系蘊(yùn)含著很大的脆弱性，如電力-信息網(wǎng)、電力-交通網(wǎng)等[6-7]。

目前關(guān)于相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的報(bào)道多見(jiàn)于外文文獻(xiàn)，中文文獻(xiàn)較少，綜述較為缺乏[8]。近年來(lái)，相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的文獻(xiàn)呈逐年上升的趨勢(shì)，且已被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，延伸出許多新的交叉學(xué)科。為此，本文主要對(duì)2010年以來(lái)相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的部分文獻(xiàn)進(jìn)行整理和總結(jié)，為相關(guān)研究者提供一定的參考。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究基礎(chǔ)

一般來(lái)說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性是指遭受破壞后，網(wǎng)絡(luò)能維持或恢復(fù)其性能到一個(gè)可接受程度的能力。這種破壞可能來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部(故障)，也可能來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)外部(隨機(jī)或蓄意攻擊)。百變不離其宗，相互依存網(wǎng)絡(luò)的部分研究仍采用單個(gè)網(wǎng)絡(luò)的方法，因此，本節(jié)首先對(duì)一些常見(jiàn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究方法進(jìn)行介紹，如評(píng)價(jià)指標(biāo)、失效模型和攻擊方式等。

1.1 抗毀性評(píng)價(jià)指標(biāo)

為衡量復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，首先需要建立一個(gè)能夠準(zhǔn)確刻畫(huà)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性的測(cè)度指標(biāo)。早在1970年，F(xiàn)rank等[9]就提出要建立具有生存性的網(wǎng)絡(luò)，以抵御攻擊或自然災(zāi)害，并采用點(diǎn)(邊)連通度來(lái)表征網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，即使得圖變成不連通或平凡圖所需去掉的最少節(jié)點(diǎn)(邊)數(shù)。此后，研究者又提出了許多新的測(cè)度指標(biāo)，如堅(jiān)韌度、完整度、鄰近完整度、粘連度、離散數(shù)、膨脹系數(shù)、核度等等[10-14]。但這些基于圖論的抗毀性測(cè)度已不能滿(mǎn)足大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用背景。2000年，Albert等[3]以最大連通子圖和平均最短距離為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性進(jìn)行了研究。此后，大量的文獻(xiàn)都采用最大連通子圖及其變形來(lái)表征網(wǎng)絡(luò)的抗毀性(如相對(duì)值G=N/N'(其中N和N'分別表示級(jí)聯(lián)失效發(fā)生前后網(wǎng)絡(luò)中有效節(jié)點(diǎn)的數(shù)目)、連通子圖個(gè)數(shù)等)。此外，Wu等[15-16]提出了自然連通度和譜測(cè)量的抗毀性測(cè)度；Shang等[17-18]跟蹤研究了加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的自然連通度以及局域自然連通度；針對(duì)作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)，狄等[19]采用作戰(zhàn)環(huán)數(shù)量的變化表征網(wǎng)絡(luò)的抗毀性；針對(duì)帶有負(fù)荷和容量的網(wǎng)絡(luò)，Dong等[20]提出以負(fù)荷損失來(lái)表征網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。針對(duì)不同的技術(shù)和應(yīng)用背景，不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)表征參數(shù)具有不同的實(shí)際意義，如交通網(wǎng)和通信網(wǎng)的平均最短路徑能夠表征其傳輸和運(yùn)送能力；電力網(wǎng)的孤島(某些連通子圖)在一定情況下也能滿(mǎn)足電力運(yùn)行；還有諸如介數(shù)、聚集系數(shù)、網(wǎng)絡(luò)直徑、網(wǎng)路效率以及其他自定義的指標(biāo)[21]。因此，在選擇抗毀性評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同應(yīng)用背景而確定。

1.2 級(jí)聯(lián)失效模型

相關(guān)研究指出，現(xiàn)實(shí)世界中存在一類(lèi)“時(shí)空耗散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)”，這類(lèi)系統(tǒng)可以自發(fā)地轉(zhuǎn)換到一種臨界狀態(tài)，此時(shí)很微小的擾動(dòng)都有可能觸發(fā)連鎖反應(yīng)并導(dǎo)致災(zāi)變，即自組織臨界性(Self-organized criticality，SOC)[22-23]。

針對(duì)不同的應(yīng)用背景，研究者們相繼提出了多種級(jí)聯(lián)失效模型，如拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型、負(fù)荷-容量模型(Load-based)、二值失效模型、沙堆模型(Sandpile)、最優(yōu)潮流方法模型(OPA)、CASCADE模型以及耦合映像格子模型(Coupled map lattice)等[24]。其中，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型和負(fù)荷-容量模型是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究中最常用的級(jí)聯(lián)失效模型，且以負(fù)荷-容量模型的變型最為多樣；而OPA和CASCADE模型多用于電力系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)失效。本節(jié)將主要介紹負(fù)荷-容量級(jí)聯(lián)失效模型的研究現(xiàn)狀。

耦合映像格子模型[25]是目前研究較多的一類(lèi)級(jí)聯(lián)失效模型。耦合映像格子是一種時(shí)間、空間都離散而狀態(tài)保持連續(xù)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。其基本思想是：網(wǎng)絡(luò)包含N個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)會(huì)受到同時(shí)刻其他節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的影響。在某時(shí)刻t對(duì)某節(jié)點(diǎn)i施加擾動(dòng)R，然后觀察其他節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變化。該模型常用于描述復(fù)雜系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)態(tài)行為。

二值失效模型[26]采用閾值規(guī)則，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)取決于其相鄰節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)(0或1)。若某個(gè)節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)中有超過(guò)φ(閾值)比例的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)為1，則此節(jié)點(diǎn)為1，否則為0，即網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)取決于周?chē)h(huán)境。當(dāng)閾值小到一定值時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)基本被1占據(jù)；當(dāng)閾值大到一定值時(shí)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)很難被改變。該模型常用于社交、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，如某人的觀點(diǎn)會(huì)受周?chē)擞绊憽?/p>

沙堆模型[22]是用來(lái)表述自組織臨界性質(zhì)的經(jīng)典模型。讓沙子一次一粒均勻地落在桌上，形成逐漸增高的小沙堆。在初始階段，沙子下落對(duì)沙堆整體的影響不大；而當(dāng)沙堆的高度達(dá)到一定程度后，一顆沙子的落下就可能引發(fā)周?chē)麄€(gè)沙堆的崩塌。

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型一般假設(shè)某些節(jié)點(diǎn)失效后，網(wǎng)絡(luò)被分割成多個(gè)聚類(lèi)(子網(wǎng)絡(luò))，且認(rèn)為最大聚類(lèi)(最大連通子圖)中的節(jié)點(diǎn)具有功能，而其他節(jié)點(diǎn)失效。由于其級(jí)聯(lián)失效過(guò)程可被精確解析(生成函數(shù)等)，因此拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型是目前網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究中最常用的模型之一。該模型可看作是對(duì)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)失效過(guò)程的一種簡(jiǎn)化，即認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)的功能與其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)，被廣泛應(yīng)用于各種基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)的連鎖故障分析。

相比拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型，負(fù)荷-容量模型則進(jìn)一步準(zhǔn)確刻畫(huà)了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性，如交通網(wǎng)、電力網(wǎng)的流量轉(zhuǎn)移等，但相關(guān)研究多以數(shù)值仿真為主。模型一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)都具有一定的初始負(fù)荷L和容量C，失效節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷會(huì)通過(guò)一定的方式轉(zhuǎn)移至網(wǎng)絡(luò)的其他節(jié)點(diǎn)；若某個(gè)節(jié)點(diǎn)j的總負(fù)荷大于其能承受的容量極限時(shí)(Lj+Lij>Ci，Lij為節(jié)點(diǎn)j從失效節(jié)點(diǎn)獲得的負(fù)荷)，則該節(jié)點(diǎn)失效。Motter等[27]認(rèn)為負(fù)荷常常是沿著最短路徑傳送的，因此采用節(jié)點(diǎn)的介數(shù)定義初始負(fù)荷L，且容量與初始負(fù)荷成正相關(guān)C=(1+α)L，其中α為可調(diào)參數(shù)。此模型為某些真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的研究提供了建模思路，如通信網(wǎng)、交通網(wǎng)等基礎(chǔ)設(shè)施。此后，負(fù)荷-容量模型被廣泛應(yīng)用于各類(lèi)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效分析中，并產(chǎn)生了多種改進(jìn)模型。Wang等[28-29]采用節(jié)點(diǎn)的度數(shù)來(lái)定義負(fù)荷。李等[30]提出一種帶有應(yīng)急恢復(fù)機(jī)理的級(jí)聯(lián)失效模型。Crucitti等[31]考慮節(jié)點(diǎn)和邊的動(dòng)態(tài)行為，提出一種基于邊上傳輸效率動(dòng)態(tài)更新的模型，即節(jié)點(diǎn)過(guò)載時(shí)，邊的傳輸效率降低，但并不被移除。Wang等[32]將每條邊eij的負(fù)荷定義為(kikj)θ，(ki和kj分別為邊eij兩個(gè)端點(diǎn)的度，θ為可調(diào)參數(shù))。Bao等[33]基于介數(shù)負(fù)荷的定義，提出了一種帶節(jié)點(diǎn)移除概率的級(jí)聯(lián)失效模型。Lehmann等[34]提出了一種節(jié)點(diǎn)初始負(fù)荷隨機(jī)分配且失效節(jié)點(diǎn)負(fù)荷隨機(jī)重分配的級(jí)聯(lián)失效模型。針對(duì)不同的網(wǎng)絡(luò)，研究者們采用不同的方法定義負(fù)荷，如Bakke等[35]針對(duì)電力網(wǎng)絡(luò)，提出了一種基于流守恒的負(fù)荷分配模型。Zeng等[36-37]針對(duì)交通網(wǎng)，引入用戶(hù)均衡模型來(lái)確定網(wǎng)絡(luò)的初始負(fù)荷。Wang等[38]提出一種基于基爾霍夫定律和歐姆定律的級(jí)聯(lián)失效模型。Sun[39]和Li[40]等采用節(jié)點(diǎn)容量和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的函數(shù)作為α的系數(shù)。Kim等[41]采用一個(gè)二值函數(shù)來(lái)定義負(fù)荷。Kim等[42]指出網(wǎng)絡(luò)的負(fù)荷和容量并不一定成線性關(guān)系，由此竇等[43]提出一種新的負(fù)荷-容量模型。王等[44]提出一種新的負(fù)荷局域擇優(yōu)重新分配原則?？偟膩?lái)說(shuō)，負(fù)荷-容量模型的改進(jìn)主要集中在以下幾點(diǎn)：1)初始負(fù)荷所在對(duì)象，如節(jié)點(diǎn)負(fù)荷、邊負(fù)荷等[45]；2)初始負(fù)荷的定義方法，如介數(shù)定義、度數(shù)定義、函數(shù)定義、隨機(jī)等；3)容量和初始負(fù)荷的關(guān)系，如線性、非線性等；4)失效負(fù)荷的重分配范圍，如鄰近分配、全局分配等；5)失效負(fù)荷的重分配方法，如容量比例分配、介數(shù)變化分配等；6)節(jié)點(diǎn)的變化過(guò)程，如直接移除、部分失效等。

1.3 攻擊方式

目前針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究，一般站在系統(tǒng)級(jí)的角度，對(duì)節(jié)點(diǎn)(邊)的失效機(jī)理不做考慮，即不考慮節(jié)點(diǎn)(邊)是如何失效的。因此，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的抗毀性研究常采用物理攻擊的方式移除網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)(邊)?；舅悸窞椋簞h除網(wǎng)絡(luò)的n個(gè)(條)節(jié)點(diǎn)(邊)，使網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級(jí)聯(lián)失效，待網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定后，觀察網(wǎng)絡(luò)特征參數(shù)或評(píng)價(jià)指標(biāo)的變化。2000年，Albert等[3]研究了隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊對(duì)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響。此后，Holme等[46]不僅研究了節(jié)點(diǎn)和邊失效對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的影響，還考慮了基于靜態(tài)和動(dòng)態(tài)度數(shù)(介數(shù))的攻擊策略(動(dòng)態(tài)度數(shù)和介數(shù)是指，網(wǎng)絡(luò)部分節(jié)點(diǎn)和邊失效，被移除后得到的新網(wǎng)絡(luò)的度數(shù)和介數(shù))。覃等[47]分析了攻擊策略和平均度、介數(shù)緊致系數(shù)以及接近度緊致系數(shù)的關(guān)系。王等[44,48]分析了兩種邊和節(jié)點(diǎn)攻擊策略對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響，并指出在某些條件下攻擊負(fù)荷小的邊或節(jié)點(diǎn)也能獲得較好的效果。吳等[21]采用一種基于流量的邊攻擊策略對(duì)不同網(wǎng)絡(luò)的抗毀性進(jìn)行了分析。Wu和Zheng等[49-50]研究了考慮攻擊代價(jià)時(shí)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。然而，在實(shí)際情況下，網(wǎng)絡(luò)的全局信息很難被獲取，蓄意攻擊者掌握的很有可能是網(wǎng)絡(luò)的局部信息[51-52]。為此，Xiao等[53]分析了3種基于局域拓?fù)湫畔⒌墓舴绞剑贺澙返倪B續(xù)攻擊(Greedy sequential)、協(xié)同攻擊(Coordinated)和下限平行攻擊(Low-bounded parallel)。Xia等[54]提出一種移除所掌握區(qū)域中最大度數(shù)節(jié)點(diǎn)的攻擊方法。陳等[55]提出了一種局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知條件下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的攻擊策略。Wu等[56]將網(wǎng)絡(luò)劃分為已知區(qū)域和未知區(qū)域，并分別實(shí)施蓄意攻擊和隨機(jī)攻擊。Shao等[57]提出一種局部攻擊(Localized attack)方式，即失效從某節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)開(kāi)始逐層向外傳播。Dong等[58]提出一種改進(jìn)的局部攻擊方式，即網(wǎng)絡(luò)中受保護(hù)的節(jié)點(diǎn)不會(huì)受到影響。實(shí)際上，有些攻擊不會(huì)直接導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或邊的失效，而只會(huì)降低這些邊或節(jié)點(diǎn)的有效功能(稱(chēng)為弱化攻擊)，比如通信邊的信息傳輸能力、節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)處理能力等?？偟膩?lái)說(shuō)，攻擊方式可以做如下分類(lèi)：按攻擊意圖不同，可分為隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊；按攻擊對(duì)象不同，可分為邊攻擊和節(jié)點(diǎn)攻擊；按攻擊范圍不同，可分為區(qū)域攻擊和全局攻擊；在蓄意攻擊中，按網(wǎng)絡(luò)的特征參數(shù)不同，可分為度數(shù)攻擊、介數(shù)攻擊以及其他重要節(jié)點(diǎn)攻擊；按攻擊代價(jià)，可分為無(wú)代價(jià)攻擊和有代價(jià)攻擊。

2 相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性研究

隨著社會(huì)和科技的發(fā)展，一個(gè)系統(tǒng)無(wú)法獨(dú)立地存在于現(xiàn)實(shí)世界中，其往往會(huì)與其他系統(tǒng)產(chǎn)生交互或聯(lián)系，組成復(fù)合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)[59](Networks of networks，NON)或多層網(wǎng)絡(luò)[60](Multiplex/Multilayer networks)或耦合網(wǎng)絡(luò)(Coupled networks)等。這些復(fù)合網(wǎng)絡(luò)可視為由n個(gè)單網(wǎng)絡(luò)組成的網(wǎng)絡(luò)集，且各網(wǎng)絡(luò)之間有邊相連。目前，關(guān)于復(fù)合網(wǎng)絡(luò)的定義尚未統(tǒng)一，這些概念之間既有相似性又具有一定的區(qū)別。按照網(wǎng)絡(luò)間連接邊性質(zhì)的不同，可分為相互依存網(wǎng)絡(luò)[61](Interdependent networks)、互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)[62](Interconnected networks)和依存且互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)等。

互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)是指各子網(wǎng)絡(luò)在功能上相互彌補(bǔ)和關(guān)聯(lián)，共同組成一個(gè)整體。如城市的鐵路網(wǎng)和航空網(wǎng)都是交通系統(tǒng)的一部分，它們相輔相成，功能互補(bǔ)。相互依存網(wǎng)絡(luò)是指子網(wǎng)絡(luò)間具有一定的依存關(guān)系，即一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)要正常工作，需要其他網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)提供支持。最典型的例子如電力網(wǎng)和信息網(wǎng)，一方面，電力網(wǎng)為信息網(wǎng)的正常運(yùn)行提供能源；另一方面信息網(wǎng)為電力網(wǎng)的正常運(yùn)行提供信息和數(shù)據(jù)支持。研究表明[63]，某些系統(tǒng)的子系統(tǒng)內(nèi)部會(huì)同時(shí)存在互聯(lián)邊和依存邊。本文僅研究相互依存網(wǎng)絡(luò)，且以包含兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的相互依存網(wǎng)絡(luò)為主。

相互依存網(wǎng)絡(luò)按依存關(guān)系可以分為單向依存網(wǎng)絡(luò)和雙向依存網(wǎng)絡(luò)。其中，單向依存網(wǎng)絡(luò)是指A網(wǎng)絡(luò)的正常運(yùn)行依賴(lài)于B網(wǎng)絡(luò)，而B(niǎo)網(wǎng)絡(luò)的正常運(yùn)行不一定依賴(lài)于A網(wǎng)絡(luò)。如電力系統(tǒng)和公路系統(tǒng)，電力系統(tǒng)停電時(shí)會(huì)導(dǎo)致公路系統(tǒng)無(wú)法正常運(yùn)行，但公路系統(tǒng)失效對(duì)電力系統(tǒng)可能沒(méi)有太大影響。雙向依存網(wǎng)絡(luò)是指A網(wǎng)絡(luò)和B網(wǎng)絡(luò)之間相互依賴(lài)，任一方的失效都會(huì)對(duì)另一方造成影響，甚至失效。最典型的如系統(tǒng)的硬件網(wǎng)絡(luò)和軟件網(wǎng)絡(luò)，硬件的正常運(yùn)行需要軟件提供支持，而軟件則以硬件為平臺(tái)。按依存節(jié)點(diǎn)比例可分為部分依存網(wǎng)絡(luò)和完全依存網(wǎng)絡(luò)。其中，部分依存網(wǎng)絡(luò)是指網(wǎng)絡(luò)中只有部分節(jié)點(diǎn)具有依存節(jié)點(diǎn)，而其余節(jié)點(diǎn)屬于自治節(jié)點(diǎn)(自治節(jié)點(diǎn)是指依存網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有依存邊的節(jié)點(diǎn)，此類(lèi)節(jié)點(diǎn)不因其依存網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的失效而失效)；完全依存網(wǎng)絡(luò)是指網(wǎng)絡(luò)的所有節(jié)點(diǎn)都具有依存節(jié)點(diǎn)。此外，按依存方向可以分為節(jié)點(diǎn)對(duì)無(wú)反饋和節(jié)點(diǎn)對(duì)有反饋。若A網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)A1依賴(lài)于B網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)B1，且此時(shí)B1也依賴(lài)于A1，則稱(chēng)為有反饋；反之則稱(chēng)為無(wú)反饋。

相互依存網(wǎng)絡(luò)作為一類(lèi)特殊的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，但目前與其相關(guān)的研究和成果仍較少。作者對(duì)三大中文和英文數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行粗略統(tǒng)計(jì)(如圖2所示，相關(guān)數(shù)據(jù)為作者2016年1月12日通過(guò)中國(guó)知網(wǎng)、EI數(shù)據(jù)庫(kù)和SCI數(shù)據(jù)庫(kù)統(tǒng)計(jì)而得。中文搜索關(guān)鍵詞為“相互依存網(wǎng)絡(luò)”，搜索區(qū)域?yàn)椤爸黝}”；EI數(shù)據(jù)庫(kù)搜索關(guān)鍵詞為“interdependent networks”，搜索區(qū)域?yàn)椤爸黝}”；SCI數(shù)據(jù)庫(kù)搜索關(guān)鍵詞為“interdependent networks”，搜索區(qū)域?yàn)椤癝ubject/Title/Abstract”。由于相互依存網(wǎng)絡(luò)的定義和叫法尚未統(tǒng)一，因此搜索結(jié)果難免有偏差，也只能象征性表示其熱度)，發(fā)現(xiàn)近幾年與相互依存網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的文章數(shù)量呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)。

圖2 主題與相互依存網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的文章統(tǒng)計(jì)Fig.2 Statistics on papers of interdependent networks

某相互依存網(wǎng)絡(luò)模型如圖3所示，模型包含兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)A和B。網(wǎng)絡(luò)A(B)內(nèi)部的邊稱(chēng)為連接邊(Intra-link或Connectivity link)，網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B之間的邊稱(chēng)為依存邊或耦合邊(Inter-link或Dependence link)。相互依存網(wǎng)絡(luò)的研究多與關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)設(shè)施相對(duì)應(yīng)(如圖1所示)，關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)設(shè)施根據(jù)其依存關(guān)系的不同[5,64]，可以大致分為物理依存、網(wǎng)絡(luò)依存、地理依存和邏輯依存等4類(lèi)。其中，物理依存是指兩個(gè)系統(tǒng)之間具有物理的連接關(guān)系，且一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)依賴(lài)于另一個(gè)系統(tǒng)的輸出，如輸煤鐵路和燃煤電廠；網(wǎng)絡(luò)依存是指兩個(gè)系統(tǒng)之間具有網(wǎng)絡(luò)的連接關(guān)系，一個(gè)系統(tǒng)的正常運(yùn)行需要另一個(gè)信息系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸，如電力網(wǎng)和SCADA系統(tǒng)；地理依存是指一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)受到周?chē)到y(tǒng)環(huán)境事件(如火災(zāi)、爆炸等)的影響，如橋梁系統(tǒng)和架設(shè)的線路；邏輯依存是指一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)受到另一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，但兩者之間的關(guān)聯(lián)又并非是以上各種關(guān)聯(lián)方式，這種關(guān)聯(lián)可以是市場(chǎng)、金融等，如電力系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。

早在2008年，Rosato等[65]就對(duì)意大利電網(wǎng)和因特網(wǎng)所組成的耦合網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了依存性研究。文章假設(shè)當(dāng)因特網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的供電電壓低于某一閾值時(shí)，節(jié)點(diǎn)失效。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不僅電力網(wǎng)會(huì)對(duì)因特網(wǎng)產(chǎn)生影響，而且因特網(wǎng)的失效也會(huì)在很大程度上影響電力網(wǎng)絡(luò)。但Rosato等并未對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)一步總結(jié)，建立統(tǒng)一和通用的相互依存網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型。2010年，Buldyrev等[61]在Nature上發(fā)表了一篇題為《相互依存網(wǎng)絡(luò)中的災(zāi)難性故障級(jí)聯(lián)》(Catastrophic cascade of failures in interdepedent networks)的文章，首次運(yùn)用滲流理論對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程進(jìn)行了數(shù)學(xué)解析。文章提出一種基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的級(jí)聯(lián)失效模型，并以意大利大停電為例，闡述了研究相互依存網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的重要性，指出相互依存網(wǎng)絡(luò)比單個(gè)網(wǎng)絡(luò)更為脆弱。模型假設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)要正常工作必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：1)其所依賴(lài)的節(jié)點(diǎn)正常工作；2)其必須在網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖內(nèi)。首先刪除1-p比例的節(jié)點(diǎn)，待網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定后，記錄網(wǎng)絡(luò)中剩余的最大連通子圖的規(guī)模P∞，作為抗毀性評(píng)價(jià)指標(biāo)。

對(duì)于單個(gè)網(wǎng)絡(luò)[66]，在隨機(jī)攻擊下

P∞=pg(p)

(1)

且

g(p)=1-G(pf(p)+1-p)

(2)

f(p)=H(pf(p)+1-p)

(3)

其中，G(x)和H(x)分別為網(wǎng)絡(luò)的生成函數(shù)和分支過(guò)程生成函數(shù)。

x=pgB(y)
y=pgA(x)

(4)

則

P∞=xgB(x)=ygA(y)

(5)

對(duì)于任一網(wǎng)絡(luò)，都存在一個(gè)滲流閾值pc，當(dāng)p

圖3 相互依存網(wǎng)絡(luò)模型Fig.3 Interdependent networks model

圖4 相互依存網(wǎng)絡(luò)的相變Fig.4 Phase transition of interdependent networks

相互依存網(wǎng)絡(luò)與單個(gè)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性研究方法較為類(lèi)似。在攻擊方面，Huang等[74]將蓄意攻擊轉(zhuǎn)換為隨機(jī)攻擊，運(yùn)用滲流理論對(duì)無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)相互依存網(wǎng)絡(luò)比單個(gè)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)更為脆弱。李等[75-76]運(yùn)用滲流理論分析了邊攻擊對(duì)隨機(jī)和無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，并指出隨機(jī)攻擊會(huì)產(chǎn)生一階相變，且無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)差。蔣等[77]研究了一種介于隨機(jī)和蓄意攻擊之間的攻擊方式對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，并定義信息廣度和信息精度來(lái)表示掌握的攻擊信息。文章指出信息廣度和信息精度對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性具有較大的影響。Vespignani等[64]將相互依存網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)攻擊看作是“最少頂點(diǎn)覆蓋問(wèn)題”，并提出了一種基于目標(biāo)函數(shù)和約束條件的優(yōu)化方法。

2.1 依存邊的相關(guān)研究

依存邊的存在決定了相互依存網(wǎng)絡(luò)具有某些和單個(gè)網(wǎng)絡(luò)不同的特殊性質(zhì)，即失效會(huì)從一個(gè)網(wǎng)絡(luò)傳播至其他網(wǎng)絡(luò)。因此，對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究多是圍繞其依存邊展開(kāi)的，即研究不同的耦合方式對(duì)其抗毀性的影響(如圖5所示)。

圖5 幾種不同的耦合方式Fig.5 Some different coupling patterns

2.1.1 內(nèi)在自相似耦合

相互依存網(wǎng)絡(luò)的依存邊往往不是隨機(jī)存在的，某些具有相似特性的節(jié)點(diǎn)對(duì)之間更容易產(chǎn)生依存或耦合關(guān)系。Parshani等[70]以度-度相關(guān)性和聚集系數(shù)為參數(shù)建立耦合網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在自相似耦合(Inter-similarity)的網(wǎng)絡(luò)對(duì)于隨機(jī)攻擊具有較強(qiáng)的抵御能力。Buldyrev等[71]也采用一種相似度數(shù)的耦合方式構(gòu)建相互依存網(wǎng)絡(luò)，指出這種耦合方式要優(yōu)于隨機(jī)耦合。Hu等[78]根據(jù)Parshani等提出的“內(nèi)在自相似度”的概念，對(duì)隨機(jī)相互依存網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程進(jìn)行了數(shù)學(xué)解析。李等[79]提出一種網(wǎng)絡(luò)間同地位節(jié)點(diǎn)耦合方式，研究了隨機(jī)和無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，發(fā)現(xiàn)通過(guò)調(diào)整參數(shù)可使級(jí)聯(lián)失效由一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變，且在各種攻擊下的抗毀性要優(yōu)于隨機(jī)耦合。

與一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)較大節(jié)點(diǎn)相依存的節(jié)點(diǎn)，在另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中往往也具有較多的連邊，即同配耦合。Zhou等[80]以度-度相關(guān)性作為網(wǎng)絡(luò)同配性指標(biāo)，研究了同配性對(duì)隨機(jī)和無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，發(fā)現(xiàn)同配性越強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性越弱；且在相同同配性條件下，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性要強(qiáng)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。Watanable等[81]不僅發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)度-度相關(guān)性對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性有一定的影響，還研究了網(wǎng)絡(luò)間依存節(jié)點(diǎn)的度-度相關(guān)性對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響。文章指出對(duì)于蓄意攻擊，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)度-度正相關(guān)且網(wǎng)絡(luò)間度-度負(fù)相關(guān)可以明顯增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，但對(duì)于隨機(jī)攻擊，效果較差。Igarashi等[82]也指出網(wǎng)絡(luò)間度-度正相關(guān)可以增強(qiáng)其抗毀性。Valdez等[83]將α比例的節(jié)點(diǎn)設(shè)置為度-度相關(guān)依存，發(fā)現(xiàn)p和α平面出現(xiàn)了三相點(diǎn)。王等[84]以無(wú)標(biāo)度和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)為對(duì)象，構(gòu)建了對(duì)稱(chēng)(兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)是同類(lèi)型網(wǎng)絡(luò))和非對(duì)稱(chēng)相互依存網(wǎng)絡(luò)，采用邊攻擊研究了隨機(jī)耦合、同配耦合以及異配耦合對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，發(fā)現(xiàn)同配耦合能增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，且耦合的網(wǎng)絡(luò)越相似，抗毀性越強(qiáng)。此外，適當(dāng)增加同配耦合邊數(shù)目也能增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)抗毀性。Cheng等[85]研究了對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)相互依存網(wǎng)絡(luò)，指出在隨機(jī)攻擊下，非對(duì)稱(chēng)相互依存網(wǎng)絡(luò)更加脆弱；在蓄意攻擊下，保護(hù)高度數(shù)節(jié)點(diǎn)對(duì)非對(duì)稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的提升效果并不明顯。陳等[86]也指出在隨機(jī)攻擊下，全耦合時(shí)(q=1)，度-度正相關(guān)網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的抗毀性；而當(dāng)q<1時(shí)，度-度負(fù)相關(guān)網(wǎng)絡(luò)則顯出更強(qiáng)的抗毀性。

2.1.2 含有自治節(jié)點(diǎn)

相互依存網(wǎng)絡(luò)中有時(shí)會(huì)存在一定比例的自治節(jié)點(diǎn)，即網(wǎng)絡(luò)中只有q比例的節(jié)點(diǎn)具有依存邊。Parshani等[70]研究了不同q對(duì)無(wú)標(biāo)度和隨機(jī)相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，指出減小q可使網(wǎng)絡(luò)由一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。Gao等[69]研究了完全依賴(lài)(q=1)和部分依賴(lài)(q<1)網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊下的抗毀性，指出保護(hù)度數(shù)大的節(jié)點(diǎn)對(duì)于相互依存網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)效果并不顯著。Zhou等[87]通過(guò)研究部分依賴(lài)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)q在從1降到0的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)臨界值，將級(jí)聯(lián)失效過(guò)程分為3個(gè)不同的相變區(qū)域，即一階相變、混合相變和二階相變。Fu等[88]研究了依存邊方向(有無(wú)反饋)和q對(duì)隨機(jī)相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，發(fā)現(xiàn)雙向依存網(wǎng)絡(luò)比單向依存網(wǎng)絡(luò)具有更好的抗毀性，且q越大，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性越差。Schneider等[73]指出增加自治節(jié)點(diǎn)可以提升相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，并通過(guò)度數(shù)、介數(shù)、隨機(jī)、k-shell等進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)選取介數(shù)高的節(jié)點(diǎn)作為自治節(jié)點(diǎn)具有更好的效果。

2.1.3 具有多耦合邊

相互依存網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)有時(shí)并不是一對(duì)一耦合的，某些節(jié)點(diǎn)可能具有多條依存邊。Yagan等[89]提出一種“均勻連接策略(Uniform)”，即網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都具有相同數(shù)目的依存邊k，并指出此策略可在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湮粗那闆r下，較好地提升網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。Shao等[90]提出了一種一對(duì)多的耦合方式，研究了隨機(jī)和無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，并指出這種耦合方式可提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，使級(jí)聯(lián)失效由一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。Dong等[91-92]研究了多對(duì)多部分依賴(lài)相互依存網(wǎng)絡(luò)在各種攻擊下的抗毀性，指出弱耦合能夠提升網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。此外，文章還發(fā)現(xiàn)高度數(shù)節(jié)點(diǎn)失效更容易引起網(wǎng)絡(luò)崩潰；且存在一個(gè)臨界耦合強(qiáng)度值，若大于此值，則級(jí)聯(lián)失效呈現(xiàn)一階相變。Jiang等[93]假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的依存邊數(shù)目服從指數(shù)和無(wú)標(biāo)度分布，以此研究了有反饋隨機(jī)和無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，并指出依存邊數(shù)目呈無(wú)標(biāo)度分布的相互依存網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的抗毀性。此外，文章還發(fā)現(xiàn)增加依存邊數(shù)目會(huì)降低無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，但對(duì)于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的效果則相反。彭等[94]基于CML研究了攻擊策略、耦合強(qiáng)度以及時(shí)滯等對(duì)多對(duì)多無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響。文章指出蓄意攻擊的影響要強(qiáng)于隨機(jī)攻擊，且抗毀性會(huì)隨耦合強(qiáng)度的增大呈現(xiàn)出先增強(qiáng)后減弱的現(xiàn)象，此外時(shí)滯也會(huì)影響級(jí)聯(lián)失效的傳播與規(guī)模。

2.1.4 考慮距離的空間依存網(wǎng)絡(luò)

現(xiàn)實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)往往位于歐幾里得空間，因此網(wǎng)絡(luò)之間的耦合也需考慮依存節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的距離r。Li等[95]建立方格相互依存網(wǎng)絡(luò)，研究了r對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)r小于一個(gè)閾值rc時(shí)，級(jí)聯(lián)失效會(huì)出現(xiàn)二階相變，而增大r則會(huì)出現(xiàn)一階相變。隨后，Danziger等[96]發(fā)現(xiàn)rc與q間存在一定的關(guān)系，通過(guò)對(duì)晶格相互依存網(wǎng)絡(luò)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每對(duì)應(yīng)一個(gè)q，都會(huì)存在一個(gè)rc，且rc隨著q的增大而減小。Bashan等[97]考慮空間限制，建立了晶格相互依存網(wǎng)絡(luò)模型，發(fā)現(xiàn)耦合晶格網(wǎng)絡(luò)比單個(gè)網(wǎng)絡(luò)更為脆弱。Shekhtman等[98]將空間距離引入n個(gè)樹(shù)型相互依存網(wǎng)絡(luò)中，發(fā)現(xiàn)閾值rc隨著n的增加明顯降低，且當(dāng)n>10時(shí)，rc接近極限值1。Kornbluth等[99]考慮距離約束，研究了距離對(duì)隨機(jī)相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，發(fā)現(xiàn)依存距離較長(zhǎng)的網(wǎng)絡(luò)更為脆弱，會(huì)出現(xiàn)一階相變。Zhang等[100]研究了考慮節(jié)點(diǎn)生命周期的相互依存空間網(wǎng)絡(luò)，指出當(dāng)空間限制較強(qiáng)時(shí)，晶格網(wǎng)絡(luò)的性能要優(yōu)于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)；而當(dāng)空間限制處于某中間水平時(shí)，晶格網(wǎng)絡(luò)最為脆弱。綜上，空間的限制使得網(wǎng)絡(luò)在面對(duì)隨機(jī)攻擊和局部攻擊時(shí)變得更加脆弱。局部攻擊，如地震、海嘯、生化攻擊等，會(huì)引起一定半徑范圍內(nèi)網(wǎng)絡(luò)的失效，并傳播至整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)[101-102]。

2.1.5 含有互聯(lián)邊

某些耦合系統(tǒng)會(huì)同時(shí)存在依存邊和互聯(lián)邊，且依存邊的存在會(huì)降低網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，而互聯(lián)邊則可以增強(qiáng)其抗毀性。Hu等[103]結(jié)合Buldyrev等[104]提出的依存邊和Leicht等[105]提出的互聯(lián)邊，提出一種即互聯(lián)又相互依存的網(wǎng)絡(luò)。文章指出互聯(lián)邊的增加使得相互依存網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)更復(fù)雜的混合相變現(xiàn)象。Tian等[106]以無(wú)反饋部分依存為基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)相互依存網(wǎng)絡(luò)間的互聯(lián)邊數(shù)越多，二階相變的區(qū)域越??；而網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的連接邊越多，二階相變的區(qū)域越大。

2.2 網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)

真實(shí)網(wǎng)絡(luò)有時(shí)會(huì)呈現(xiàn)出一定的聚集現(xiàn)象。Shao等[107]以一對(duì)一部分依存網(wǎng)絡(luò)為對(duì)象，研究了依存節(jié)點(diǎn)數(shù)目q和網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)c對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響。文章指出當(dāng)q一定時(shí)，隨著c的增大，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性越弱；而當(dāng)c一定時(shí)，隨著q的增大，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性也減弱。Tian等[106]也對(duì)相同的模型進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了類(lèi)似的結(jié)果，即隨著q的增加，網(wǎng)絡(luò)逐漸由二階相變轉(zhuǎn)變?yōu)榛旌舷嘧?，最后變?yōu)橐浑A相變。當(dāng)q較小時(shí)，c對(duì)網(wǎng)絡(luò)幾乎沒(méi)有影響；當(dāng)q較大時(shí)，c越大，網(wǎng)絡(luò)越脆弱。Huang等[108]研究了c和平均度〈k〉對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，指出c越小，〈k〉越大，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性越強(qiáng)。Li等[109]研究了在蓄意攻擊下c對(duì)無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，發(fā)現(xiàn)c越大，網(wǎng)絡(luò)越脆弱。

2.3 多個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)NON

目前，關(guān)于相互依存網(wǎng)絡(luò)的研究多以?xún)蓚€(gè)網(wǎng)絡(luò)為主，而現(xiàn)實(shí)世界中相互作用的系統(tǒng)往往有多個(gè)。因此，研究者將相關(guān)理論推廣到多個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，即NON。目前研究較多的網(wǎng)絡(luò)模型有鏈型網(wǎng)絡(luò)(Chain-like)，星型網(wǎng)絡(luò)(Star-like)，樹(shù)型網(wǎng)絡(luò)(Tree-like)，環(huán)形網(wǎng)絡(luò)(Loop-like)等，如圖6所示。Gao等[110-112]將一對(duì)一完全依存和部分依存網(wǎng)絡(luò)的理論分析推廣到多個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，解析了不同NON拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、反饋條件以及單元網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。

圖6 幾種典型的NONsFig.6 Some typical NONs

1)對(duì)于n個(gè)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)組成的樹(shù)型網(wǎng)絡(luò)或非環(huán)形網(wǎng)絡(luò)[110-114](無(wú)反饋)，最后剩余的最大連通子圖都滿(mǎn)足

(6)

2)對(duì)于n個(gè)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)組成的星型部分依存網(wǎng)絡(luò)[110-112]，若移除中心網(wǎng)絡(luò)的部分節(jié)點(diǎn)，則失效會(huì)在其他網(wǎng)絡(luò)與中心網(wǎng)絡(luò)之間往復(fù)傳播。此時(shí)，星型網(wǎng)絡(luò)的中心網(wǎng)絡(luò)和其他網(wǎng)絡(luò)剩余的最大連通子圖分別為P∞,1和P∞,2，即

(7)

且

(8)

若耦合強(qiáng)度q=1，則結(jié)果與樹(shù)型網(wǎng)絡(luò)相同。由此可以看出，其結(jié)果還與網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)(耦合強(qiáng)度)。

3)對(duì)于n個(gè)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)組成的環(huán)型依存網(wǎng)絡(luò)[110-112]，若移除每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中1-p比例的節(jié)點(diǎn)，則

(9)

若q=1，可得P∞=0；若q=0，則星型復(fù)合網(wǎng)絡(luò)變?yōu)閱蝹€(gè)網(wǎng)絡(luò)形式，此時(shí)P∞最大，也即是隨著q的增大，臨界值pc越小，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性越弱。

(10)

5)若每個(gè)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)都依存于m個(gè)其他ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)[112](無(wú)反饋)，則構(gòu)成規(guī)則NON，此時(shí)

(11)

當(dāng)q一定，隨著m的增大，臨界值pc越大，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性越弱。若不考慮反饋條件，則[114]

(12)

Dong等[115]將具有多重支持-依賴(lài)關(guān)系的相互依存網(wǎng)絡(luò)理論推廣到n個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，研究了幾種典型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，得到了較為類(lèi)似的結(jié)論。對(duì)于ER星型網(wǎng)絡(luò)，隨著n的增大，一階相變區(qū)域逐漸增加，二階相變區(qū)域逐漸減小；對(duì)于無(wú)標(biāo)度星型網(wǎng)絡(luò)，隨著n的增大，一階相變區(qū)域保持不變，二階相變區(qū)域逐漸減小，即混合相變區(qū)域逐漸增大；對(duì)于ER環(huán)型網(wǎng)絡(luò)，抗毀性則與n無(wú)關(guān)。此外，Dong等[116]還研究了蓄意攻擊下，ER和無(wú)標(biāo)度完全依存樹(shù)型網(wǎng)絡(luò)以及ER部分依存環(huán)型網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，分析了不同攻擊概率下網(wǎng)絡(luò)特性的變化。

2.4 考慮網(wǎng)絡(luò)的負(fù)荷和容量

與拓?fù)浼?jí)聯(lián)失效模型類(lèi)似，負(fù)荷-容量模型也被認(rèn)為是研究相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的重要模型之一，但相關(guān)成果仍較少。Zio等[117]以IEEE-96節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)構(gòu)建相互依存網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)都具有相同的初始負(fù)荷，且節(jié)點(diǎn)失效后，其相鄰節(jié)點(diǎn)和依存節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷會(huì)以一定比例增長(zhǎng)，記為P和I。通過(guò)施加一定的擾動(dòng)，研究了不同依存邊數(shù)目、P、I以及初始負(fù)荷對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，并指出增加依存邊數(shù)目和I可以提高其抗毀性。Brummitt等[118]采用一種多型分支過(guò)程研究了依存關(guān)系、容量以及不均勻負(fù)荷對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，指出容量大的網(wǎng)絡(luò)更容易出現(xiàn)全局崩潰。Su等[119]以介數(shù)定義節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)荷，以線性關(guān)系定義節(jié)點(diǎn)的容量，研究了無(wú)標(biāo)度和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊下的抗毀性，指出依存節(jié)點(diǎn)比例的增加會(huì)降低網(wǎng)絡(luò)的效率。Su等[119]以北京的公交和地鐵網(wǎng)絡(luò)為例，分析了不同攻擊策略下網(wǎng)絡(luò)效率的變化，并解釋了在高峰時(shí)增加公交數(shù)目能夠緩解交通壓力的原因，指出負(fù)荷較大的公交節(jié)點(diǎn)和地鐵線路對(duì)北京的交通系統(tǒng)具有重要的影響。Wang等[120]以同樣的方式定義了節(jié)點(diǎn)負(fù)荷和容量，分析了中國(guó)某電力-供水相互依存網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)和蓄意攻擊下的抗毀性。Chen等[121]也以同樣的方式定義了節(jié)點(diǎn)負(fù)荷和容量，研究了同配耦合、異配耦合和隨機(jī)耦合在不同q下的特性，指出q較小時(shí)，異配耦合更為魯棒；而q較大時(shí)，同配耦合較為魯棒。Hong等[122]則基于交通流級(jí)聯(lián)失效模型發(fā)現(xiàn)同配耦合方式較好。Tan等[123]也基于交通流級(jí)聯(lián)失效模型研究了不同耦合方式對(duì)隨機(jī)和無(wú)標(biāo)度相互依存網(wǎng)絡(luò)的影響，發(fā)現(xiàn)同配耦合時(shí)，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)和蓄意攻擊下都具有較好的抗毀性，異配耦合效果較差；而無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)則在不同攻擊方式和耦合方式下表現(xiàn)出不同的抗毀性。陳等[124]以無(wú)標(biāo)度、小世界和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，構(gòu)建了6種對(duì)稱(chēng)和不對(duì)稱(chēng)相互依存網(wǎng)絡(luò)，并基于負(fù)荷容量模型，研究了耦合邊權(quán)值、連接邊權(quán)值以及臨界成本對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響。Ji等[125]提出通過(guò)增加網(wǎng)絡(luò)連接邊來(lái)提高相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，考慮了常見(jiàn)的介數(shù)、度數(shù)、代數(shù)連通性以及隨機(jī)添加方式，研究了單個(gè)網(wǎng)絡(luò)添加和雙網(wǎng)絡(luò)添加對(duì)抗毀性的不同影響，發(fā)現(xiàn)雙網(wǎng)絡(luò)添加的效果要明顯優(yōu)于單網(wǎng)絡(luò)添加。此外，Ji等還定義了網(wǎng)絡(luò)間度-度差異性，并提出了兩種新的添加方式，即隨機(jī)度-度相關(guān)性添加和低度-度相關(guān)性添加。

3 相互依存網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用―以電力系統(tǒng)為例

相互依存網(wǎng)絡(luò)作為一類(lèi)特殊的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，表現(xiàn)出許多單個(gè)網(wǎng)絡(luò)不具有的動(dòng)力學(xué)特性。在眾多特性之中，級(jí)聯(lián)失效被認(rèn)為是研究和理解現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的重要方法之一。自2010年Buldyrev等系統(tǒng)地提出相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的模型與失效過(guò)程以來(lái)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究又被推向一個(gè)新的階段。作為一種新的手段和方法，經(jīng)過(guò)近幾年的發(fā)展，相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的相關(guān)成果已被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如共生生態(tài)系統(tǒng)[126]、電力-信息系統(tǒng)[104,127]、電力-供水系統(tǒng)[128-129]、電力-燃?xì)庀到y(tǒng)[130-131]、電力-鐵路系統(tǒng)[132]、硬件-軟件系統(tǒng)[133]、項(xiàng)目組織-任務(wù)系統(tǒng)[134]、供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)、銀行網(wǎng)絡(luò)[135]、鐵路-電力-信息系統(tǒng)[136]等。在眾多應(yīng)用中，電力系統(tǒng)由于其特殊的電力背景而備受關(guān)注，其中最典型的例子是電力和信息系統(tǒng)構(gòu)成的耦合網(wǎng)絡(luò)，即一類(lèi)信息物理耦合電力系統(tǒng)(Cyber-physical power grid，CPPG)。隨著電力網(wǎng)和電力信息系統(tǒng)之間的交互愈加緊密，相互關(guān)聯(lián)的電力信息系統(tǒng)和電力網(wǎng)將成為未來(lái)新一代電網(wǎng)的重要組成部分。孤立地研究電力信息系統(tǒng)或電力網(wǎng)，將不能完整地認(rèn)識(shí)電力系統(tǒng)是由信息網(wǎng)和電力網(wǎng)組成的信息-物理融合系統(tǒng)，而相互依存網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)為電力系統(tǒng)的研究提供了新的思路。

2015年12月底，烏克蘭國(guó)內(nèi)多個(gè)地區(qū)的電網(wǎng)遭受黑客攻擊，導(dǎo)致國(guó)內(nèi)大規(guī)模停電，這也是世界上首次由信息攻擊引發(fā)的大規(guī)模停電事件[137]。黑客將外部電腦病毒植入到烏克蘭電網(wǎng)公司的EMS(Energy Management System)后，使底層發(fā)電機(jī)或變電站的控制服務(wù)器關(guān)機(jī)，喪失對(duì)相應(yīng)物理設(shè)備的感知與控制功能，導(dǎo)致部分設(shè)備運(yùn)行中斷。此外，病毒通過(guò)信息網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行大范圍傳播，導(dǎo)致電網(wǎng)公司與底層多個(gè)發(fā)電站及變電站失去聯(lián)系，進(jìn)一步喪失了對(duì)電網(wǎng)設(shè)備的感知與實(shí)時(shí)控制，導(dǎo)致其無(wú)法做出正確的決策與調(diào)度，從而引發(fā)大范圍的停電事故(如圖7所示)。由此可見(jiàn)，研究電力網(wǎng)和信息網(wǎng)之間的交互過(guò)程，尋找提升電力信息耦合網(wǎng)絡(luò)抗毀性的方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

將電力網(wǎng)中的發(fā)電廠、變電站和負(fù)荷看做節(jié)點(diǎn)，電力線看做邊，就可將電力網(wǎng)抽象為一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；同樣地，把信息網(wǎng)抽象為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可將SCADA系統(tǒng)、PMU和調(diào)度中心等看做節(jié)點(diǎn)，通信線看做邊。一般地，我們假設(shè)電力網(wǎng)的正常運(yùn)行需要信息網(wǎng)的調(diào)度與控制，即電力節(jié)點(diǎn)和信息節(jié)點(diǎn)之間存在一定的依存邊(如圖8所示)。依據(jù)相互依存網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程，簡(jiǎn)化模型往往假設(shè)信息節(jié)點(diǎn)故障會(huì)造成相耦合的電力節(jié)點(diǎn)的故障，反之電力節(jié)點(diǎn)故障也會(huì)造成信息節(jié)點(diǎn)故障。也即是認(rèn)為在電力-信息網(wǎng)絡(luò)中，電力節(jié)點(diǎn)的安全運(yùn)行依靠信息節(jié)點(diǎn)的調(diào)度，而信息節(jié)點(diǎn)的正常運(yùn)行也需依靠電力節(jié)點(diǎn)供電。但相關(guān)研究表明，變電站等重要節(jié)點(diǎn)廣泛使用UPS電源，電力節(jié)點(diǎn)故障短時(shí)間內(nèi)也不會(huì)影響信息網(wǎng)的正常運(yùn)行。因此，電力節(jié)點(diǎn)失效并不一定會(huì)造成信息節(jié)點(diǎn)失效。同理，信息節(jié)點(diǎn)失效，調(diào)度中心無(wú)法掌握相應(yīng)的電力節(jié)點(diǎn)信息，無(wú)法對(duì)電力網(wǎng)進(jìn)行正確控制，但不一定會(huì)有線路斷開(kāi)。

圖7 烏克蘭大停電電力網(wǎng)和信息網(wǎng)的交互過(guò)程示意圖[137]Fig.7 Diagram of interactions between power and information network in the blackout of Ukraine

圖8 意大利電網(wǎng)和通信網(wǎng)構(gòu)成的相互依存網(wǎng)絡(luò)[104]Fig.8 Interdependent networks of power grid and communication network in Italy

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的興起為電力系統(tǒng)的研究提供了新的思路，但目前對(duì)于CPPG級(jí)聯(lián)失效的研究仍較少。多數(shù)研究都是基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或負(fù)荷-容量級(jí)聯(lián)失效模型的，并未考慮實(shí)際電力網(wǎng)絡(luò)的潮流分配和通信網(wǎng)的調(diào)度功能。與電力系統(tǒng)相同，現(xiàn)實(shí)世界的系統(tǒng)之間多存在復(fù)雜的耦合關(guān)系。研究相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性能更好地幫助人們理解現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)失效/連鎖故障過(guò)程，以提高相應(yīng)關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的可靠性。

4 結(jié)束語(yǔ)

正如Barabási所說(shuō)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一種工具，它可被用來(lái)解決各個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題。若脫離實(shí)際背景和物理意義，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)也就變得沒(méi)有意義了。單個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)向相互依存網(wǎng)絡(luò)/多層網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展本就是為了模擬現(xiàn)實(shí)世界中各系統(tǒng)之間日益增強(qiáng)的依賴(lài)和耦合關(guān)系。相關(guān)文獻(xiàn)表明，研究者在很早之前就提出相互依存或依賴(lài)等概念，用以描述基礎(chǔ)設(shè)施或現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)。研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)或相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的主要目的也是為了理解真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體之間的交互過(guò)程，尋找抑制或減少網(wǎng)絡(luò)連鎖故障的方法，提高網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)性能。在近幾年的研究中，無(wú)論是多耦合邊、相似耦合或空間耦合，都是為了更好地模擬真實(shí)網(wǎng)絡(luò)，具有明顯的物理意義，但部分研究仍與真實(shí)情況相距較遠(yuǎn)，無(wú)法解決所描述的問(wèn)題，如前述的電力系統(tǒng)建模。因此在未來(lái)的研究中，研究者應(yīng)多結(jié)合自身領(lǐng)域經(jīng)驗(yàn)，以實(shí)際系統(tǒng)出發(fā)，建立面向真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的模型。

一方面，多數(shù)文獻(xiàn)雖在引言中充分說(shuō)明了模型或研究的物理意義，但并未在數(shù)值仿真過(guò)程中采用真實(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，而往往采用隨機(jī)生成的網(wǎng)絡(luò)模型，與實(shí)際系統(tǒng)有一定的差距。另一方面，研究采用的解析方法(如滲流理論)僅適用于某些簡(jiǎn)化的失效模型(如拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)失效模型)，并不適用于復(fù)雜的、多約束的真實(shí)系統(tǒng)。對(duì)于這些問(wèn)題，僅能采用數(shù)值仿真的方法進(jìn)行研究，即無(wú)法對(duì)結(jié)論給予嚴(yán)格的證明和解釋。因此，應(yīng)著力于真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的分析和研究，尋找適用于真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的解析方法，以解決實(shí)際問(wèn)題。

從圖1所示的基礎(chǔ)設(shè)施關(guān)聯(lián)性可以看出，多個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。雖然NON系統(tǒng)已受到學(xué)者的廣泛關(guān)注，但目前關(guān)于相互依存網(wǎng)絡(luò)抗毀性的研究仍多以?xún)蓚€(gè)網(wǎng)絡(luò)為主，且部分結(jié)論無(wú)法直接推廣到NON系統(tǒng)中。此外，關(guān)于NON的研究也多局限于某些具有簡(jiǎn)單且特殊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的系統(tǒng)(如星型、樹(shù)型、環(huán)型等)，而現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的拓?fù)鋸?fù)雜性要遠(yuǎn)高于此。研究者應(yīng)深入分析多系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)性，研究復(fù)雜且具有一般拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的NON系統(tǒng)的抗毀性。

關(guān)于相互依存網(wǎng)絡(luò)的抗毀性研究，本文所列文獻(xiàn)僅是以偏概全，僅列出了幾個(gè)涉及比較廣泛的領(lǐng)域，還有一些未成體系的研究并未列出。作者希望通過(guò)對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的整理與總結(jié)，為研究者提供一定的參考和思路。

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ReviewonInvulnerabilityofInterdependentNetworks

DONG Zhengchenga, FANG Yanjuna, TIAN Mengb

(a.School of power and mechanical engineering; b.School of electronic and information, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Via arrangement and classification of literatures, a review on invulnerability of interdependent networks in recent years is made. As the research foundation of invulnerability of interdependent networks, this paper first introduces some common methods of network invulnerability. Then we make arrangements on related researches from some fields, and take the power system as an example to explain the applications of interdependent networks. In the end, some conclusions and outlook are made for the researches and developments of invulnerability on interdependent networks. We hope this review can provide reference and research idea for researchers.

interdependent networks; invulnerability; cascading failures; power-communication coupled networks

1672-3813(2017)03-0030-015；

10.13306/j.1672-3813.2017.03.003

N94

A

2016-11-08；

2017-01-04

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51707135)；中國(guó)博士后科學(xué)基金(2017M612499)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(413000057,2042017kf0037)

董政呈(1990-)，男，河南周口人，助理研究員，主要研究方向?yàn)橄嗷ヒ来婢W(wǎng)絡(luò)，物理信息融合電力系統(tǒng)。

(責(zé)任編輯耿金花)