楊鳳鬧， 徐 開(kāi)， 李 峰

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033; 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049;3.長(zhǎng)光衛(wèi)星技術(shù)有限公司,長(zhǎng)春 130033)

基于能耗約束的控制力矩陀螺可重構(gòu)性分析

楊鳳鬧1,2， 徐 開(kāi)1,3， 李 峰3

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033; 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049;3.長(zhǎng)光衛(wèi)星技術(shù)有限公司,長(zhǎng)春 130033)

對(duì)衛(wèi)星執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制力矩陀螺的可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了研究，提出了一種基于能耗約束下的控制力矩陀螺可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)合衛(wèi)星姿態(tài)控制動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，建立狀態(tài)空間形式表達(dá)的線性姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，將故障失效因子向量引入到線性空間方程；建立了基于格蘭姆矩陣的可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)。最后對(duì)金字塔構(gòu)型的控制力矩陀螺群進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果符合實(shí)際情況，驗(yàn)證了該度量標(biāo)準(zhǔn)的正確性與有效性。

控制力矩陀螺； 可重構(gòu)性； 度量標(biāo)準(zhǔn)

0 引言

由于衛(wèi)星工作環(huán)境以及人工干預(yù)能力有限的獨(dú)特性，對(duì)衛(wèi)星故障的研究已成為熱點(diǎn)之一。通過(guò)對(duì)衛(wèi)星在軌故障統(tǒng)計(jì)可知，姿控分系統(tǒng)發(fā)生故障占整個(gè)衛(wèi)星故障的28.8%，而衛(wèi)星執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障占姿控系統(tǒng)故障的30%[1]，所以對(duì)衛(wèi)星執(zhí)行機(jī)構(gòu)的故障研究愈發(fā)重要。

與其他衛(wèi)星執(zhí)行機(jī)構(gòu)相比較，控制力矩陀螺以其獨(dú)特的優(yōu)越性，已作為衛(wèi)星執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行了在軌搭載實(shí)驗(yàn)[2]。陀螺失效會(huì)使陀螺群原有的控制力矩陀螺構(gòu)型發(fā)生變化，破壞構(gòu)型的對(duì)稱性，將嚴(yán)重影響姿態(tài)控制的正常進(jìn)行。如果能針對(duì)陀螺失效問(wèn)題,構(gòu)建一個(gè)控制力矩陀螺可重構(gòu)性的度量指標(biāo)，對(duì)提高衛(wèi)星控制力矩陀螺的可重構(gòu)性設(shè)計(jì)水平進(jìn)而提高系統(tǒng)故障處理能力具有重要意義。文獻(xiàn)[3]最早提出在能耗約束條件下，系統(tǒng)執(zhí)行器故障后的可重構(gòu)性與故障系統(tǒng)是否存在可容許的解有關(guān)；文獻(xiàn)[4]提出了雙線性系統(tǒng)可重構(gòu)性的測(cè)量方法，保證了系統(tǒng)在工作過(guò)程中有足夠的冗余；文獻(xiàn)[5]對(duì)衛(wèi)星混合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的可重構(gòu)性進(jìn)行了研究，表明混合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的可重構(gòu)性與構(gòu)型、安裝數(shù)目以及功耗有著密切的關(guān)系，為衛(wèi)星混合執(zhí)行機(jī)構(gòu)可重構(gòu)性評(píng)價(jià)和設(shè)計(jì)提供了相關(guān)參考；文獻(xiàn)[6]總結(jié)了衛(wèi)星常用的5種輪控構(gòu)型，從可靠性和能耗等方面對(duì)各種構(gòu)型進(jìn)行了可重構(gòu)性比較和分析，以此為基礎(chǔ)提煉出動(dòng)量輪可重構(gòu)性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則?，F(xiàn)有的研究成果主要集中在以動(dòng)量輪為主的可重構(gòu)性研究，而針對(duì)控制力矩陀螺可重構(gòu)性的研究較少，所以需要設(shè)計(jì)一種針對(duì)控制力矩陀螺可重構(gòu)性研究的定性方法，不僅能在故障后分析其可重構(gòu)性，而且能在故障前甚至設(shè)計(jì)階段分析其可重構(gòu)控制問(wèn)題，包括發(fā)生故障時(shí)是否可重構(gòu)。

本文以建立針對(duì)控制力矩陀螺的可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)為目標(biāo)，基于線性化理論和可控性格蘭姆矩陣，提出一種針對(duì)控制力矩陀螺的可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)，并且從能耗可控性的角度分析了部分陀螺失效后對(duì)金字塔構(gòu)型控制力矩陀螺群可重構(gòu)性的影響。

1 研究對(duì)象數(shù)學(xué)描述

應(yīng)用控制力矩陀螺作為三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的執(zhí)行機(jī)構(gòu)時(shí)，衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程的一般式為

(1)

(2)

則式(1)可展開(kāi)為

(3)

式中：Ix，Iy，Iz分別是剛體繞坐標(biāo)軸Ox，Oy，Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；衛(wèi)星在軌道坐標(biāo)系中姿態(tài)由滾動(dòng)角φ、俯仰角θ和偏航角ψ表示。在三軸穩(wěn)定控制問(wèn)題中，這些角度均為小量。衛(wèi)星坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)系之間的姿態(tài)矩陣為

(4)

(5)

將式(5)代入式(3)可得,由姿態(tài)角表示的衛(wèi)星線性姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

(7)

式中：A矩陣可由已知參數(shù)求出；B矩陣反映了控制力矩陀螺冗余配置情況，與控制力矩陀螺的安裝構(gòu)型有關(guān)；C矩陣與系統(tǒng)可觀性有關(guān)，C矩陣發(fā)生變化，相應(yīng)的系統(tǒng)可觀性也發(fā)生變化。

本文主要研究控制力矩陀螺的可重構(gòu)性，認(rèn)為滿足可觀性?？芍貥?gòu)性研究的主要問(wèn)題是：當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障后，研究系統(tǒng)的可控可觀性是否能夠保留，如果可控可觀性喪失，則需要采用硬件冗余和軟件冗余等方式恢復(fù)系統(tǒng)的可控可觀性，若仍然無(wú)法恢復(fù)正常，則認(rèn)為系統(tǒng)不具備可重構(gòu)性。

2 控制力矩陀螺可重構(gòu)性分析模型

2.1 可控性與可重構(gòu)性分析

控制力矩陀螺與動(dòng)量輪、反作用飛輪同屬常用的衛(wèi)星姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)中的角動(dòng)量交換裝置?？刂屏赝勇輧?yōu)勢(shì)在于極高的力矩放大能力，動(dòng)態(tài)響應(yīng)平穩(wěn)快速，可輸出連續(xù)光滑的控制力矩，控制精度高且主要使用電能，適用于長(zhǎng)壽命工作,其常見(jiàn)配置有金字塔構(gòu)型、五棱錐構(gòu)型等。

(8)

線性系統(tǒng)的可控性是基于狀態(tài)方程的控制理論的基礎(chǔ)，可控性的概念是KALMAN于1960年提出的[7]。

系統(tǒng)完全可控的一種判定方式，系統(tǒng)的可控格蘭姆(Gram)矩陣為非奇異矩陣則系統(tǒng)可控[8]。下面證明此方法。

系統(tǒng)的可控格蘭姆矩陣定義為

Lc=φ(tf,σ)φT(tf,σ)

(9)

Ti=(eAσk(tf-tk)…eAi(ti+1-ti))。

(10)

當(dāng)格蘭姆矩陣為非奇異矩陣時(shí)，控制U可以表示為

(11)

系統(tǒng)在tf時(shí)刻，滿足

x(tf)-T0x(t0)=φ(tf,σ)U。

(12)

結(jié)合式(9)、式(11)和式(12)后可得x(tf)=0，表明任一狀態(tài)可以在初始狀態(tài)x(t0)處，在有限時(shí)間tf內(nèi)和控制輸入U(xiǎn)作用下,能夠轉(zhuǎn)移到tf時(shí)刻的x(tf)=0，根據(jù)系統(tǒng)可控性定義，可知系統(tǒng)可控。

綜合上述分析，控制力矩陀螺的可重構(gòu)性包含了兩個(gè)層次：1) 故障發(fā)生之后仍然具有可控可觀性； 2) 控制能耗需要滿足能量消耗約束條件[9]。理想情況下，系統(tǒng)失效后仍然能夠可控，而且能夠具有完成任務(wù)的能力，就可以認(rèn)為系統(tǒng)具有可重構(gòu)性。但是，對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)而言，由于本身資源的有限性，需要考慮控制力矩陀螺重構(gòu)所需的能耗約束。

(13)

結(jié)合式(11)、式(12)與式(13)，經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)[10]，可求出系統(tǒng)的最大能耗ρ=λmin(Lc)。

失效因子向量a引入到控制力矩陀螺中，則可知可控性格蘭姆矩陣Lc由{A，Bf(a)}決定，所以控制力矩陀螺失效故障將導(dǎo)致系統(tǒng)的可控性降低，同時(shí)系統(tǒng)所需的控制能耗也增大。因此，控制力矩陀螺故障發(fā)生之后可重構(gòu)需要滿足可控和能耗約束條件。

2.2 控制力矩陀螺的可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)

美國(guó) Iowa州立大學(xué)的LEE在1997年定義了可重構(gòu)性的概念，即可重構(gòu)性是系統(tǒng)以低成本和短周期重組系統(tǒng)的能力[11]。文獻(xiàn)[12]最早提出了可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)，把二階模態(tài)的概念應(yīng)用于系統(tǒng)模型降階。

對(duì)控制力矩陀螺的可重構(gòu)性，本文定義了可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)ρ=λmin(Lc)，η是針對(duì)控制力矩陀螺給定的最小可重構(gòu)性閾值。如果系統(tǒng)可控且滿足ρ≥η，則控制力矩陀螺具有可重構(gòu)性。該定義標(biāo)準(zhǔn)需要解出系統(tǒng)可控性格蘭姆矩陣的最小特征值，用其對(duì)控制力矩陀螺可重構(gòu)性的大小進(jìn)行度量,λmin(Lc)越大，則控制能耗越小，可重構(gòu)性越大。控制力矩陀螺在故障后需要同時(shí)滿足可控性和能耗約束條件，這是判別控制力矩陀螺故障后可重構(gòu)性大小的一種方法，可控性與可重構(gòu)性之間的關(guān)系可用表1表示。

表1 可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)判別關(guān)系

3 仿真驗(yàn)證

本文以金字塔構(gòu)型的控制力矩陀螺群為研究對(duì)象，利用上述理論方法對(duì)其可重構(gòu)性進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真參數(shù)如下:衛(wèi)星慣量矩Ix=32.5 kg·m2，Iy=19.5 kg·m2，Iz=25.3 kg·m2，ω0=0.001 1 rad/s為軌道角速度。

金字塔構(gòu)型由4個(gè)框架軸垂直于金字塔體側(cè)面的控制力矩陀螺組成，見(jiàn)圖1。

圖1 金字塔構(gòu)型陀螺群示意圖Fig.1 Pyramid-type of CMG

本文利用可控性判定矩陣Tc來(lái)判定系統(tǒng)可控性，當(dāng)Rank(Tc)=6時(shí)，系統(tǒng)定義為可控，Rank(Tc)<6時(shí)定義系統(tǒng)不可控。針對(duì)控制力矩陀螺失效后可重構(gòu)性計(jì)算見(jiàn)表2，假設(shè)η=3×10-4,在表中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)只有1個(gè)陀螺失效時(shí)，ρ=λmin(Lc)>η,說(shuō)明故障后控制力矩陀螺群仍然可控而且具有可重構(gòu)性，但是可重構(gòu)性下降幅度較大；當(dāng)2個(gè)陀螺失效時(shí)，ρ=λmin(Lc)<η，系統(tǒng)仍然可控，但是可重構(gòu)性幾乎為零，不具備可重構(gòu)性;當(dāng)控制力矩陀螺失效3個(gè)和全部失效時(shí)，系統(tǒng)不可控而且不具備可重構(gòu)性。

表2 金字塔構(gòu)型陀螺群的可重構(gòu)性

針對(duì)金字塔構(gòu)型控制力矩陀螺構(gòu)型分析兩種故障:1) 陀螺1和陀螺2發(fā)生故障，陀螺3和陀螺4正常工作； 2) 陀螺1完全失效，陀螺2和陀螺3故障，陀螺4正常工作。圖2表示控制力矩陀螺可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)λmin(Lc)在故障1的變化情況，圖3表示λmin(Lc)針對(duì)故障2的變化情況。分析圖2可知：如果陀螺1或陀螺2的有效率高于60%，控制力矩陀螺群仍然具備可重構(gòu)性；分析圖3可知，陀螺1已完全失效，如果陀螺2和陀螺3具有很高的使用有效率，則控制力矩陀螺群具有可重構(gòu)性。綜合圖2、圖3分析可知：隨著控制力矩陀螺失效程度的增加和冗余程度的降低，系統(tǒng)的可重構(gòu)性也逐漸降低。

圖2 故障1對(duì)應(yīng)陀螺群可重構(gòu)性度量曲面Fig.2 Reconfigurability surface of CMGs for case 1

圖3 故障2對(duì)應(yīng)陀螺群可重構(gòu)性度量曲面Fig.3 Reconfigurability surface of CMGs for case 2

4 結(jié)論

本文研究了控制力矩陀螺可重構(gòu)性度量標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題。結(jié)合可控性、能耗與可重構(gòu)性之間的關(guān)系，基于控制能耗約束下，把可控性格蘭姆矩陣的最小特征值作為評(píng)價(jià)控制力矩陀螺可重構(gòu)性大小的標(biāo)準(zhǔn)；并且通過(guò)對(duì)金字塔構(gòu)型控制力矩陀螺進(jìn)行了仿真，結(jié)果符合實(shí)際應(yīng)用情況，驗(yàn)證了該理論分析的正確性和可行性，為以后的控制力矩陀螺可重構(gòu)技術(shù)研究提供了一定的理論基礎(chǔ)。

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ReconfigurabilityAnalysisofControlMomentGyroUnderEnergyConstraint

YANG Feng-nao1,2, XU Kai1,3, LI Feng3

(1.Changchun Institute of Optics,Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China;2.University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China; 3.Changguang Satellite Technology Co.Ltd,Changchun 130033,China)

The reconfigurability metric standard of control moment gyro of satellite actuator was studied,and a reconfigurability metric standard under energy consumption constraint was proposed.Based on the satellite attitude control dynamics equation and kinematic equation,a linear dynamics equation was established in the form of state space.Failure fault factor vector was introduced into the linear dynamic equation.The reconfigurability metric standard was established based on Gram matrix.Finally,simulation was made for control moment gyro group with pyramid configuration,and the result show that this method is correct and effective.

control moment gyro； reconfigurability； metric

V448.2

A

1671-637X(2017)03-0077-04

2016-03-24

2016-11-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(41501383)

楊鳳鬧(1991 —),男，河北滄州人，碩士，研究方向?yàn)樾l(wèi)星姿態(tài)控制。