張 帆， 徐華中， 向 云， 汪賽力

(武漢理工大學自動化學院，武漢 430070)

針對含噪信號的自適應跟蹤微分器改進研究

張 帆， 徐華中， 向 云， 汪賽力

(武漢理工大學自動化學院，武漢 430070)

跟蹤含噪信號時，傳統(tǒng)的自適應跟蹤微分器會有擾動引入到速度因子和濾波因子參數中，導致系統(tǒng)跟蹤紊亂從而跟蹤到噪聲。針對這個問題，分析了噪聲引入的原因，研究了傳統(tǒng)自適應跟蹤微分器的性能，提出了將跟蹤間距的滑動窗口標準差估計作為輸入的自適應函數來調整濾波因子和速度因子的改進跟蹤微分器(IATD)的實現方法。仿真結果表明，IATD具有精確的參數調整能力，噪聲條件下擁有更快的跟蹤速度，同時在寬范圍信噪比條件下也具有更強的噪聲抑制能力。

含噪信號； 自適應跟蹤微分器； 滑動窗口標準差； 噪聲抑制

0 引言

在控制和測量領域，從噪聲環(huán)境中提取或者恢復有效的原始信號對于控制系統(tǒng)性能至關重要[1-2]。傳統(tǒng)方法采用維納濾波器和卡爾曼濾波器，計算量很大，為提高濾波器設計的簡便性、實用性[3]，1994年,韓京清等人[4]提出跟蹤-微分器(TD)的概念，2004年，武利強等人[3]研究了跟蹤微分器的濾波性能，解決了由不連續(xù)或帶隨機噪聲的量測信號中提取連續(xù)的有效信號及其微分信號問題。跟蹤微分器具有良好的跟蹤性能和抗干擾能力，但隨著信號與混雜噪聲的變化，跟蹤的速度和噪聲抑制能力就會一定程度地減弱；為此，2002年，景奉水等人[5]根據最優(yōu)控制原理，提出了依據跟蹤信號與輸入信號的間距去控制速度因子的線性自適應函數，一定程度上提高了跟蹤微分器的快速性，但是并未考慮濾波因子，且一旦信號含噪聲，速度因子很容易受干擾；2009年，QIAO G等人[6]同樣忽略濾波因子，提出了將S形函數作為自適應控制函數，在輸入信號較小時會產生滯后；隨后，范紅偉等人[7]考慮了低噪聲環(huán)境下跟蹤誤差的變化規(guī)律，結合統(tǒng)計方法，于2012年提出了控制速度因子和濾波因子變化的概率函數，這樣的設計同時考慮速度因子和濾波因子，但是概率函數由跟蹤信號的微分來控制，一旦混雜噪聲，便迅速引入概率函數中，影響跟蹤的性能。

本文受統(tǒng)計學中運用標準差法分析、處理數據得到有效估計的啟發(fā)，引入滑動窗口標準差，實現跟蹤間距的準確估計，避免了自適應參數中的擾動；為了更快地調整到最佳跟蹤狀態(tài)，對文獻[5]提出的自適應結構進行了修改，兼顧跟蹤的快速性和收斂性，實現了改進跟蹤微分器(Improved Adaptive Tracking Differentiator,IATD)的設計；結合文獻[7]，提出了更全面的IATD的性能評估方案。通過仿真驗證了IATD的有效性及相對其他跟蹤微分器的優(yōu)勢。

1 問題分析

跟蹤微分器(Tracking Differentiator,TD)是針對連續(xù)信號進行跟蹤并提取微分信號的數值算法，而實際應用更多的是其離散形式[8]，即

(1)

以下是對跟蹤微分器結構的進一步說明

(2)

式中：x1和x2為二階系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f為最速綜合控制函數;sat(x,δ)為飽和函數；v為輸入信號；x1為v的跟蹤信號；x2為x1的導數；h為采樣周期；h0為濾波因子，決定濾波的輕重程度；r為速度因子，決定跟蹤速度的快慢。r越大，系統(tǒng)跟蹤速度越快，適當地選取h，可以很好地濾除噪聲，但h過大，又會增加相位損失，因此參數整定需同時考慮兩方面的性能[9]。

由文獻[4]可知，只要速度因子和濾波因子選取適當，跟蹤微分器可以任意精度提取原始信號的最佳逼近；人工經驗法可選擇可用的速度因子和濾波因子，但無法選擇指標性優(yōu)化參數[10]；由文獻[3-7]可知，在實際系統(tǒng)中，根據跟蹤微分器的跟蹤信號及其微分信號，找到與速度因子及濾波因子之間的定性關系，便可設計出自適應調整參數的跟蹤微分器。

(3)

(4)

由此進一步分析可知，只有輸入理想時，自適應控制函數用于跟蹤微分器才可獲得理想效果；當輸入含有噪聲時，自適應控制函數用于跟蹤微分器便會引起系統(tǒng)的震蕩，削弱跟蹤性能。

2 IATD的改進設計

2.1 TD,ATD的性能

首先分析傳統(tǒng)自適應跟蹤微分器的性能。文獻[5]根據最優(yōu)控制理論提出自適應跟蹤微分器(記為ATD1)，r值隨跟蹤信號和輸入信號間距做線性變化，如

r=r0+k|x1-v|

(5)

式中,k為控制系數。

文獻[7]提出自適應跟蹤微分器(記為ATD2)，讓r和h0作為跟蹤信號的微分概率函數,如

(6)

式中：γ1和γ2為概率系數；A和B分別為速度因子的起始值和變化范圍。

根據上文分析，式(5)和式(6)均形如式(4)，輸入含噪聲時，對應的速度因子和濾波因子也會引入噪聲。下面仿真分析TD，ATD1及ATD2的性能。設原始信號v=0.2sin 5t，加入方差為0.01的高斯噪聲，積分步長h=0.000 1，初始濾波因子h0=0.001，速度因子r=30。首先研究跟蹤性能，如圖1所示。由圖1可知，TD的跟蹤存在較大滯后；ATD1的快速性有所提高，相比TD滯后減??；ATD2響應很快，但完全跟蹤了噪聲。

圖1 TD，ATD1與ATD2跟蹤對比Fig.1 Tracking performance comparison of TD,ATD1 and ATD2

為進一步分析跟蹤參數的噪聲引入情況，繪制了3種跟蹤微分器速度、濾波因子曲線，如圖2所示。圖2a中TD參數不變，同初始整定速度、濾波因子；圖2b中ATD1雖然不斷調整速度因子的變化，但震蕩嚴重，且濾波因子不可控；圖2c中ATD2的速度、濾波因子也存在明顯噪聲干擾。

圖2 跟蹤微分器參數對比Fig.2 Tracking parameter comparison

根據上文可知：1) 采用跟蹤信號的微分構成的自適應控制函數，在提高跟蹤響應的同時，也提高了噪聲跟蹤的響應；2) 濾除自適應控制函數中的噪聲，才能更快地調整到最佳跟蹤性能。

2.2 滑動窗口標準差估計

針對上述觀點，做以下分析，假設輸入信號v由原始信號φ和高斯噪聲n構成如下

v=φ+n

(7)

式是:φ=Asinωt;n=rand(B)。

所謂高斯噪聲，一般指均值為零的白噪聲的隨機過程，若其自相關序列為

(8)

針對式(7)的輸入信號，假設存在理想跟蹤微分器，跟蹤信號為x1=Asinωt，跟蹤間距為

|x1-v|=|rand(B)|。

(9)

考慮輸入均勻分布的高斯白噪聲，即理想跟蹤效果下跟蹤間距應為常數，而ATD1和ATD2的速度、濾波因子是擾動的。為此，基于統(tǒng)計學方法[11]，提出滑動窗口標準差(Moving Window Standard Deviation,MWSD)估計方法，其算式為

(10)

圖3 MWSD估計Fig.3 Estimation of MWSD

2.3 IATD的設計

在跟蹤微分器跟蹤過程中，跟蹤間距與速度、濾波因子存在定性關系,所以設計這樣的自適應函數,如下式

(11)

式中,std()為滑動窗口標準差估計函數，表示在跟蹤含高斯噪聲的信號時，對跟蹤間距到平均值為零的離散程度的估計。跟蹤間距增大時，首先跟蹤速度加快，同時濾波加重，跟蹤間距又隨之下降；跟蹤間距減小時，濾波減輕，跟蹤速度下降，TD滯后，跟蹤間距又隨之增大?？傊?，跟蹤間距及兩個參數互相不斷調節(jié)，當間距趨于參考間距值并穩(wěn)定時，速度、濾波因子最佳。 將式(11)代入式(1)，可得改進的自適應跟蹤微分器。式(11)中,kr為速度因子控制系數，kh0為濾波因子控制系數，其他各參數意義同式(1)，即IATD是TD的拓展，也可以說，IATD是對ATD1結構上的改進，結構對比如圖4所示。

圖4 ATD1和IATD結構對比Fig.4 Structure of ATD1 and IATD

3 仿真驗證

為驗證IATD的效果，將IATD與TD，ATD1以及ATD2仿真比較。取信噪比為40 dB的高斯噪聲，原始信號幅值為0.2，頻率為5 Hz；跟蹤微分器的初始速度因子r=30，濾波因子h0=0.001。

圖5a為對含有噪聲的正弦信號的跟蹤，結合圖1可知，相比之下，IATD具有最好的性能；結合圖5b可知，IATD的跟蹤誤差變化平穩(wěn)，在快速響應的同時，有良好的噪聲抑制能力。

圖6為IATD跟蹤上文所述條件下輸入信號時速度因子和濾波因子的變化曲線。由圖可知，相比圖2中TD,ATD1及ATD2的參數變化，IATD僅含有少量的噪聲，很好地避免了震蕩的產生。

文獻[7]提出跟蹤性能的評價指標失真因子概念(用P表示，包括滯后因子Q和噪聲因子R，即P=Q+R，P越低即跟蹤性能越好)，為進一步驗證IATD在寬范圍混雜噪聲下的性能，使輸入信號的信噪比在20～70 dB的范圍內變化，采用失真因子作為評價指標完成多組仿真，橫向對比TD，ATD1，ATD2及IATD的性能，繪制圖7。由圖7可知，在寬信噪比范圍內，TD的失真因子較差;ATD1得到一定的改善；ATD2具有極低的失真因子，但結合圖1和圖2c可知，是跟蹤到了噪聲信號所導致；IATD失真因子較TD,ATD1得到很大的改善，也就是說，IATD在寬信噪比范圍內，具有良好的噪聲抑制能力。

圖5 IATD與TD，ATD1，ATD2跟蹤性能對比Fig.5 Tracking performance of TD,ATD1,ATD2 and IATD

圖6 IATD跟蹤參數Fig.6 Tracking parameter of IATD

圖7 寬信噪比范圍內跟蹤性能對比Fig.7 Tracking performance comparison of wide range of signal-noise ratio

4 結束語

本文在分析噪聲引入原理、研究傳統(tǒng)的自適應跟蹤微分器跟蹤性能的基礎上，提出了一種針對含噪信號的自適應跟蹤微分器改進的實現方法。該方法基于滑動窗口標準差估計算法，對跟蹤微分器速度、濾波因子中引入的噪聲進行抑制，兼顧系統(tǒng)跟蹤的快速性和收斂性，在寬信噪比范圍內具有很好的噪聲抑制能力，仿真證明了該方法的有效性。該方法適用于標量系統(tǒng)，對于矢量系統(tǒng)的應用，亦可進一步推導研究。

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ImprovementonAdaptiveTrackingDifferentiatorforNoisySignal

ZHANG Fan, XU Hua-zhong, XIANG Yun, WANG Sai-li

(School of Automation,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

When tracking noisy signals with traditional adaptive tracking differentiator,disturbance may be introduced into rate factor and filtering factor of the differentiator and leads to disorder and tracking to the noise.To solve this problem,the cause of noise was analyzed,performances of adaptive tracking differentiators were studied,and an Improved Adaptive Tracking Differentiator (IATD) was proposed.By using the adaptation function taking the Moving Window Standard Deviation (MWSD) estimation of track spacing as input,the IATD could adjust the rate factor and filtering factor optimally.Simulation indicates that IATD can adjust factors more accurately and rapidly with noisy input,and has better noise restraining ability in wide range of signal noise ratio.

noisy signal; adaptive tracking differentiator; moving window standard deviation; noise restraining

TP273; U467.4

A

1671-637X(2017)03-0060-04

2016-03-08

2016-04-27

國家國際科技合作專項(2012DFA11180)

張 帆(1991 —),男，內蒙古呼和浩特人，碩士生，研究方向為自抗擾控制、信號處理。