馬 強 周鳳璽,2) 劉 杰

*(蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州730050)

?(蘭州交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，蘭州730070)

梯度波阻板的地基振動控制研究1)

馬 強*周鳳璽*,2)劉 杰?

*(蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州730050)

?(蘭州交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，蘭州730070)

波阻板(wave impeding block，WIB)隔振體系是一種有效的振動污染治理措施，雖逐漸被應(yīng)用在工程實際中，但以往的研究多集中于單相固體均質(zhì)材料的情形，而對材料特性沿空間連續(xù)變化的非均勻固體材料的波阻板隔振性能的研究相對較少.基于功能梯度材料(functionally graded material,FGM)特點，本文提出了以功能梯度波阻板作為隔振屏障的一類新型的地基振動控制體系.考慮在彈性地基內(nèi)部設(shè)置梯度波阻板，基于線彈性理論，利用傅里葉積分變換，根據(jù)Helmholtz矢量分解原理，建立了彈性地基在動載荷作用下的回傳射線矩陣法(reverberation ray matrix method，RRMM)計算列式.假設(shè)梯度波阻板的物理力學(xué)性質(zhì)沿深度方向按冪函數(shù)連續(xù)變化，采用數(shù)值傅里葉逆變換獲得了彈性地基的位移和應(yīng)力等物理量的數(shù)值解.通過數(shù)值算例，與單相固體均質(zhì)波阻板進行了對比，并分析討論了梯度波阻板的材料梯度因子、埋深以及梯度波阻板厚度等物理力學(xué)參數(shù)對地基隔振性能的影響規(guī)律.結(jié)果表明，梯度波阻板能有效降低振動的振幅，與單相固體均質(zhì)波阻板相比，梯度波阻板具有更好的減振隔振效果.地基的位移幅值和應(yīng)力幅值隨著梯度因子的增大而減小.梯度波阻板的隔振效果隨著波阻板厚度的增大而提高，而隨著梯度波阻板埋深的增大而降低.

地基振動控制，彈性地基，動力響應(yīng)，梯度波阻板，回傳射線矩陣法

引言

隨著城鎮(zhèn)化建設(shè)和現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展，各種環(huán)境振動引起的環(huán)境污染問題日益頻繁，導(dǎo)致環(huán)境振動的因素越來越多，振源強度越來越大.另一方面，隨著人們生活水平的提高，人們對生活環(huán)境和工作環(huán)境的質(zhì)量要求越來越高，對振動的限制越來越嚴格，環(huán)境振動及其治理已經(jīng)成為巖土工程的研究熱點之一.因此，對環(huán)境振動產(chǎn)生的原因、傳播過程和振動規(guī)律進行研究，找到減振隔振的有效方法，是環(huán)境振動研究的根本目的，具有重要的工程意義和實用價值.

地基振動由于振源位置、振源類型以及地基物理力學(xué)性質(zhì)的不同而產(chǎn)生不同的波場特性，其振動的傳播過程和衰減規(guī)律也不相同.對于地基的動力行為以及波的傳播特性問題，國內(nèi)外學(xué)者從載荷類型、地基特征(包括材料特性和邊界條件)等多方面進行了分析并取得了一系列重要的研究成果[1-6].然而關(guān)于地基振動的控制問題則研究較少.自Woods[7]通過一些現(xiàn)場原位試驗，研究了近場主動隔振和遠場被動隔振的效果，并且提出了一個評判屏障隔振效果的重要參數(shù) (振幅衰減系數(shù))以來，國內(nèi)外學(xué)者對連續(xù)屏障和非連續(xù)屏障的減振隔振效果進行了一系列的研究工作[8-16].除屏障隔振外，Chouw等[17]最先提出一種在地基中人為設(shè)置波阻板(wave impedance block，WIB)進行減振隔振的方法，隨后他們采用二維頻域邊界元法，分析了WIB主動隔振和被動隔振效果，獲得了WIB的被動隔振效果好于填充溝的結(jié)果.Peplow等[18]采用邊界積分方程法研究了二維雙層地基波阻板主動隔振的效果.Takemiya等[19-20]對基巖上單一土層中群樁基礎(chǔ)激振時波阻板的隔振效果進行研究，結(jié)果表明采用波阻板進行隔振是有效的，并首次提出了一種蜂窩狀波阻板(honeycomb WIB,HWIB)隔振措施，對高架鐵路樁基的HWIB隔振效果進行了現(xiàn)場試驗，得到了令人滿意的結(jié)果.高廣運等[21-22]建立了層狀介質(zhì)中土與結(jié)構(gòu)動力相互作用的半解析邊界元法模型，分析了二維和三維層狀地基中波阻板的隔振效果.針對三維豎向非均勻和飽和地基模型，在軌道交通載荷作用下，高廣運等[23-24]分別對豎向非均勻地基和飽和地基中波阻板的隔振性能進行了研究.基于含液飽和多孔介質(zhì)中的流--固耦合作用，周鳳璽等[25]研究了含液飽和多孔介質(zhì)波阻板的隔振性能，結(jié)果表明基于含液飽和多孔波阻板的地基隔振體系更具優(yōu)越性.基于改進的三維邊界有限元模型，Gao等[26]研究了飽和土體中波阻板的隔振效果，分析了土--地基--波阻板相互作用的問題.

自功能梯度材料的概念被提出以來[27]，對材料特性沿空間連續(xù)變化的非均勻固體材料力學(xué)行為的研究得到了廣泛的關(guān)注[28-33].功能梯度材料是一種新型復(fù)合材料，其具有空間連續(xù)梯度變化的微觀結(jié)構(gòu)，可引起材料屬性的梯度變化，實現(xiàn)材料內(nèi)部功能的漸變，具有緩和熱應(yīng)力、避免或降低層間應(yīng)力集中和可設(shè)計性良好等優(yōu)點[34].以梯度材料作為隔振屏障，本文提出了一類新型的波阻板地基隔振體系.文章的第1節(jié)建立了彈性地基內(nèi)部設(shè)置梯度波阻板的數(shù)學(xué)模型，并利用傅里葉(Fourier)積分變換，根據(jù)亥姆霍茲(Helmholtz)矢量分解原理，推導(dǎo)獲得了土體動力問題的位移、應(yīng)力在Fourier變換域中的通解.第2節(jié)采用回傳射線矩陣法獲得了地基表面受到條形荷載作用下地基中任一點處的位移和應(yīng)力的計算列式.第3節(jié)通過數(shù)值算例與單相固體均質(zhì)波阻板的隔振性能進行了對比，并分析討論了梯度波阻板的材料梯度因子、埋深以及梯度波阻板厚度等物理力學(xué)參數(shù)對地基隔振性能的影響規(guī)律.第4節(jié)為結(jié)論.

1 土體力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型

在二維彈性地基中設(shè)置一個單相固體梯度波阻板，如圖1所示.二維彈性地基厚度H=H1+hw+H2，其中梯度波阻板厚為hw，且波阻板上表面所處的位置在x3方向距離地基表面為H1，下表面所處的位置在x3方向距離基巖的下部土層的厚度為H2，載荷幅值為q0，分布長度為2l.

圖1 條形載荷下彈性地基示意圖Fig.1 The elastic foundation under strip harmonic load

各向同性的線彈性單相連續(xù)固體介質(zhì)的基本方程如下：

物理方程為

幾何關(guān)系為

運動方程為

其中，σij為單相彈性固體介質(zhì)的總應(yīng)力分量(i,j=1,3)；δij表示克羅內(nèi)克 (Kroeneker)符號；e=ui,i；ui為固體位移；λ和μ為固體骨架拉姆(Lame)彈性常數(shù)；εij為固體骨架的應(yīng)變；ρ為土體密度.

由式(1)～式(3)可得各向同性的線彈性單相連續(xù)固體介質(zhì)的控制方程為

考慮到簡諧載荷作用，土體骨架位移可寫成

為了方便，后面的推導(dǎo)過程略去星號.根據(jù)亥姆霍茲矢量分解定理，位移矢量u(x1,x3)可以用勢函數(shù)φ和ψ表示為

對空間變量x1進行Fourier變換

將式(5)～式(7)代入方程(4)中，經(jīng)過Fourier變換整理可得

因此，常微分方程(8)和方程(9)在傅里葉變換域中的表達式為

在直角坐標系(x1,x3)中，各位移分量可用位移勢函數(shù)φ和ψ表示為

結(jié)合式(10)～式(13)以及式(1)，最終可得到土體動力問題的位移、應(yīng)力在傅里葉變換域中的通解為

2 回傳射線矩陣法求解

對于在二維彈性地基中設(shè)置的單相梯度波阻板，由于單相梯度波阻板材料的非均勻性，導(dǎo)致土體動力問題的控制方程為變系數(shù)偏微分方程，一般情況下很難獲得解析解.為此，通常將非均勻材料沿材料特性變化方向簡化為許多均勻材料薄層,如圖2所示，層數(shù)N由問題所要求的精度決定.對于簡化以后的層合模型，常用的分析方法是傳遞矩陣法[35]，但基于傳遞矩陣列式的數(shù)值計算會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定問題.近年來，Pao等[36]提出回傳射線矩陣法的波動模型，并將其應(yīng)用到層狀介質(zhì)中，取得了很好的效果[37-38]，該模型在穩(wěn)態(tài)和早期瞬態(tài)響應(yīng)計算中具有結(jié)果精確、數(shù)值穩(wěn)定、列式統(tǒng)一等優(yōu)點，是一種有效的動力學(xué)分析方法.周鳳璽等[39]建立了一維梯度非均勻飽和多孔土體在動載荷作用下的回傳射線矩陣法計算列式，結(jié)果表明回傳射線矩陣法對梯度非均勻飽和土動力響應(yīng)分析具有很好的適用性，其計算穩(wěn)定，有利于求解復(fù)雜的波動問題.回傳射線矩陣法的關(guān)鍵在于對每個單元/層建立兩個局部坐標系(一對對偶坐標系)，一個位于該層頂面，另一個位于該層底面.圖3繪出了第i層的對偶坐標系，表示局部坐標系位于第i層，并且指向第i+1層.通過對偶坐標系的變換，可以有效地避免計算過程中的數(shù)值問題.

圖2 層和模型示意圖Fig.2 The approximate laminate model

圖3 局部坐標示意圖Fig.3 Dual local coordinates at the interface

2.1 散射關(guān)系

根據(jù)回傳射線矩陣法的基本思路，在對偶局部坐標系下的所有節(jié)點建立力的平衡和位移協(xié)調(diào)關(guān)系，以i(i?1)和i(i+1)的共同界面i為例，其連續(xù)條件為

利用式(15)和式(16)，整理后可得

考慮彈性地基表面受條形均布荷載作用，底面固定的邊界條件為

在x3=0處

在x3=H處

利用式(15)和式(18)，整理后可得

式中

合并方程(17)和方程(19)可得

其中

向量A和B一共含有8N個未知量，而方程(20)只提供了4N個方程.為求得所有的未知量，須再補充一組方程.

2.2 相位關(guān)系和回傳射線矩陣

同一點處的物理量可以在一對對偶局部坐標系下同時表示，因此，兩個表達式必須等價.對于豎向位移?u3存在下述關(guān)系

將式(15b)代入式(21)可得到

引入新矢量

結(jié)合式(20)，式(22)～式(23)可得

式中P為整體相位矩陣，定義為

U為整體置換矩陣，定義為

將式(24)代入式(20)，最終可得

式中R=SPU稱為回傳射線矩陣，I為單位矩陣.

利用式(27)求出A和B后，結(jié)合式(15)，就可以獲得在頻域中地基中任一點處的位移和應(yīng)力等物理量，然后利用Fourier逆變換可以得到空間域上相應(yīng)的物理量.

3 數(shù)值算例

考慮梯度波阻板的材料特性沿厚度方向按冪函數(shù)變化，則有

式中,G(x3)為在x3處的E,υ,ρ等物理力學(xué)參數(shù)，其中，E為彈性模量，υ為泊松比；γ為梯度因子，不同的γ值代表非均勻程度不同的波阻板.可知當γ=0時梯度材料即為均質(zhì)材料，其物理力學(xué)性質(zhì)為表面處的材料特性；當γ→∞時，此時梯度材料參數(shù)趨于梯度板底面的均勻材料.

在數(shù)值計算中，選取彈性地基的物理力學(xué)參數(shù)如下：彈性模量E0=98MPa，泊松比ν=0.3，密度ρ0=1.884g/cm3.計算中取均布載荷幅值q0=1kPa，頻率ω=25rad/s，l=0.5m.梯度波阻板的物理力學(xué)參數(shù)為：在x3=H1處即梯度波阻板表面處E1=6.5MPa，ρ1=1.4g/cm3，ν=0.3. 在x3=H1+hw處即梯度波阻板底面處E2=650MPa，ρ2=2.458g/cm3，泊松比ν=0.33.為了簡化起見，假設(shè)梯度波阻板各物理力學(xué)參數(shù)具有相同的變化趨勢，也就是說各物理力學(xué)參數(shù)沿深度按同樣的梯度因子變化.由于被積函數(shù)表達式較為復(fù)雜，因此很難得出Fourier逆變換的封閉形式解，本文采用FFT方法完成Fourier逆變換，波數(shù)的離散點為2048，空間計算區(qū)間為200m.

為了考慮不同分層數(shù)N對計算結(jié)果的影響，表1給出了當γ=0和γ=1時不同分層數(shù)N的情形下地基表面條形荷載中點處的豎向位移值.從表1中可以看出,當分層數(shù)N選取100時足以滿足計算精度要求.

表1 不同層數(shù)N對豎向位移計算結(jié)果的影響Table 1 The vertical displacement calculated by RRMM with di ff erent numbers of layers N

考慮上覆土厚度H1=4m，波阻板厚度hw=4m，下部土層厚度H1=10m，圖4給出了在地基表面(x3=0)處豎向位移沿水平方向的變化曲線，比較了彈性地基中設(shè)置單相固體均質(zhì)波阻板(即γ=0時)、梯度波阻板兩種不同情形.由圖4中可以看出，由于波阻板的設(shè)置改變了彈性地基中豎向位移的振動相位，并且與單相固體均質(zhì)波阻板相比，梯度波阻板使豎向位移幅值降低顯著，具有更好的減振隔振效果.

圖4 地基表面豎向位移變化曲線Fig.4 Variations of vertical displacement at the ground surface

為了反映梯度因子對梯度波阻板隔振效果的影響，其他參數(shù)不變，圖5和圖6給出了在不同材料梯度因子的情形下，彈性地基表面(x3=0)處豎向位移u3的實部沿水平方向的變化曲線和彈性地基底面(x3=H)處正應(yīng)力σ33沿水平方向的變化曲線.從圖5和圖6可以看出，當γ=0即波阻板為彈性均質(zhì)材料時，地基的位移幅值和應(yīng)力幅值最大.隨著γ的增大，條形荷載中點下位移幅值和應(yīng)力幅值都隨之減小，這主要是由于梯度因子γ的增大，意味著抵抗變形能力強的層底材料增多，從而引起位移幅值和應(yīng)力幅值的降低.從圖5和圖6中還可以看出，無論是位移分量還是應(yīng)力分量，在水平方向的振動頻率隨著梯度因子γ的變化而變化.

圖5 地基表面豎向位移隨γ的變化曲線Fig.5 Variations of vertical displacement at the ground surface with γ

圖6 地基底面正應(yīng)力隨γ的變化曲線Fig.6 Variations of normal stress at the ground bottom surface with γ

對同樣的梯度波阻板反向布置，即上表面彈性模量大于下表面，為了反映此種情況下梯度因子對梯度波阻板隔振效果的影響，其他參數(shù)不變，圖7給出了在不同材料梯度因子的情形下，彈性地基表面(x3=0)處豎向位移u3的實部沿水平方向的變化曲線.從圖7可以發(fā)現(xiàn)，與上表面彈性模量小于下表面的情況正好相反，隨著γ的增大，條形荷載中點下豎向位移幅值隨之增大，但是豎向位移在水平方向的振動頻率依然隨著梯度因子γ的變化而變化.

圖7 地基表面豎向位移隨γ的變化曲線Fig.7 Variations of vertical displacement at the ground surface with γ

為了分析梯度波阻板的埋深對地基隔振效果的影響，圖8繪出了在hw=4m時梯度波阻板埋深從H1=0.5，1，2，3，4m逐漸增大時，地基表面豎向位移沿水平方向的變化曲線.

從圖8可以看出，隨著梯度板埋深的增大，在施加載荷附近的豎向位移先減小后增大，表明不同梯度板埋深即不同上覆土層厚度的隔振效果差別很大；而遠離載荷施加位置的豎向位移，隨著梯度板埋深的變化，僅當梯度板埋深等于1m時，豎向位移最大，其余梯度板埋深不同時豎向位移有一定的差異，但不顯著.以上現(xiàn)象與文獻[21,40]中波阻板埋深不同時的豎向位移的表現(xiàn)相似.因為波阻板就是利用地基存在截止頻率的原理隔振，而截止頻率的大小與上覆土層的厚度，即與波阻板的埋深成反比[21]，所以要想取得理想的隔振效果，就必須使上覆土層的厚度較小，即波阻板的埋深必須較小.結(jié)合圖8，在梯度波阻板埋深H1按0.5，1，2，3，4m增大的情況下，綜合比較施加載荷附近和遠離載荷施加位置的豎向位移的大小，只有在梯度板埋深H1=0.5m時會產(chǎn)生穩(wěn)定的隔振效果，這說明盡可能選擇梯度波阻板較小的埋深其隔振效果越好.

圖8 地基表面豎向位移隨梯度波阻板埋深的變化曲線Fig.8 Variations of vertical displacement at the ground surface with depth

為了分析梯度波阻板的厚度對地基隔振效果的影響，在H1=4m時圖9繪出了梯度波阻板板厚hw分別為1，2，3，4m時對地基表面豎向位移的影響.從圖9可以看出，無論是施加載荷附近的豎向位移還是遠離載荷施加位置的豎向位移，梯度波阻板的隔振減振效果都隨著波阻板厚度的增大而增大.當梯度波阻板厚度hw6 2m時，隨著梯度波阻板厚度的增大，其隔振效果迅速增大；當波阻板厚度hw>2m時，隨著梯度波阻板厚度的增大，梯度波阻板隔振體系的隔振效果雖然也增大，但是豎向位移幅值提高的幅度卻逐漸減小.

圖9 地基表面豎向位移隨板厚的變化曲線Fig.9 Variations of vertical displacement at the ground surface with thickness

4 結(jié)論

基于功能梯度材料，本文提出了以梯度波阻板作為隔振屏障的新型地基隔振體系.利用Fourier積分變換，通過Helmholtz矢量分解原理，推導(dǎo)獲得了土體動力問題的位移、應(yīng)力在Fourier變換域中的通解.采用回傳射線矩陣法和快速傅里葉逆變換獲得了時域中地基中任一點處的位移和應(yīng)力的計算.通過大量的數(shù)值結(jié)果，研究了梯度波阻板的材料梯度因子、埋深以及梯度波阻板厚度等物理力學(xué)參數(shù)對地基隔振性能的影響規(guī)律，得到了以下結(jié)論：(1)梯度材料的地基隔振屏障相對于單相固體均質(zhì)波阻板是一類更具有可設(shè)計性的隔振體系，具有更好的減振隔振效果；(2)當梯度波阻板上表面彈性模量小于下表面時，地基的位移幅值和應(yīng)力幅值隨著梯度因子的增大而減小，反之則增大；(3)梯度波阻板的隔振效果隨著波阻板厚度的增大而增大，此外應(yīng)保證梯度波阻板具有較小的埋深，才能得到理想的隔振效果.

1 Sneddon IN.The stress produced by a pulse of pressure moving along the surface of a semi-in fi nite solid.Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,1952,2:57-62

2 Zienkiewicz OC,Chang CT,Beettss P.Drained,undrained,consolidation and dynamic behavior assumptions in soils.Geotechnqiue,1980,30:385-395

3 陳遠國，金波.移動簡諧荷載作用下多孔地基的動力響應(yīng).中國科學(xué)G輯，2008,38(3):250-259(Chen Yuanguo,Jin Bo.Dynamic response of a poroelastic stratum to moving oscillating load.Science in China.Series G,2008,38(3):250-259(in Chinese))

4 周鳳璽，曹永春，趙王剛.移動荷載作用下非均勻地基的動力響應(yīng)分析.巖土力學(xué)，2015,36(7):2027-2033(Zhou Fengxi,Cao Yongchun,Zhao Wanggang.Analysis of dynamic response of inhomogeneoussubgradeundermovingloads.RockandSoilMechanics,2015,36(7):2027-2033(in Chinese))

5 胡安峰，李怡君，賈玉帥等.埋置移動荷載作用下成層飽和地基的動力響應(yīng).工程力學(xué)，2016,33(12):44-62(Hu Anfeng,Li Yijun,Jia Yushuai,et al.Dynamic response of a layered saturated ground subjected to a buried moving load.Engineering Mechanics,2016,33(12):44-62(in Chinese))

6 Bagno AM.Wave propagation in an elastic layer interacting with a viscous liquid layer.International Applied Mechanics,2016,52(2):133-139

7 Woods RD.Screening of surface waves in soils.Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division,1968,94(4):95l-979

8 Ahmad S,Al-Huasaini TM,Fishman KL.Investigation on active isolation of machine foundations by open trenches.Journal of Geotechnical Engineering,1996,122(6):454-461

9 Kattis SE,Polyzos D,Brjkos DE.Vibration isolation by a row of piles using a 3-D frequency domain BEM.International Joumal for Numerical Methods in Engineering,1999,46(5):713-728

10 Huang JH,Xiao XZ,Dong XH，et al.Barrier vibration isolation to work-place vibration and its in fl uence on uneven subsidence of pillar foundation.Wuhan University Journal of Natural Sciences,2002,7(4):445-450

11 高廣運,李志毅,邱暢.填充溝屏障遠場被動隔振三維分析.巖土力學(xué)，2005,26(8):1184-1188(Gao Guangyun,Li Zhiyi,Qiu Chang.Three-dimensional analysis of in- fi lled trench as barriers for isolating vibration in far fi led.Rock and Soil Mechanics,2005,26(8):1184-1188(in Chinese))

12 With C,Bahrekazemi M,Bodare A.Wave barrier of lime-cement columns against train-induced ground-borne vibrations.Soil Dynamics and Earthquake Engineering,2009,29:1027-1033

13 Katsuya I,Ryota S,Tomihiro H et al.Systematic analyses of vibration noise of a vibration isolation system for high-resolution scanning tunneling microscopes.Review of Scienti fi c Instruments,2011,82(8):702-707

14 徐平，周新民，夏唐代.應(yīng)用屏障進行被動隔振的研究綜述.地震工程學(xué)報，2015,37(1):88-93(Xu Ping,Zhou Xinmin,Xia Tangdai.Review on passive vibration isolation using barriers.Chinese Earthquake Engineering Journal,2015,37(1):88-93(in Chinese))

15 巴振寧，王靖雅，梁建文.層狀地基中隔振溝對移動列車荷載隔振研究——2.5維IBEM方法.振動工程學(xué)報，2016,29(5):860-873(Ba Zhenning,Wang Jingya,Liang Jianwen.Reduction of train induced vibrations by using a trenchin a layered foundation.Journal of Vibration Engineering,2016,29(5):860-873(in Chinese))

16 劉中憲，王少杰.非連續(xù)群樁屏障對平面P、SV波的隔離效應(yīng)：二維寬頻帶間接邊界積分方程法模擬.巖土力學(xué)，2016,37(4):1195-1207(Liu Zhongxian,Wang Shaojie.Isolation e ff ect of discontinuous pile-group barriers on plane P and SV waves:Simulation based on 2D broadband indirect boundary integration equation method.Rock and Mechanics,2016,37(4):1195-1207(in Chinese))

17 Chouw N,Le R,Schmid G.An approach to reduce foundation vibrations and soil waves using dynamic transmitting behavior of a soil layer.Bauingenieur,1991,66:215-221

18 Peplow AT,Jones CJC,Petyt M.Surface vibration propagation over a layered elastic half-space with an inclusion.Applied Acoustics,1999,56:283-296

19 Takemiya H，F(xiàn)ujiwara A.Wave propagation/impediment in a stratum and wave impeding block(WIB)measured for SSI response reduction.Soil Dynamics and Earthquake Engineering,1994,13:49-61

20 Takemiya H.Field vibration mitigation by honeycomb WIB for pile foundations of a high-speed train viaduct.Soil Dynamics and Earthquake Engineering,2004,24:69-87

21 高廣運,李偉.二維地基波阻板隔振分析.地震工程與工程振動，2005,24(2):130-135(Gao Guangyun,Li Wei.2D analysis of ground vibration isolation using wave impeding block.Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2005,24(2):130-135(in Chinese))

22 高廣運,張博,李偉.層狀和豎向非均勻地基中水平--搖擺耦合激振波阻板三維隔振分析.巖土力學(xué)，2012,33(2):349-353(Gao Guangyun,Zhang Bo,Li Wei.3D analysis of vibration isolation using wave impeding block in layered and vertical heterogeneous foundation under horizontal-rocking coupled excitation.Rock and Soil Mechanics,2012,33(2):349-353(in Chinese))

23 高廣運,陳功奇,張博.列車荷載下豎向非均勻地基波阻板主動隔振分析.振動與沖擊,2013,32(22):57-62(Gao Guangyun,Chen Gongqi,Zhang Bo.Active vibration isolation using WIB in nonuniform ground under train loadings.Journal of Vibration and shock,2013,32(22):57-62(in Chinese))

24 高廣運,王非,陳功奇.軌道交通荷載下飽和地基中波阻板主動隔振研究.振動工程學(xué)報,2014,27(3):433-440(Gao Guangyun,Wang Fei,Chen Gongqi.Active vibration isolation of the saturated ground with wave impedence block inside and under the load of the travelling train.Journal of Vibration Engineering,2014,27(3):433-440(in Chinese))

25 周鳳璽,馬強,賴遠明.含液飽和多孔波阻板的地基振動控制研究.振動與沖擊，2016,35(1):96-105(Zhou Fengxi,Ma Qiang,Lai Yuanming.Ground vibration control with fl uid-saturated porous wave impeding blocks.Journal of Vibration and Shock,2016,35(1):96-105(in Chinese))

26 Gao GY,Chen J,Gu XQ,et al.Numerical study on the active vibration isolation by wave impeding block in saturated soils under vertical loading.Soil Dynamics and Earthquaake Engineering,2017,93:99-112

27 Hirai H,Chen L.Recent and prospective development of FGM in Japan.Materials Science Frames,1999,308:509-514

28 仲政，吳林志，陳偉球.功能梯度材料與結(jié)構(gòu)的若干力學(xué)問題研究進展.力學(xué)進展，2010,40(5):528-541(Zhong Zheng,Wu Linzhi,Chen Weiqiu.Progress in the study on mechanics problems of functionally graded materials and structures.Advances in Mechanics,2010,40(5):528-541(in Chinese))

29 雷鳴，廖紅建，黃理興等.應(yīng)力波在功能梯度土介質(zhì)中傳播的特性研究.巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2005,24(s1):4798-4804(Lei Ming,Liao Hongjian,Huang Lixing,et al.Study on characters of stress wave propagation in functionally graded soil.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24(s1):4798-4804(in Chinese))

30 程站起，劉建.基于近場動力學(xué)的功能梯度材料動態(tài)斷裂分析.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2016,33(4):634-639(Cheng Zhanqi,Liu Jian.Fracture analysis of functionally graded materials under impact loading based on peridynamics.Chinese Journal of Applied Mechanics,2016,33(4):634-639(in Chinese))

31 許新，李世榮.功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼研究.力學(xué)學(xué)報，2017,49(2):308-316(Xu Xin,Li Shirong.Analysis of thermoelastic damping for functionally graded material micro-beam.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):308-316(in Chinese))

32 夏巍，馮浩成.熱過屈曲功能梯度壁板的氣動彈性顫振.力學(xué)學(xué)報,2016,48(3):609-614(Xia Wei,Feng Haocheng.Aeroelastic flutter of post-buckled functionally graded panels.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(3):609-614(in Chinese))

33 高效偉,鄭保敬,劉健.功能梯度材料動態(tài)斷裂力學(xué)的徑向積分邊界元法.力學(xué)學(xué)報,2015,47(5):868-873(Gao Xiaowei,Zheng Baojing,Liu Jian.Dynamic fracture analysis of functionally graded materials by radial integration BEM.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2015,47(5):868-873(in Chinese))

34 徐坤，陳美霞，謝坤.正交各向異性功能梯度材料平板振動分析.噪聲與振動控制，2016,36(4):14-20(Xu Kun,Chen Meixia,Xie Kun.Vibration analysis of orthotropic functionally graded plates.Noise and Vibration Control,2016,36(4):14-20(in Chinese))

35 趙宇昕,陳少林.關(guān)于傳遞矩陣法分析飽和成層介質(zhì)響應(yīng)問題的討論.力學(xué)學(xué)報,2016,48(5):1145-1158(Zhao Yuxin,Chen Shaolin.Discussion on the matrix propagator method to analyze the response of saturated layered media.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(5):1145-1158(in Chinese))

36 Pao H,Ken DC,Howard SM.Dynamic response and wave propaga-tion in plane trusses and frames.American Institute of Aeronautics and Astronautics,1999,37:594-603

37 Pao YH,Su XY,Tian JY.Reverberation matrix method for propagation of sound in a multilayered liquid.Journal of Sound and Vibration,2000,230:743-760

38 SuXY,TianJY,PaoYH.Applicationofthereverberation-raymatrix to the propagation of elastic waves in a layered solid.International Journal of Solids and Structures,2002,39:5447-5463

39 周鳳璽,賴遠明.梯度飽和土瞬態(tài)響應(yīng)分析.力學(xué)學(xué)報,2012,44(5):943-947(Zhou Fengxi,Lai Yuanming.Transient dynamic analysis of grandient fl uid-saturated soil.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2012,44(5):943-947(in Chinese))

40 高廣運,馮世進,李偉等.二維層狀地基波阻板隔振分析.振動工程學(xué)報,2007,20(2):175-179(Gao Guangyun,Feng Shijin,Li Wei,et al.2-D analysis of vibration isolation by wave impeding block in layered ground.Journal of Vibration Engineering,2007,20(2):175-179(in Chinese))

ANALYSIS OF GROUND VIBRATION CONTROL BY GRADED WAVE IMPEDING BLOCK1)

Ma Qiang*Zhou Fengxi*,2)Liu Jie?
*(School of Civil Engeering，Lanzhou University of Technology，Lanzhou730050，China)
?(School of Traffic and Transportation，Lanzhou JiaoTong University，Lanzhou730070，China)

Wave impeding block(WIB)vibration isolation system as an e ff ective measure for vibration pollution control is applied in practical engineering gradually,but the previous studies mostly focused on the single-phase solid homogenous materials,few research have been on the vibration isolation performance of wave impeding block with materials properties that have a continuous variation along space relatively.Based on the functionally graded material,a new type of foundation vibration isolation system is proposed.Considering setting the graded wave impeding block in the elastic foundation which subjected to surface strip harmonic load,using the Fourier transform and Helmholtz vector decomposition,the calculation formula of reverberation ray matrix method(RRMM)is established for two-dimensional transient response of elastic foundation based on the line elastic theory.Assuming that the material properties of graded wave impeding block have an exponential law distribution along the thickness-coordinate,by using numerical inverse Fourier transformation,the displacement and the stress are obtained.Via numerical examples,the e ff ectiveness of vibration isolation of graded wave impeding block is compared to conventional single phase solid homogenous wave impeding block,and the in fl uences of physical and mechanical parameters including the gradient factor,the depth and the thickness of graded wave impeding block are analyzed.The results show that the graded wave impeding block can e ff ectively reduce the vibration amplitude,and compared with the single phase solid homogenous wave impeding block isolation system,graded wave impeding block isolation system has better e ff ect.The amplitude of displacement and stress is decreased with the increase of gradient factor.The e ff ect of vibration isolation of graded wave impeding block improved with the increased of the thickness,but reduced with the increasing of the embedded depths.

ground vibration control,elastic foundation,dynamic response,graded wave impeding block,reverberation ray matrix method

TU 45

A doi：10.6052/0459-1879-17-221

2017–06–12 收稿，2017–09–06 錄用,2017–09–06 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金資助項目(51368038).

2)周鳳璽，教授，主要研究方向：巖土力學(xué)、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué).E-mail:geolut@163.com

馬強,周鳳璽,劉杰.梯度波阻板的地基振動控制研究.力學(xué)學(xué)報，2017，49(6)：1360-1369

Ma Qiang,Zhou Fengxi,Liu Jie.Analysis of ground vibration control by graded wave impeding block.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(6):1360-1369