徐司慧 王炳龍 周順華 楊新文 李堯臣

*(同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804)

?(同濟大學航空航天與力學學院，上海200092)

黏彈性層狀周期板動力計算的近似理論與解答

徐司慧*,1)王炳龍*周順華*楊新文*李堯臣?

*(同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804)

?(同濟大學航空航天與力學學院，上海200092)

由于周期性隔振結構動力計算中較少考慮軌道交通載荷及材料黏彈性,因此，本文以黏彈性層狀周期板為研究對象，提出了垂向移動簡諧載荷下，可以考慮材料黏彈性及板內橫向剪切變形的黏彈性層狀周期板動力計算近似理論并給出解析解答.設板中性面的橫向剪切變形為橫截面的整體剪切變形，利用Reissner-Mindlin假設及提出的剪切變形補充計算條件，得到了中性面法線轉角與中性面剪應力的關系.基于平衡方程和應力連續(xù)條件，建立了黏彈性層狀周期板振動控制方程，推導了對邊簡支對邊自由條件下，板垂向位移的簡化Fourier級數形式解.與經典層合板模型和有限元計算結果進行了比較，驗證了本文解答的有效性.結果表明：(1)黏彈性層狀周期板可以顯著降低單一材料板在自振頻率處的振動響應，但會引起局部低頻頻段的振動放大；(2)板的垂向位移隨著載荷速度的增大而增大，當載荷速度超過300km/h后，其對板振動響應的影響減弱；(3)黏彈性層剪切模量存在最佳設計值，可使結構的隔振性能最佳；(4)黏彈性層的阻尼特性在低頻范圍內對結構振動影響較?。?5)可在滿足工程實際的情況下適當增加板長，以提高結構的隔振性能.

周期性結構，軌道交通載荷，Reissner-Mindlin假設，解析解，振動響應

引言

周期性結構是指由基本周期單元按照相同的排列方式在單方向或多方向上堆積而成的結構[1-2].固體物理學研究表明，周期性結構具有獨特的頻率衰減域特性，即處于某些頻段(衰減域)的波不能順利透過該結構，導致振動減弱[3-5].受此啟發(fā)，石志飛等[6-8]于2007年將周期性的結構引入土木工程領域，提出了周期性隔震基礎和周期性排樁等，隔震/振效果顯著，為周期性結構在實際工程中的應用打下了基礎.

目前，研究較廣泛的周期性隔震/振基礎主要為在單方向上呈周期性排列的層狀周期板，這也是周期性結構的基本形式.研究內容集中于地震載荷下的建筑物隔震技術，采用的理論和方法主要有傳遞矩陣法、有限元法、模型試驗等.石志飛等[9]利用傳遞矩陣法研究了地震載荷作用下層狀周期板基礎的動力衰減域特性，得到了衰減域的主要控制因素；黃建坤[10]采用平面波展開法研究了周期性排樁和波屏障在環(huán)境減振中的應用，并設計出了具有隔振效果的波屏障；陳志寶等[11-12]通過振動臺試驗證明了具有黏彈性的層狀周期結構對外部激勵具有較好的隔離或減弱效果.上述研究雖然取得了一系列有益成果，但是載荷形式較單一，多為地震載荷，較少涉及工程中廣泛存在的軌道交通載荷，難以體現(xiàn)載荷的作用范圍以及移動速度.

軌道交通載荷是軌道交通結構振動的主要振源，研究軌道交通載荷下的結構減振技術對軌道交通領域的環(huán)境振動控制意義重大.本文將周期性結構應用于軌道交通減振領域，采用黏彈性層狀周期板作為軌道交通領域板結構的基本形式.為了考慮軌道交通載荷及材料的黏彈性，采用經典軌道動力學中輪軌垂向作用力的基本形式，即垂向移動簡諧載荷[13-14]，并將具有黏彈性的層狀周期板視為復合材料層合板結構，利用層合板理論進行動力計算.從既有文獻的調研結果來看，求解層合板問題常采用基于Kirchho ff假設的經典板理論[15]，即將每層板視為不考慮橫向剪應力的薄板，然后聯(lián)立求解.然而，由于忽視了板內橫向剪應力，經典層合板理論無法考慮板的面內位移在板厚方向上的zig-zag效應以及層間剪應力連續(xù)條件[16-18]，因此無法準確計算板面的撓度分布，難以預測層狀周期板的減振效果.

基于經典層合板理論，學者從優(yōu)化剪切函數、細化應力場分布等角度提出了多個復合材料層合板理論[19-21].Chen等[22-23]采用三維彈性理論得到了對邊簡支層合板的自由振動半解析解.Yang等[24]利用高階變形理論對夾芯板的受迫振動進行了分析.Faruk Firat Calim[25]在拉氏域內分析了非均勻復合材料梁的自由振動和強迫振動，研究了非均勻參數對梁動力特性的影響.Ganapathi等[26]引入材料特性剪切修正因子，結合一階剪切變形理論建立了層合板的振動方程.李堯臣等[27-28]利用簡化理論對壓電功能梯度圓板和矩形板進行了分析并得到了近似解析解.Thai等[29]基于一階剪切變形板理論來計算夾芯板的力學特性并得到了很好的結果.Pandey和Pradyumna[30]利用Layerwise理論對功能梯度夾芯板的自由振動問題進行分析.一般認為，復合材料層合板理論可以得到簡單邊界條件下較為精確的結構整體響應，比如撓度、基頻振動頻率等.然而，由于獨立場變量的個數隨層合板鋪層數的增加而增加，導致該類方法計算量較大，不適用于大規(guī)模工程問題的計算.因此，針對黏彈性層狀周期板，探索表達形式和算法相對簡潔，同時精度又能滿足要求的近似理論很有必要.

本文將周期性結構應用于軌道交通減振領域，采用黏彈性層狀周期板作為軌道交通領域板結構的基本形式，并考慮軌道交通結構振動計算的特點.提出了垂向移動簡諧載荷作用下，對邊自由對邊簡支板動力計算的近似理論與解答.首先，引入了板理論的Reissner-Mindlin假設，根據等效截面法確定層狀周期板中性軸位置，并結合應力邊界條件計算出中性面上橫向剪應力；然后，對Reissner-Mindlin假設補充計算條件，以中性面上的橫向剪切變形作為板橫截面上的整體剪切變形，建立了中性面法線轉角與中性面上剪應力的關系；最后，結合平衡方程和應力連續(xù)條件，推導了黏彈性層狀周期板振動控制方程，提出了考慮橫向剪切變形的黏彈性層狀周期板近似理論及移動簡諧載荷下黏彈性層狀周期板振動位移簡化Fourier級數形式解.分別與傳統(tǒng)方法和有限元計算結果進行了比較，該解在形式和計算上都較為簡潔，且精度滿足要求，可為黏彈性層狀周期板在軌道交通減振領域的設計及推廣提供一定理論基礎.

1 黏彈性層狀周期板近似理論及求解

1.1 基本方程

黏彈性層狀周期板沿板厚方向設置周期子結構層，如圖1所示.圖1中，層A和層B為一個周期單元：層A為彈性層，層高為h，長度l，寬度b；層B為黏彈性層，尺寸同層A.黏彈性層B在提供一定黏彈性的同時也可作為結構承重層，可選擇的黏彈性層B的材料有瀝青混凝土[31]、環(huán)氧瀝青混凝土[32]等.

對圖1所示的黏彈性周期板做垂向簡諧載荷作用下的動力分析，為考慮板內橫向剪應力及層間剪切變形，引入Reissner-Mindlin假設，即：

(1)變形前的中性面法線在變形后仍保持為直線，但不一定與中性面垂直；

(2)與面內應力σx,σy,τxy相比，另外3個應力分量σz,τzx,τzy很小，在計算應變時可以忽略不計.

考慮材料為各向同性，黏彈性周期板的基本方程如下：

圖1 黏彈性層狀周期板示意圖Fig.1 Viscoelastic layered periodic plate

應力平衡方程(不計體力)

幾何方程

黏彈性層物理方程

彈性層物理方程

式中，σx,σy,σz,τzy,τzx,τxy為應力；εx,εy,εz,γyz,γzx,γxy為應變；u,v,w分別為x,y,z方向的位移；Y(1)(t)和Y(2)(t)為松弛模量，分別描述應力的偏量部分和球量部分的松弛特性[33]；*表示斯蒂爾吉斯卷積；C11，C12，C13，C33，C44，C66為彈性系數.

由假設(2)可知σz=0，代入式(3a)和式(3b)并進行Laplace變換，可得

對彈性層A(各向同性材料)，有

對黏彈性層B，有

1.2 移動簡諧載荷下板振動位移解析求解

計算黏彈性層狀周期板中性面的位置，設中性面到中面的距離為z0(如圖2所示)，則中性面的位置可由下式[34]確定

式中上標(1)～(4)表示板每一層編號.

圖2 中性面位置示意圖Fig.2 Location of the neutral plane

令中性面上z=0，由假設(1)可得板內位移為

式中，βx和βy分別為中性面法線繞x和y軸的轉角，正負號按右螺旋法則確定；u0和v0為中面上的面內位移.

將式(1)和式(7)進行Laplace變換得

假設初始位移和初始速率為0，將式(4)代入式(8a)和式(8b)，并利用式(9)和幾何方程式(2)，再從0到z積分，考慮到初值定理，可得

由圖2可知，板的上表面為ztop=2h?z0，下表面為zbot=?(2h+z0).將ztop及zbot表達式代入式(10)和式(11)可得

式中，標號(A)和(B)分別代表板一個周期單元內，彈性層A和黏彈性層B的材料參數.

令板上下表面剪應力為0，將式(13)和式(14)代入式(12),并從?z0?2h到2h?z0對z分段積分，得到

式中

當板上的載荷為沿板中心線勻速移動的單位簡諧載荷時

式中，x0和y0為載荷初始位置的坐標，v為載荷的移動速度，wf為載荷的角頻率，Kd為板下支承層剛度.

式(15)包含未知量w,βx,βy，想要求解垂向位移w，根據本構關系(3a)和(3b)和變形幾何條件(2)，對Reissner-Mindlin假設引入補充條件：

(1)以中性面上的橫向剪切變形作為板橫截面上的整體剪切變形；

(2)變形前的中性面法線在變形后與變形后的中性面法線的夾角等于該處中性面上的剪應變.于是有

將式(13)和式(14)代入式(19)并進行Laplace變換，得

到此，聯(lián)立式 (15)，式 (17)，式(18)，式 (20)和式(21)，并根據邊界條件，即可求解單位垂向簡諧載荷下層狀周期板的振動位移.

設板在x=0和x=l的邊界上簡支，即

將式(22a)～式 (22d)代入式(15)，式(17)，式(18)，式(20)和式(21)可得求解級數系數的方程

式中，ri為級數系數方程對應齊次方程的特征根；為與ri有關的系數；為待定常數，由y=0,y=b兩邊的邊界條件以及板在載荷作用點兩側的位移、轉角、彎矩、扭矩連續(xù)和剪力的平衡條件確定.兩邊自由時，滿足以下邊界條件

式中，My，Qy，Mxy分別為zoy平面內的彎矩、剪力、扭矩，按傳統(tǒng)方法定義.

為了得到時域中板的動力響應，需對Laplace變換域中相應的物理量進行逆變換.由于象函數復雜，且精度要求較高，本文采用Durbin改進后的Laplace逆變換法[35]

取cT=5,T=20,k=2000.

2 模型驗證

采用本文模型計算黏彈性層狀周期板的振動位移并與既有計算方法進行比較.計算周期板的幾何尺寸如圖3所示.由圖3，板長度l=4.962m，寬度b=2.55m，厚度4h=0.2m.彈性層選用混凝土，黏彈性層選用黏彈性橡膠材料，相關計算參數如表1所示.

圖3 板幾何尺寸Fig.3 Geometric size of the plate

表1 驗證模型計算參數Table 1 Parameters of model

分別采用經典層合板模型 (基于 Kirchho ff假設)、本文模型及有限元法計算某時刻板中心線上的垂向位移w，如圖4所示.

圖4 本文模型解答與既有計算方法比較(t=0.2s)Fig.4 Comparison of displacement curves by presented and other solutions(t=0.2s)

經典層合板模型是指將式(19)中略去剪切變形項，即

式(31)表示變形前的中性面法線在變形后仍與中面垂直，即經典層合板模型采用的Kirchho ff假設.將式(31)代入式(15)可得只含板振動位移w的控制方程，即

將式(22a)代入式(32)，并結合邊界條件式(33)即可求得板垂向位移w

有限元解采用有限元軟件ABAQUS通過三維建模得到，選用六面體八節(jié)點縮減積分單元(C3D8R)劃分實體單元網格，并在載荷區(qū)域進行網格加密，單元數為80500.

由圖 4可知，本文模型解與有限元解吻合較好，可整體反應出板在載荷作用下的瞬態(tài)變形，經典模型解與有限元解有約12%的誤差，明顯大于本文模型解與有限元解的差值.究其原因，數值解是基于有限元軟件計算得到的三維數值結果，單元數量足夠多，可以認為該解答的精度最高，與實際情況最接近.經典模型忽略了板內的橫向剪切變形，即無法考慮剪變形和擠壓變形引起的位移[37]，故計算結果小于有限元解.本文模型在經典模型的基礎上考慮了板的橫向剪切變形，即增加了剪變形引起的位移項，因此比經典模型解更接近于有限元解.但是本文模型仍然對板的內部變形做了約束，人為定義了板內的橫向剪應力分布，導致板相較真實情況剛度增大，所以本文模型解仍小于有限元解，但誤差在合理范圍內.

表2為板上4個測點的振動位移在不同計算方法下的數值.由表2可知，測點1與載荷作用點距離大，振動位移幅值小，且解析解與有限單元解差別較小.測點4比測點1更接近載荷作用點，振動位移幅值大，且振動位移的解析解與有限單元解的差值增大.在本文計算條件下，本文模型與有限元解的最大差值在合理范圍內，可以認為計算模型是有效的.

表2 點1～4垂向位移的解析解與有限單元解比較(y=1.275m)Table 2 Comparison of displacement by analytical and FEM solutions at some points(y=1.275m)

進一步對比不同時刻下板的變形規(guī)律，如圖5所示.圖5為t=0.1s和0.2s時刻下板的整體位移響應，由圖可看出，隨著計算時間增加，載荷沿著板中心線移動，板位移的峰值也相繼發(fā)生變化.圖5(a)和圖5(b)中板位移峰值分別為x=1.1m和x=2.2m，計算結果吻合類似文獻[38]和工程實踐的認識，可以認為本文所得模型是合理的.

圖5 不同時刻下板的振動響應Fig.5 Vibration response of plate at di ff erent time

3 計算結果分析

3.1 導納特性分析

本文從頻域角度出發(fā)，以頻率響應函數(導納)為評價指標，研究板的垂向振動特性.圖6為板的垂向位移導納，計算參數見表1.由圖6可知，黏彈性層狀周期板結構及材料組成多樣，振動模態(tài)豐富，垂向位移導納呈現(xiàn)多個峰值.位移導納在達到第5階共振頻率前，隨頻率的增大而增大；超過第5階共振頻率后，隨著頻率的增大而減小.當激勵頻率在50Hz附近時，板位移導納達到最大，周期板在共振頻率下的垂向位移導納見表3.

圖6 板垂向位移導納Fig.6 Vertical displacement admittance of plate

表3 板位移導納峰值Table 3 Vertical displacement admittance peak of plate

圖7 兩種板位移導納的對比Fig.7 Comparison of vertical displacement admittance by di ff erent plates

為衡量黏彈性層狀周期板相較于單一材料板的減振能力，圖7對比了兩種板的垂向位移導納值，其中，單一材料板的材料參數同黏彈性層狀周期板的彈性層，具體數值見表1.由圖7可知，單一材料板自振頻率成分單一，位移導納極值為4.6×10?7m/N，對應頻率為51Hz；黏彈性層狀周期板導納極大值為6.6×10?8m/N，對應頻率為48Hz.由此可見，采用黏彈性層狀周期板，可以顯著降低單一材料板在自振頻率處的振動響應，最大減少量達到3.9×10?7m/N，占整體位移響應的85%，且兩種板位移導納極值對應的自振頻率接近.但是，在30～40Hz范圍內，黏彈性層狀周期板的振動響應大于單一材料板，最大放大值可達到1.25×10?8m/N，占位移響應的28%；60Hz以上的頻段，兩種板振動響應相差不大.

3.2 載荷移動速度的影響

取載荷速度分別為40km/h,100km/h,200km/h,300km/h,400km/h,500km/h,600km/h，計算黏彈性層狀周期板垂向振動位移的極大值，計算結果如圖8所示.由圖8可知，在本文計算條件下，隨著載荷移動速度的增加，板垂向振動位移增大.載荷速度小于300km/h時，板振動位移增大幅度顯著，尤其是100km/h～200km/h區(qū)間，位移增大值達 2.5×10?8m.當載荷速度超過300km/h，板振動位移增大幅度減緩：300km/h～500km/h區(qū)間，位移增大0.84×10?8m，500km/h～600km/h區(qū)間，位移增大 0.08×10?8m.

圖8 載荷移動速度的影響Fig.8 The in fl uence of load velocity

3.3 材料參數及幾何尺寸的影響

探討?zhàn)椥詫硬牧蠀导鞍鍘缀纬叽鐚Ω粽裥阅艿挠绊?，采用力傳遞率評價板的隔振性能[39]，定義為

式中，F(xiàn)stran是板傳給板下基礎的力的幅值和，F(xiàn)stran=|Fz|=Kd|w|；F是外激勵的幅值.

圖9為穩(wěn)態(tài)振動下，黏彈性層剪切模量GB=10?6GA～10?2GA時，板力傳遞率的變化曲線.由圖8可看出，黏彈性層剪切模量較小時，結構力傳遞率較大，達到0.88；增加黏彈性層的剪切模量，結構力傳遞率先快速減小，從0.88降到了0.22，減小量達75%；之后，當黏彈性層與彈性層剪切模量比值超過10?4后，結構力傳遞率趨近穩(wěn)定，呈緩幅增大，從0.22增加到0.26.由此可見，黏彈性層剪切模量存在最佳設計值，可使結構的力傳遞率達到最小，這給黏彈性層狀周期板的材料參數設計提供有益思路.

圖9 力傳遞率隨著剪切模量的變化曲線Fig.9 Force transfer rate varies with shear modulus

圖10為穩(wěn)態(tài)振動下，黏彈性層損耗因子的變化對板力傳遞率的影響.由圖10可知，黏彈性層的阻尼特性對結構振動響應具有一定抑制作用.當結構沒有黏性，即損耗因子取0時，力傳遞率為0.598.之后損耗因子增至0.5，力傳遞率緩幅減小，但衰減幅度低，力傳遞率僅降低0.02.究其原因，激勵頻率較低，為20Hz，黏彈性層的阻尼特性在低頻范圍內對結構振動響應的影響較小.

圖10 力傳遞率隨損耗因子的變化曲線Fig.10 Force transfer rate varies with loss factor

圖11為穩(wěn)態(tài)振動下，板的長度變化對隔振性能的影響曲線，評價指標取單位長度力傳遞率，即力傳遞率T與板長l的商.由圖11可知，隨著板的長度增加，結構參振質量增大，力傳遞率減小，隔振性能增加.當板的長度由5m增加至11m時，單位長度力傳遞率衰減顯著，從0.197降到了0.077，衰減度達76%；之后繼續(xù)增加板長，結構單位長度力傳遞率平緩降低，從0.077減小至0.039.對于軌道交通領域的板結構，板的長度受限于施工條件等因素，因此可考慮適當增加板長，以提高結構的隔振性能.

圖11 板長對隔振性能的影響Fig.11 Vibration isolation performance varies with length

4 結論

針對單位移動簡諧載荷下，對邊簡支對邊自由黏彈性層狀周期板動力計算問題，本文提出了相應的近似理論與解析解答.模型計算形式簡潔，計算效率高，可以考慮板內橫向剪應力的影響.通過與經典層合板模型和三維有限元計算結果的比較，驗證了解答的有效性.本文模型可為黏彈性層狀周期板在軌道交通減振領域的設計及推廣提供一定理論基礎.

利用本文計算方法研究了某黏彈性層狀周期板在頻域內的動力響應，得到如下結論：

(1)采用黏彈性層狀周期板可以顯著降低單一材料板在自振頻率處的振動響應，但會引起局部低頻頻段的振動放大；

(2)本文計算條件下，板的垂向位移隨著載荷速度的增加而增大，超過300km/h后，載荷速度對板振動響應的影響減弱；

(3)黏彈性層剪切模量存在最佳設計值，可使結構的隔振性能最佳；

(4)黏彈性層的阻尼特性在低頻范圍內對結構振動的影響較小;

(5)可在滿足工程實際的情況下適當增加板長，以提高結構的隔振性能.

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APPROXIMATE THEORY AND ANALYTICAL SOLUTION FOR DYNAMIC CALCULATION OF VISCOELASTIC LAYERED PERIODIC PLATE

Xu Sihui*,1)Wang Binglong*Zhou Shunhua*Yang Xinwen*Li Yaochen?
*(Key Laboratory of Road and Traffic Engineering of the Ministry of Education,Tongji University,Shanghai201804,China)
?(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics,Tongji University,Shanghai200092,China)

Rail transit loading and viscoelastic of material are mostly ignored in the previous dynamic calculations of the periodic vibration isolation structures.Approximate theory and analytical solution for viscoelastic layered periodic plate subjected to vertical moving harmonic loading is established,and the viscoelastic of material and the transverse shear deformation are considered.In this theory,Reissner-Mindlin assumption and additional equation of shear deformation are introduced,and the relation between the normal rotation and the shear stress of neutral plane is obtained on the assumption that the transverse shear deformation of the plate’s neutral plane is the overall shear deformation of the cross section.Vibrationgoverningequationofviscoelasticlayeredperiodicplateisproposedaccordingtoequilibriumequations and stress continuity conditions,and vertical displacement in Fourier series is derived as well.The model is validated by the good agreement with solution of the classical laminate model and the fi nite element method(FEM).The results show that:(1)Vibration response at the natural frequency of plate can be signi fi cantly reduced by substituting viscoelastic layered periodic plate for homogeneous one,but vibration ampli fi cation in local low frequency band is aroused as well.(2)The vertical displacement of the plate increases with the increment of the loading velocity,and increase trend slows down once velocity above 300km/h.(3)Shear modulus of viscoelastic layer can be designed to achieve the optimal vibration isolation characteristic.(4)Vibration response is not susceptible to damping characteristic in low frequency band.(5)It’s appropriate to increase the plate length,within the engineering requirement,to improve the vibration isolation performance.

periodic structure,rail transit loading,Reissner-Mindlin assumption,analytical solution,vibration response

O328

A doi：10.6052/0459-1879-17-248

2017–07–07 收稿，2017–09–13 錄用,2017–09–15 網絡版發(fā)表.

1)徐司慧，博士研究生，主要研究方向：軌道結構減振.E-mail:xsyh1234@163.com

徐司慧,王炳龍,周順華,楊新文,李堯臣.黏彈性層狀周期板動力計算的近似理論與解答.力學學報,2017,49(6):1348-1359

Xu Sihui,Wang Binglong,Zhou Shunhua,Yang Xinwen,Li Yaochen.Approximate theory and analytical solution for dynamic calculation of viscoelastic layered periodic plate.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(6):1348-1359