趙 微

(大慶師范學院 教師教育學院, 黑龍江 大慶 163712)

一類四階微分方程m點邊值問題的正解

趙 微

(大慶師范學院 教師教育學院, 黑龍江 大慶 163712)

討論一類四階微分方程m點邊值問題

四階微分方程;m點邊值問題; 正解; 錐; 不動點指數(shù)

四階微分方程的邊值問題在彈性力學和工程物理中，常用來刻畫彈性梁的平衡狀態(tài).由于這類問題應用很普遍，因此，許多學者對這類問題進行了深入的研究，并得到許多結果.對于四階常微分方程兩點或三點邊值問題正解的存在性，一些學者已經做了較多的研究[1-6].然而對于四階常微分方程m點邊值問題的研究相對較少，并且大多運用Krasnoselskii’s不動點定理或上下解方法[7-8].

文獻[4]主要研究一類四階三點邊值問題

運用不動點指數(shù)定理得到了上述問題正解的存在性.

受文獻[4]的啟發(fā)，本文將上述三點邊值推廣到m點邊值，即考慮如下奇異四階微分方程邊值問題

(1)

1 準備工作

為了方便,作如下假設條件:

(H2)h:(0,1)→[0,∞)連續(xù),h(t)不恒等于0.允許h(t)在t=0,1處奇異,且

(2)

(H3)f:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù).

定義1如果u(t)滿足如下條件:

(ⅰ)u(t)∈C[0,1],且于(0,1)內大于0;

則u(t)是(1)式的正解.

引理1函數(shù)g(t,s)滿足

g(t,s)≤s(1-s), 0≤t,s≤1,

(3)

(4)

證明令

0≤s≤t≤1,

0≤t≤s≤1,

當0≤t≤1時有

證畢.

P={u∈C[0,1]:u(t)≥0,t∈[0,1]},

則P是C[0,1]上的正錐,取

‖u‖},

定義算子

t∈[0,1].

(5)

引理2設條件(H1)～(H3)滿足,則算子A:P1→P1全連續(xù).

證明由(3)式可知

于是

則有

從而A:P1→P1,且A(P1)→P1.

由Azela-Ascoli定理則知,算子A:P1→P1全連續(xù).證畢.

定義算子

t∈[0,1],

(6)

易知T是線性全連續(xù)算子.

引理3設條件(H1)～(H3)滿足,則由(6)式定義的算子T的譜半徑r(T)≠0,且T有關于第一特征值λ1=(r(T))-1的特征函數(shù).

證明類似于文獻[9]中的引理3.

u-Au≠μu0, ?u∈?Ω(P),μ≥0,

則不動點指數(shù)

i(A,Ω(P),P)=0.

Au≠μu, ?u∈?Ω(P),μ≥1,

則不動點指數(shù)

i(A,Ω(P),P)=1.

2 主要結論

定理1如果假設(H1)～(H3)滿足,且

(7)

(8)

其中λ1是由(6)式定義的算子T的第一特征值，則四階邊值問題(1)至少存在一個正解.

證明由(7)式知,存在r1gt;0,使得?0≤u≤r1,有f(u)≥λ1u.設u*是T的關于λ1的特征函數(shù),則u*=λ1Tu*.

因為f(u)≥λ1u,?0≤u≤r1,所以有

假設A在?Br1∩P1上沒有不動點(否則結論成立).現(xiàn)證u-Au≠μu*,μ≥0,否則,存在μ1及τ0≥0,使得u1-Au1=τ0u*,顯然可知τ0gt;0,且

u1=Au1+τ0u*≥τ0u*.

令τ*=sup{τ|u1≥τu*},則顯然有τ*≥τ0gt;0,且u1≥τ*u*.又因為T(P1)?P1,則有

λ1T(u1)≥λ1T(τ*u*)=

τ*λ1Tu*=τ*u*,

因此

u1=Au1+τ0u*≥λ1T(u1)+τ0u*≥

τ*u*+τ0u*=(τ*+τ0)u*,

此與τ*的定義相矛盾,故假設不成立，所以,有u-Au≠μu*,μ≥0，因此,由引理4有

i(A,Br1∩P1,P1)=0.

(9)

(T1u)(t)=σλ1(Tu)(t),

?u∈C[0,1],

則顯然有T1:C[0,1]→C[0,1]是有界線性全連續(xù)算子,且T1(P1)?(P1).

u(t)=μ(Au)(t)=

于是(I-T1)(u)≤M.

由于λ1是T的第一特征值,且0lt;σlt;1,所以有(r(T1))-1gt;1,因此(I-T1)-1存在,且

從T1(P1)?P1,及上式得知(I-T1)-1(P1)?P1,于是有u(t)≤(I-T1)-1M,故W是有界的.

取r3gt;max{r2,supW}.由不動點的同倫不變性知

i(A,Br3∩P1,P1)=

i(θ,Br3∩P1,P1)=1.

(10)

由(9)和(10)式可知

i(A,Br3∩P1,P1)-i(A,Br1∩P1,P1)=

1-0=1，

定理2如果假設(H1)～(H3)滿足,且

(11)

(12)

其中λ1是由(6)式定義的算子T的第一特征值,則四階邊值問題(1)至少存在一個正解.

證明由(11)式知,存在r1gt;0,使得f(u)≤λ1u,0≤u≤r1.定義(T2u)(t)=λ1(Tu)(t),?u∈C[0,1],因此,T2:C[0,1]→C[0,1]是線性全連續(xù)有界算子,且T2(P1)?P1,r(T2)=1,于是,?u∈?Br1∩P1,則有

(T2u)(t),

于是(Au)(t)≤(T2u)(t),?u∈?Br1∩P1.假設A在?Br1∩P1上無不動點(否則,結論成立).現(xiàn)證Au≠μu,?u∈?Br1∩P1,μ≥1,否則,存在μ0≥1,u1∈?Br1∩P1,使得Au1=μ0u1,顯然有μ0gt;1,且μ0u1=Au1≤T2u1.由于T2(P1)?P1,所以有

|n=1,2,…}?{u∈P1|u≥u1}.

由Gelfand公式得

與r(T2)=1矛盾,所以假設不成立,因此

i(A,Br1∩P1,P1)=1.

(13)

由(12)式知存在εgt;0,使得f(u)≥(λ1+ε)u,其中u足夠大.根據(jù)假設(H3),存在b≥0使得f(u)≥(λ1+ε)u-b,0≤ult;+∞.

取

r2=

?u∈?Br2∩P1,

則有

(Au)(t)≥

λ1(Tu)(t).

令u0是T關于λ1的正的特征函數(shù),于是有u0=λ1Tu0,且

則有u0∈P1{θ}.

假設A在?Br2∩P1上無不動點(否則結論成立).現(xiàn)證u-Au≠μu0,?u∈?Br2∩P1,μ≥0,否則,存在u2∈?Br2∩P1,ρ0≥0,使得u2-Au2=ρ0u0,顯然有ρ0gt;0,且u2=Au2+ρ0u0≥ρ0u0.令ρ*=sup{ρ|u2≥ρu0},則顯然有ρ*≥ρ0gt;0,且u2≥ρ*u0.由于T(P1)?P1,所以有

λ1(Tu2)≥ρ*λ1(Tu0)=ρ*u0,

于是

u2=Au2+ρ0u≥λ1Tu2+ρ0u0≥

ρ*u0+ρ0u0,

此與ρ*的定義相矛盾,故假設不成立,所以u-Au≠μu0,因此

i(A,Br2∩P1,P1)=0.

(14)

由(13)和(14)式則知

i(A,Br2∩P1,P1)-i(A,Br1∩P1,P1)=

0-1=-1,

3 舉例

例1考慮u(0)=u′(0)u″(0)=0,u″(1)=u″(1/3)+u″(1/9),h(t)=t-1,f(u)=2(36π)4e-uu,則

滿足假設(H3).定義

顯然有

因此

進一步可以得到

由Gelfand公式,則有

根據(jù)引理1,則知

因此

因為

2(36π)4gt;(36π)4gt;λ1,

0lt;1≤λ1.

根據(jù)定理1,則知四階四點邊值問題

至少有一個正解.

致謝大慶師范學院自然科學基金項目(12ZR10)對本文給予了資助,謹致謝意.

[1] 陸海霞,孫經先. 一類四階非線性微分方程兩點邊值問題的正解[J]. 數(shù)學的實踐與認識,2014,44(8):229-235.

[2] 盧整智,韓曉玲. 一類四階兩點邊值問題多個正解的存在性[J]. 西南大學學報(自然科學版),2013,35(4):79-83.

[3] 吳紅萍. 帶兩個參數(shù)的四階邊值問題的正解[J]. 西北師范大學學報(自然科學版),2014,50(6):16-19.

[4] 周韶林,吳紅萍,韓曉玲. 一類四階三點邊值問題正解的存在性[J]. 四川大學學報(自然科學版),2014,51(1):11-15.

[5] 達舉霞,韓曉玲,霍梅. 具有變號格林函數(shù)的四階三點邊值問題正解的存在性[J].吉林大學學報(理學版),2016,54(4):696-699.

[6] GRAEF J R, HENDERSON J, YANG B. Positive solutions to a foruth order three point boundary value problem[J]. Discrete and Continuous Dynamical,2009,285(3):269-275.

[7] PEI H R, SUN J P. Positive solutions for fourth-orderm-point nonhomogeneous boundary value problems[J]. J Appl Math Comput,2010,32(2):443-452.

[8] 李夢菲,李曉敏. 四階奇異m點邊值問題的正解[J]. 曲阜師范大學學報(自然科學版),2016,42(2):31-48.

[9] ZHANG G W, SUN J X. Positive solutions of point boundary value problems[J]. J Math Anal Appl,2004,291(2):406-418.

[10] GUO D J, LAKSHMIKANTHAM V. Nonlinear Problems in Abstract Cones[M]. San Diego:Academic Press,1988:1-200.

[11] CUI Y J, ZOU Y M. Nontrivial solutions of singular superlinearm-point boundary value problems[J]. Appl Math Comput,2007,187(2):1256-1264.

[12] 王巖巖,崔艷艷,劉偉,等. 二階脈沖微分方程三點邊值問題[J]. 重慶師范大學學報(自然科學版),2015,32(2):64-67.

[13] 楊志春. Volterra型脈沖積分微分方程解的存在性和穩(wěn)定性[J]. 重慶師范大學學報(自然科學版),2008,25(1):1-4.

2010MSC：34B18; 34G20

(編輯 鄭月蓉)

Positive Solutions of m-point Boundary Value Problem for One Class of Fourth-order Differential Equation

ZHAO Wei

(DepartmentofTeachingEducation,DaqingNormalUniversity,Daqing163712,Heilongjiang)

The existence of positive solutions for the fourth-orderm-point boundary value problem

fourth-order equation;m-point boundary value problem; positive solution; cone; fixed point index

O175.8

A

1001-8395(2017)06-0791-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.014

2016-12-25

黑龍江省青年科學基金(QC2009C99)和大慶市科技計劃(szdfy-2015-63)

趙 微(1979—),女,副教授,主要從事非線性分析的研究,E-mail:zw-19791220@163.com