曹寒問

摘 要：在數(shù)學(xué)和物理中，經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)算平面曲線圍成的平面“曲邊梯形”面積、變速直線運(yùn)動(dòng)物理位移、變力做功的問題。如何解決這些問題呢？這就需要用到定積分的思想，即“分割-近似求和-取極限”。這種思想在其他知識領(lǐng)域和生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中也具有普遍的意義，它為我們研究問題提供了一種思維模式。在計(jì)算肺循環(huán)的血流量過程中，同樣用到了定積分的思想。

關(guān)鍵詞：血流量 指示劑稀釋法 定積分

中圖分類號：O155 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）11-0-01

人體左心室或右心室每分鐘射入主動(dòng)脈或肺動(dòng)脈的血量稱為心輸出量，一個(gè)人休息時(shí)每分鐘心輸出量為5升或6升，在激烈運(yùn)動(dòng)的時(shí)候每分鐘可能高達(dá)30升，它也有可能由于疾病變化顯著。

迄今對人體心輸出量的測定尚無精確而簡便的理想方法。目前主要采用以下兩種方法：

一、費(fèi)克氏法，即測定單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過肺循環(huán)的血流量

弗克氏法的原理是：當(dāng)某種指示物在某一定部位（例如，肺部）進(jìn)入血循環(huán)時(shí)，其進(jìn)入速率等于該物質(zhì)在進(jìn)入兩側(cè)（例如，肺動(dòng)脈和肺靜脈內(nèi)） 的濃度差（C2S-C1S）乘以流量（F）。一定時(shí)間內(nèi)的流量 （F）等于同時(shí)間內(nèi)該物質(zhì)的進(jìn)入量除以進(jìn)入點(diǎn)兩側(cè)該物質(zhì)的濃度差。應(yīng)用費(fèi)克氏原理以測定心輸出量時(shí)，曾發(fā)現(xiàn)經(jīng)過肺進(jìn)入血循環(huán)的氧幾乎是理想的指示物質(zhì)，因?yàn)榉尾繑z氧速率以及肺部兩側(cè)血氧濃度都容易測定。例如測得被試者每分鐘吸入氧量為250毫升，如果該時(shí)間內(nèi)其每毫升動(dòng)脈血含氧量為0.20毫升，每毫升靜脈血含氧量為0.15毫升，則每分鐘流過肺循環(huán)的血量即每分心輸出量為250/（0.2-0.15）=5000毫升。雖為心輸出量測定的標(biāo)準(zhǔn)方法，但采取混合靜脈血時(shí)需用心導(dǎo)管插入右心室或肺動(dòng)脈，操作不便而且對于技術(shù)不熟練者帶有一定危險(xiǎn)性，從而限制其廣泛采用。

二、指示劑稀釋法

此法系選用一定量（假定為m毫克）無害，不易透出毛細(xì)血管并易于定量的物質(zhì)，例如，某些染料或放射性同位素等，將其迅速注入大動(dòng)脈中，經(jīng)不同時(shí)間后從外周動(dòng)脈采取血液樣品，以測定該物質(zhì)在動(dòng)脈血中濃度的變化。當(dāng)注入染料經(jīng)一定時(shí)間后，動(dòng)脈血內(nèi)由于染料的再循環(huán)，動(dòng)脈血內(nèi)染料濃度回升，然后逐漸降下而達(dá)零點(diǎn)。可用曲線下降坡度外推法或用半對數(shù)坐標(biāo)繪圖法而得到零點(diǎn)濃度的時(shí)間。

此法較易操作，無需插心導(dǎo)管，也無需測定氧耗量。故在人體上用指示劑稀釋法測定心輸出量，逐漸代替了費(fèi)克氏法，特別對嬰兒、心臟病患者更為廣泛應(yīng)用。將5.6毫克染料注入休息中病人心臟旁邊的靜脈，濃度數(shù)據(jù)如表1所示，求該病人的心輸出量？

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)描出光滑曲線如圖1，時(shí)間由注入時(shí)刻t=0開始。染料濃度一開始是零，然后通過肺部以后逐漸增加，在t=9時(shí)達(dá)到最大值，接著逐漸減少，在t=31時(shí)減少為零。

已知染料是5.6克，接下來需要知道濃度曲線下面的面積。對于不規(guī)則區(qū)域的曲邊梯形面積，目前還不知道用什么公式去計(jì)算。假設(shè)用矩形區(qū)域做近似，如圖2，每一個(gè)矩形省略了一部分曲線下面的面積，但是又包含了一部分曲線上面的面積作為補(bǔ)償。

誤差大的原因主要是曲邊梯形的曲邊兩端點(diǎn)相隔比較遠(yuǎn)，它所對應(yīng)的函數(shù)值相差比較大。如果曲邊梯形比較窄，兩底離得比較近，函數(shù)變化不大，曲邊和直邊差不多，誤差就變小了。那如何把寬的曲邊梯形變窄呢？這就用到定積分概念里的分割步驟。

當(dāng)我們把曲邊梯形分割成多個(gè)窄的曲邊梯形，然后用窄的矩形面積代替窄的曲邊梯形面積，用階梯型的矩形面積之和代替整個(gè)曲邊梯形面積，誤差就會(huì)比原來小。這就是定積分概念里近似求和的步驟。

進(jìn)一步深入思考，分割的窄曲邊梯形越多，用階梯型矩形面積代替曲邊梯形面積的誤差就越小。如果無限分割，階梯型的矩形個(gè)數(shù)趨于無窮，階梯型的矩形形狀也就趨于曲邊梯形。即階梯型的矩形極限就成了曲邊梯形。這就是定積分概念里求極限的步驟。

高中課本里從曲邊梯形的面積，變力做功兩個(gè)實(shí)例中抽象出定積分的定義，處理的步驟都是“分割-近似求和-求極限”。原來生活中有很多類似的問題，可以用定積分的思想來解決。

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)（選修2-2）[M].人民教育出版社，2007.

[2]George B， Thomas Jr. Calculus and Analytic Geometry（9th edition）[M]. Addison-Wesley Publishing Company，1998.

[3]房元霞，張興芳.“定積分的概念”教學(xué)設(shè)計(jì).聊城大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，27（4）：84-89.

[4]陳國玉，肖金艷.淺談定積分概念教學(xué)的設(shè)計(jì).巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，15（6）：157-159.

[5]練學(xué).“定積分概念”教學(xué)拾零.湖北三峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，4（1）：84-86.endprint