陳小芬

摘 要：概念是思維的細(xì)胞，因此我們必須十分重視基本概念的教學(xué)，在核心概念的教學(xué)上更是要做到“不惜時(shí)，不惜力”，讓學(xué)生能揚(yáng)概念探究之帆，啟能力提升之航。“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！” 本節(jié)課筆者在“為什么研究函數(shù)圖象對稱性”及“為什么要從代數(shù)的角度研究圖象的對稱性”等方面都設(shè)置了恰當(dāng)?shù)膯栴}。

關(guān)鍵詞：奇偶性；概念教學(xué)；自主探究

一、 問題的提出

（一） “雙基”變“四基”——數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的新發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)在注重“雙基”的基礎(chǔ)上由東北師范大學(xué)史寧中校長提出了對數(shù)學(xué)基本思想方法和基本活動經(jīng)驗(yàn)的要求，并于2011 年正式寫入《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》。作為義務(wù)教育后的高中課程，不僅是培養(yǎng)公民應(yīng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)性課程，也是一門培養(yǎng)公民應(yīng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展性課程。這就要求學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要獲得必需的知識與技能，還要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中提升對數(shù)學(xué)的感悟，加深對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，不斷積累經(jīng)驗(yàn)、獲得數(shù)學(xué)發(fā)展，培養(yǎng)提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（二） 教材分析

本節(jié)是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修1）》（人教版）第一章第1.3.2“函數(shù)的奇偶性”。培養(yǎng)學(xué)生熟悉函數(shù)語言及符號并能熟練運(yùn)用是本章的核心目標(biāo)之一，本節(jié)的教學(xué)任務(wù)是通過符號化、形式化來使函數(shù)性質(zhì)數(shù)學(xué)化，與此前函數(shù)單調(diào)性一脈相承，是后繼研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課起著承上啟下的作用。

教學(xué)目標(biāo)：

（1） 學(xué)生通過動手畫圖的數(shù)學(xué)活動，在感知函數(shù)圖象對稱性的過程中，逐步建立奇偶性概念；

（2） 能用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性；

（3） 會通過圖象特點(diǎn)判斷函數(shù)的奇偶性，能用奇偶性的定義判斷證明函數(shù)的奇偶性；

教學(xué)重點(diǎn)：

用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性

教學(xué)難點(diǎn)：

如何引導(dǎo)學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)對稱點(diǎn)之間坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系過渡到用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性

二、 教學(xué)實(shí)錄

（一）由特殊到一般——從直觀感受到深刻感悟

問題1 你能畫出函數(shù)f（x）=x0、f（x）=x2、f（x）=x4的圖象嗎？

（事先發(fā)給學(xué)生一張帶有坐標(biāo)系及表格的紙，學(xué)生馬上在紙上作圖。前兩個(gè)函數(shù)圖象學(xué)生很快就畫好，第三個(gè)函數(shù)很多學(xué)生愣住了，不知如何下筆）

師（適時(shí)提示）：如何畫函數(shù)圖象？

生（恍然大悟）：列表，描點(diǎn)，連線。

設(shè)計(jì)說明 前兩個(gè)圖象學(xué)生在初中都接觸過，很容易畫出，第三個(gè)圖象對高一新生來說顯然有點(diǎn)難度，但學(xué)生可以利用初中已經(jīng)學(xué)過的“描點(diǎn)法”進(jìn)行作圖，通過動手實(shí)際畫圖的數(shù)學(xué)活動，既可直觀感知圖象的對稱性，又可有在數(shù)量關(guān)系上的體驗(yàn)（在作圖的過程中會發(fā)現(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系），為突破本節(jié)課的難點(diǎn)埋下伏筆。奧蘇貝爾指出：“影響學(xué)習(xí)的唯一的、最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。”

（教師實(shí)物投影學(xué)生的完成情況，再用幾何畫板畫出函數(shù)y=x6，y=x8的圖象）

問題2 觀察這5個(gè)函數(shù)圖象，從對稱的角度你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：圖象關(guān)于y軸對稱

師：像這類關(guān)于y軸對稱的函數(shù)，我們起個(gè)什么名字好呢？

生（笑）：就叫偶函數(shù)吧，指數(shù)都是偶數(shù)的。

師：好，我們就把這類圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫做“偶函數(shù)”。除了這些，你能說個(gè)偶函數(shù)的例子嗎？

生：如y=|x|，只要圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)都是偶函數(shù)，還有很多。

設(shè)計(jì)說明 直觀感知圖象的對稱性，同時(shí)讓學(xué)生試著給這類函數(shù)命名，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。這是一個(gè)初步定義，暫不出現(xiàn)形式化的符號表示，雖然不嚴(yán)格，但符合人們認(rèn)識事物的規(guī)律，自然、合情。同時(shí)也給出了偶函數(shù)判斷的一種方法：幾何法，只要函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的，就是偶函數(shù)，不僅僅是指數(shù)為偶數(shù)的這一類函數(shù)。

師：在我們的日常生活中也有許多對稱的現(xiàn)象：兩只耳朵、樹葉，摩天輪、剪紙等等（用投影顯示圖片），說明研究對稱性有一定的實(shí)際意義。

師： 以函數(shù)y=x2為例，請你說說是根據(jù)什么判斷它的圖象關(guān)于y軸對稱？

生：沿y軸把它對“折”，發(fā)現(xiàn)左右重合。

師：你怎么判斷對折后的圖象是完全重合的？

設(shè)計(jì)說明學(xué)生都覺得這是顯然的，但通過“折”這一數(shù)學(xué)活動，發(fā)現(xiàn)自己作的圖沒法達(dá)到預(yù)期的效果，但又不知道從何說起.學(xué)生思維進(jìn)入了一種憤悱狀態(tài)，就會產(chǎn)生認(rèn)知沖突的建構(gòu)，從而更容易地激發(fā)學(xué)生對新知識需求的迫切心理，讓本課的研究主題“如何用精準(zhǔn)入微的‘代數(shù)重新定義‘函數(shù)的奇偶性”呼之欲出。

師：剛才大家是出于一種幾何的直觀感覺判斷這些函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，好，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的確需要這種直覺，但也要注意到，我們不但要能大膽猜測，更要小心求證。何況，我們即使利用“描點(diǎn)法”畫的函數(shù)圖象有時(shí)也不大精準(zhǔn)，再如：y=1x4+2x2+3，沒有幾何畫板這樣的工具，僅靠“描點(diǎn)法”是不容易畫出的。這個(gè)時(shí)候，我們就另尋他法，“形”上走不通，不妨走“數(shù)”，即用代數(shù)方法來研究幾何圖形！這樣的方法我們有用過嗎？

生：在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，我們就是通過“任意的兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1

設(shè)計(jì)說明 想通過回顧單調(diào)性，類比函數(shù)圖象中用數(shù)量刻畫“上升”還是“下降”，為對稱性的數(shù)量刻畫做準(zhǔn)備.

（二） 由感性到理性——用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性

問題3 如何從數(shù)的角度說明函數(shù)y=f（x）=x2的圖象確實(shí)關(guān)于y軸對稱？

生：我取了6個(gè)點(diǎn)（1，1），（2，4），（3，9）；（-1，1），（-2，4），（-3，9），發(fā)現(xiàn)它們關(guān)于y軸對稱.所以，我認(rèn)為它的圖象是關(guān)于y軸對稱的。

師：若在此圖象上挖掉如下的一點(diǎn)呢？那它還關(guān)于y軸對稱嗎？

生：不是。

師：由此可見，函數(shù)的對稱性是一個(gè)整體的概念，且定義域有何特點(diǎn)？

生：關(guān)于y軸對稱。

師：那函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，3]是偶函數(shù)嗎？若不是，如何改動使其成為一個(gè)偶函數(shù)？

生：不是。改變定義域?yàn)閇-1，1]即可，或其他[-2，2]等等。

師：是的，定義域關(guān)于y軸對稱（或者說關(guān)于原點(diǎn)對稱）是前提條件。我們可以用特殊點(diǎn)來說明圖象不是對稱的。由特殊到一般是數(shù)學(xué)基本的思想方法。那你通過1個(gè)、2個(gè)，6個(gè)甚至無數(shù)多個(gè)點(diǎn)就能說明圖象是關(guān)于y軸對稱的嗎？如何才能準(zhǔn)確說明圖象是關(guān)于y軸對稱的？

片刻后，有學(xué)生回答：我們把 “點(diǎn)”改為“任意一點(diǎn)”。 設(shè)點(diǎn)P（a，f（a））是函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點(diǎn)，說明它關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，因?yàn)樗侨我獾?，所以就能說明圖象確實(shí)是關(guān)于y軸對稱的。

師：你能證明嗎？

生：因?yàn)樗P(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為Q（-a，f（a）），且f（-a）=a2=f（a），所以點(diǎn)Q（-a，f（a））也在y=f（x）圖象上。

設(shè)計(jì)說明 通過嘗試探究具體函數(shù)，學(xué)生能初步感知解析式滿足f（-a）=f（a）的函數(shù)其圖象關(guān)于y軸對稱（先提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。為正式出臺偶函數(shù)的概念積累一些具體的經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)前置定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，呼應(yīng)之前函數(shù)學(xué)習(xí)中提出的“定義域優(yōu)先”的原則。

（三） 課時(shí)小結(jié)

1. 從函數(shù)知識脈絡(luò)看：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)知識建構(gòu)的過程，我們不僅僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本知識，更為重要的是要學(xué)會如何去學(xué)習(xí)，如何建構(gòu)自己的知識脈絡(luò)結(jié)構(gòu)。

2. 從思想方法看：數(shù)形結(jié)合思想是研究函數(shù)的一種重要思想方法，用代數(shù)方法研究幾何圖形特征，如本節(jié)課用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性。從點(diǎn)的對稱性到函數(shù)的奇偶性本質(zhì)上也是一維到二維的延伸。

三、 回顧與反思

筆者精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，從“學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，按“由特殊到一般——從直觀感受函數(shù)的對稱性到深刻感悟”“由感性到理性——用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性”“類比研究”“概念的深化”“概念的拓展”五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣。

參考文獻(xiàn)：

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