紀(jì)志榮,何東進(jìn),巫麗蕓,游巍斌,曹 彥,陳麗琴

(1.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建福州350002；2.福建農(nóng)林大學(xué)林學(xué)院，福建福州350002；3.福建農(nóng)林大學(xué)金山學(xué)院，福建福州350002)

1990－2014年武夷山特大暴雨的分形特征分析

紀(jì)志榮1,何東進(jìn)2,3?,巫麗蕓2,游巍斌2,曹 彥3,陳麗琴1

(1.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建福州350002；2.福建農(nóng)林大學(xué)林學(xué)院，福建福州350002；3.福建農(nóng)林大學(xué)金山學(xué)院，福建福州350002)

借助分形與混沌理論,對1990－2014年武夷山特大暴雨降水量的時間序列進(jìn)行分析,重構(gòu)其嵌入相空間,得出關(guān)聯(lián)維數(shù)和飽和嵌入維數(shù),進(jìn)而確定了模擬相應(yīng)動力系統(tǒng)所需的基本變量數(shù)目為8。基于R/S分析法計(jì)算了Hurst指數(shù)為0.8195,表明武夷山特大暴雨降水量的時間序列存在長期記憶性的特征。最后通過加權(quán)零階局域法,對武夷山短期的特大暴雨降水量進(jìn)行預(yù)測。研究結(jié)果客觀、合理地反映了特大暴雨降水量的分形特征,可為建立特大暴雨降水量的時間序列預(yù)報模型提供有力的理論依據(jù)。

特大暴雨；分形；關(guān)聯(lián)維數(shù)；Hurst指數(shù)；加權(quán)零階局域法預(yù)測

暴雨降水極易成災(zāi)致災(zāi),尤其特大暴雨給人民帶來巨大的危害和損失,隨著人類活動和全球氣候變暖,暴雨洪澇災(zāi)害呈現(xiàn)逐年增多增大的趨勢。中國是個多暴雨的國家,暴雨洪澇災(zāi)害的研究與預(yù)防一直是大氣科學(xué)研究中重要的課題,尤其特大暴雨是業(yè)務(wù)預(yù)報工作難點(diǎn),因此深入研究暴雨降水的分布及變化特征具有重要意義。

長期以來,我國在暴雨研究中取得了豐碩的成果:姜德娟等(2011),鄭騰飛等(2012),李劍鋒等(2012),董偉等(2012),史培軍等(2016)運(yùn)用小波分析、DFA法、M-K、數(shù)值模擬,空間相關(guān)等方法研究山東、江蘇、新疆、東北、全國極端降水時空分布特征及變化趨勢；連明濤等(2014)分析了河南省多年不同場次特大暴雨的遞減指數(shù)；馮文等(2015),王堅(jiān)紅等(2014)研究了特大暴雨的動力機(jī)制特征；康婷婷等(2012),侯保燈等(2014)針對中國年最大致洪暴雨落區(qū)的時間序列進(jìn)行自相關(guān)、趨勢、周期等一系列分析,并結(jié)合改進(jìn)的BP網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行模擬與預(yù)測。但傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)模型難以深刻揭示暴雨行為機(jī)制,分形理論的出現(xiàn),為解釋復(fù)雜系統(tǒng)行為及其預(yù)測研究提供了有力的支持。近20 a來,許多學(xué)者相繼應(yīng)用分形、混沌理論對水文資源進(jìn)行研究(Waymire,1985；Foufpula-Georgou et al.,1984；Lovejoy et al.,1985；Keden et al.,1987)。對暴雨分形性質(zhì)也有一定的研究,Koutsoyiannis等(1997)建立了暴雨過程的單標(biāo)度模型來研究暴雨的時間分配性質(zhì)；Menabbde等(1999)將標(biāo)度不變性的假設(shè)引入暴雨公式,建立了暴雨公式的極值分布模型；常福宣等(2002)以四川成都站的長期暴雨資料按分形理論作了分析并進(jìn)行預(yù)測；Michele等(2001)在分形理論的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出暴雨隨面積而變的折減系數(shù)公式；任飛鵬(2016),何佳等(2016)運(yùn)用R/S研究武漢市、寶雞市的降水變化特征,徐毅青等(2016)分析了臺風(fēng)暴雨區(qū)低頻泥石流的分形特征。分形理論應(yīng)用于暴雨研究取得了一定成果,但用于特大暴雨系統(tǒng)尚不多見。由此,本文嘗試運(yùn)用分形理論,探討特大暴雨發(fā)生系統(tǒng)的分形特征。以1990－2014年武夷山年特大暴雨降水量為研究對象,深入分析降水量的分形特征,并通過加權(quán)零階局域法,對武夷山短期的特大暴雨降水量進(jìn)行預(yù)測,以期為特大暴雨診斷分析、業(yè)務(wù)預(yù)報、防災(zāi)指揮等提供理論指導(dǎo)。

1 研究區(qū)域概況

武夷山地處中亞熱帶,境內(nèi)群山重疊,海拔1 800 m以上的山峰多達(dá)三十余座,形成天然屏障,冬季可阻擋或削弱北方冷空氣的入侵,具有降水量多,濕度大,霧日長,垂直變化顯著等氣候特點(diǎn)。武夷山鄰區(qū)是我國東南主要暴雨區(qū),在華南前訊期及江南梅雨期間,西南氣流移動途經(jīng)武夷山分水嶺地帶,受山脈階梯地勢地形(1 000－1 500 m,主峰黃崗山2 158 m)丘陵高山的影響與北方冷空氣在此交綏,常易出現(xiàn)大暴雨。

2 武夷山特大暴雨降水量的時序特征

2.1 1990－2014年武夷山特大暴雨降水量的時序分布

研究數(shù)據(jù)來自中國林業(yè)科學(xué)數(shù)據(jù)中心。根據(jù)中國氣象災(zāi)害大典,氣象部門規(guī)定24 h降水量達(dá)200 mm及其以上為特大暴雨標(biāo)準(zhǔn),文章選用1990－2014年武夷山年暴雨降水量的24 h最大值(均超過200 mm,見圖1)為代表值,可視為特大暴雨,作為研究對象。圖1可見,暴雨降水量最小值為658 mm,最大值為2 455 mm,平均值也達(dá)到了1 137.12 mm,武夷山這25 a都經(jīng)歷了特大暴雨,每年的暴雨降水量表現(xiàn)出極強(qiáng)的隨機(jī)性和不確定性。在1993、1998、2008、2013年都出現(xiàn)了不同程度的峰值。另外利用Eviews軟件進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn),J-B統(tǒng)計(jì)量的值為10.96,P值為0.00＜0.05,并不服從正態(tài)分布。

2.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

對序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn),利用Eviews軟件在滯后階數(shù)對話框選擇SC準(zhǔn)則,采用帶常數(shù)項(xiàng)方程進(jìn)行ADF檢驗(yàn),在顯著性水平0.05下,P值為0.34,接受存在單位根的原假設(shè),武夷山特大暴雨降水量的時間序列是不平穩(wěn)的,傳統(tǒng)的時間序列的方法進(jìn)行分析不再適用,這對于選取分形分析方法起到了很重要的指導(dǎo)作用。

圖1 武夷山1990－2014年特大暴雨降水量時序分布圖Figure 1 The sequence chart of extrem rainfall in Wuyi Mountain from 1990 to 2014

3 武夷山特大暴雨降水量序列的分形特征

分形理論系由美國科學(xué)家曼德爾布羅特(Mandelbrot,1982)于20世紀(jì)70年代中期創(chuàng)立,它是描述具有相似結(jié)構(gòu)的幾何形狀的工具,分形的特點(diǎn)是通過計(jì)算研究對象的分?jǐn)?shù)維數(shù),定量描述其特征。以下從關(guān)聯(lián)維數(shù)和R/S分析驗(yàn)證夷山特大暴雨降水量時間序列的分形特征。

3.1 關(guān)聯(lián)維數(shù)

關(guān)聯(lián)維數(shù)就是從少數(shù)甚至單一數(shù)據(jù)序列提取關(guān)于維數(shù)信息的方法,可用相空間重構(gòu)方法(G-P法)計(jì)算。

(1)重構(gòu)相空間

采用時間差法重構(gòu)相空間,按時間間隔τ而構(gòu)造出一批矢量:

式中,m為嵌入維數(shù)(即重構(gòu)相空間的維數(shù))；Xi為重構(gòu)相空間矢量；τ為延遲時間；n為原時間序列的點(diǎn)數(shù)(或長度)；N為重構(gòu)后的相空間矢量的個數(shù),N＝n－(m－1)τ。

(2)計(jì)算關(guān)聯(lián)函數(shù)C(r)

式中,‖Yi－Yj‖為相空間中Ym(ti)與Ym(tj)兩點(diǎn)的歐氏距離。

標(biāo)尺r的選值需適中,太大的r反映不了系統(tǒng)內(nèi)部的性質(zhì),太小的r使得系統(tǒng)中一切偶然的噪聲都會表現(xiàn)出來,沒有意義。適當(dāng)調(diào)整r,可能在r的一段區(qū)間內(nèi),C(r)與r存在下列標(biāo)度關(guān)系:

式中,d為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

顯然d與m相關(guān),選取不同的標(biāo)尺r,得到lnr與lnC(r)的關(guān)系圖,如存在無標(biāo)度區(qū),即直線段,表明存在分形特征,直線段的斜率即關(guān)聯(lián)維數(shù)。

取τ＝2,做出lnr與lnC(r)的關(guān)系圖2,可以看出,不同嵌入維m下,lnr與lnC(r)均存在線性相關(guān)區(qū)域,驗(yàn)證了1990－2014年武夷山特大暴雨降水量的時間序列存在分形特征。為了清晰地看出不同嵌入維下其關(guān)聯(lián)維d的變化特征,作出了嵌入維m與關(guān)聯(lián)維d的關(guān)系曲線(圖 3)。

圖2 lnC(r)－lnr的曲線圖Figure 2 The diagram of lnC(r)－lnr

圖3 m-d曲線圖Figure 3 The diagram of m-d

圖3 表明,隨著嵌入維數(shù)m值增大,關(guān)聯(lián)維數(shù)d值不斷增大。當(dāng)m＝8時,關(guān)聯(lián)維數(shù)d趨于穩(wěn)定,達(dá)到飽和,稱之為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)d＝2.85,m＝8為飽和嵌入維,它表征動力系統(tǒng)的有效自由度數(shù)目為8個,說明要恰當(dāng)?shù)孛枋鎏卮蟊┯杲邓肯到y(tǒng)變化特征,進(jìn)行動力系統(tǒng)建模,至少需要8個獨(dú)立變量。

3.2 R/S分析

重標(biāo)極差分析法(rescaled range analysis),簡稱R/S分析法。是水文學(xué)家Hurst在大量實(shí)證研究的基礎(chǔ)上提出的一種方法,后經(jīng)過Mandelbrot等人(1969)逐步完善。下面利用重標(biāo)極差分析法(R/S分析法)研究特大暴雨降水量序列,判斷其外在形態(tài)上表現(xiàn)出的復(fù)雜性特征。主要計(jì)算原理:

對于時間序列X＝{X1,X2,…,XN},將X均分為M個相鄰的長度為n的子序列,子序列記為 Xj＝ {x(j－1)n＋1,x(j－1)n＋2, …,x(j－1)n＋n},j＝ l,2,…,M。

在雙對數(shù)[ln(R/S)n,lnn]坐標(biāo)系中用最小二乘法擬合求得ln(R/S)n＝0.82,lnn＝0.84,R2＝0.97,方程擬合效果很好。Hurst指數(shù)為0.82＞0.5,表明特大暴雨降水量具有明顯的分形性質(zhì),存在持續(xù)性的變化特征,具有長期記憶性。

4 武夷山特大暴雨降水量的預(yù)測

武夷山特大暴雨降水量存在明顯的分形性質(zhì),須從混沌的角度去研究其復(fù)雜性征。加權(quán)零階局域法將中心點(diǎn)的空間距離作為一個擬合參數(shù)引入預(yù)測過程。具體算法:首先將時間序列進(jìn)行零均值處理,得到序列x(t),t＝1,2,…,N；再根據(jù)Taken定理選取嵌入維m≥2d＋1,得到重構(gòu)相空間

式中,M為重構(gòu)相空間中點(diǎn)的個數(shù),M＝N－(m－1)τ。在相空間中計(jì)算各點(diǎn)到中心點(diǎn)Y(M)之間的歐式距離,找出Y(M)的參考向量集＾Y＝{YM1,YM2,…,YMq}

式中,dM是dk中的最大值,dm是dk中的最小值,進(jìn)而得到x(M＋1)的預(yù)測結(jié)果。

預(yù)測值與實(shí)際值具有較好的一致性,二者走勢一致,相對誤差比率大部分在10%的范圍以內(nèi),預(yù)測精度較高。

表1 2010－2014年武夷山特大暴雨降水量的預(yù)測Table 1 The forecast results of extrem rainfall in Wuyi Mountain from 2010 to 2014

5 結(jié)論與討論

武夷山鄰區(qū)是我國東南主要暴雨區(qū),在1990－2014年的25 a中,每年都會出現(xiàn)特大暴雨,為了避免特大暴雨造成洪澇災(zāi)害與山洪危險,進(jìn)行及時有效的預(yù)測、預(yù)報尤為重要,對武夷山防洪減災(zāi)以及經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展具有重大意義。文章通過對1990－2014年武夷山特大暴雨降水量時間序列的研究,論證了其在相空間的運(yùn)動是混沌運(yùn)動,關(guān)聯(lián)維數(shù)為2.85,飽和關(guān)聯(lián)維所對應(yīng)的嵌入相空間的最小維數(shù)m＝8,要恰當(dāng)?shù)孛枋鎏卮蟊┯杲邓康南到y(tǒng)變化特征,需構(gòu)造至少8個獨(dú)立變量的動力學(xué)系統(tǒng)。R/S分析表明武夷山特大暴雨降水量具有持續(xù)性的變化特征,與加權(quán)零階局域法預(yù)測結(jié)果一致,且精度較高。研究結(jié)果表明,分形理論是進(jìn)行特大暴雨系統(tǒng)研究的有效途徑,文章的研究加深了對暴雨災(zāi)害特征及其發(fā)生機(jī)理的認(rèn)識,為建立暴雨大尺度時序預(yù)報奠定了基礎(chǔ)。同時,為深刻揭示暴雨變化不同時段的演化歷程,未來可借助動力系統(tǒng)重建及多重分形理論,進(jìn)一步分析形成暴雨分形結(jié)構(gòu)特征的動力學(xué)過程。

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Fractal characteristic analysis of extreme rainfall in Wuyi Mountain from 1990 to 2014

JI Zhi-Rong1,HE Dong-Jin2,3?,WU Li-Yun2,YOU Wei-Bin2,CAO Yan3,CHEN Li-Qin1
(1.College of Computer and Information Sciences,Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou,Fujian 35002,China；2.College of Forestry,Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou,Fujian 350002,China；3.Jinshan College of Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou,Fujian 35002,China)

Based on the fractal and chaos theory,the paper analyzed the time-series of extreme rainfall in Wuyi Mountain from 1990 to 2014,rebuilt the embedding space,calculated the correlative dimension and saturated embedding dimension,and determined the required number of basic variables of the correspond dynamic power system was 8.Moreover,according to the R/S analysis,the Hurst index was calculated as 0.85,which was inferred that the timeseries of extreme rainfall in Wuyi Mountain had the long-term memory characteristics.Finally,by the weighting zeroorder local-region prediction,we forecasted the short-term extreme rainfall in Wuyi Mountain.The results could reflect the fractal characteristics of extreme rainfall objectively and reasonably,and would provide the basic information for establishing the forecasting model of extreme rainfall time-series.

extreme rain； fractal method； correlative dimension； Hurst index； weighting zero-order local-region prediction

O213.9；S711

A

1001－4276－(2017)01－0118－07

紀(jì)志榮，何東進(jìn)，巫麗蕓，等，2017.1990－2014年武夷山特大暴雨的分形特征分析[J].武夷科學(xué)，33:118-124.

2017－04－28。

福建省教育廳項(xiàng)目(JA13118，JK2013016)。

紀(jì)志榮(1979－)，女，講師，博士研究生。研究方向:統(tǒng)計(jì)學(xué)、森林經(jīng)理。Email:15469495＠qq.com。?

何東進(jìn)(1969－)，男，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向:生物統(tǒng)計(jì)、森林經(jīng)理。Email:fjhdj＠126.com。

(責(zé)任編輯:陳曉雯)