■山東省萊蕪一中2015級 劉雨如(指導(dǎo)教師:王玉玲)

特殊值法
——高中數(shù)學(xué)解題的一劑“良方”

■山東省萊蕪一中2015級 劉雨如(指導(dǎo)教師:王玉玲)

特殊值法作為解題的利器,主要是借助特殊情境的創(chuàng)設(shè)或者特殊值的選取來達(dá)到豐富解題條件、降低解題難度的目的,尤其是對于某些選擇題或者缺乏解題條件的題目,采用特殊值法可能會取得意想不到的效果。

一、轉(zhuǎn)換角度,變換思路

涉及角度的數(shù)學(xué)題目是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,其涵蓋了證明題、求解題等多種類型。如果可以借助特殊值法的合理應(yīng)用,適當(dāng)?shù)貙ο嚓P(guān)角度進(jìn)行變換,那么可以大大簡化相應(yīng)題目,降低其解題難度。

例1已知銳角△ABC的三邊分別為a、b和c,三個角度分別為A、B和C,且其中那么可知

解析:這是一道涉及“角邊”的數(shù)學(xué)題目,且已知三角形為銳角三角形,剩余的已知條件為邊角之間的關(guān)系。

一般計(jì)算流程:6abcosC=a2+b2,6ab由三角形的邊角關(guān)系以及其同三角函數(shù)之間的關(guān)系知同樣進(jìn)行適當(dāng)變化得繼續(xù)進(jìn)行簡化得sinAsinBcosC=

由上述一般計(jì)算流程可知:該題的求解難度比較大,實(shí)際求解非常費(fèi)時費(fèi)力,且很難得到正確答案。而如果采用特殊值法,假設(shè)A=B,那么可以將已知條件中的三角形轉(zhuǎn)換為等腰銳角三角形,從而有助于簡化題目中的已知關(guān)系,減少計(jì)算出錯概率,達(dá)到快速求解的目的。

二、構(gòu)造函數(shù),優(yōu)化解題

構(gòu)造函數(shù)法在多種類型的數(shù)學(xué)題目中均具有很強(qiáng)的應(yīng)用性,尤其是在不等式方面。

例2已知-2≤a≤2,不等式ax2-2x-a+1＜0恒成立,試求x的取值范圍。

解析:將ax2-2x-a+1＜0進(jìn)行適當(dāng)變換,可知a(x2-1)-2x+1＜0,此時可以根據(jù)x的取值來進(jìn)行適當(dāng)變化,具體可以劃分成三種情況來進(jìn)行分別討論。①當(dāng)x=1時,可知-2×1+1=-1＜0,原不等式成立;②當(dāng)x=-1時,可知-2(-1)+1=3＞0,原不等式不成立;③當(dāng)x≠±1時,構(gòu)造一次函數(shù)f(a)=a(x2-1)-2x+1,可知當(dāng)-2≤a≤2時,f(a)＜0恒成立,此時存在f(-2)＜0和f(2)＜0,可知

本題求解的突破口在于結(jié)合相應(yīng)問題的特征來合理構(gòu)造一次函數(shù),借助一次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解,這樣可以有效地避免分類討論過程中出現(xiàn)的繁雜性,優(yōu)化解題過程。

三、特殊定位,化難為易

從理論上來講,高中數(shù)學(xué)知識涉及廣泛的規(guī)律和原則,問題處理的方法也比較多。但在實(shí)際的問題求解中,多數(shù)同學(xué)常常傾向于采用最基本、最常見的方法來處理。針對涉及“變化的量”方面的數(shù)學(xué)問題時,如果繼續(xù)采用傳統(tǒng)方法,那么就顯得比較繁雜,此時如果采用特殊值法來定位相應(yīng)的變量,然后再配合相關(guān)數(shù)學(xué)思想和方法,那么就可以快速地求解了。

(責(zé)任編輯 趙 平)