肖生春，呂堂紅

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022）

基于熱傳導(dǎo)理論的屋頂保溫層厚度的優(yōu)化與設(shè)計(jì)

肖生春，呂堂紅

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022）

為了更好地滿足人們對建筑物的舒適性與健康性的要求，針對提高建筑物的保溫性能與節(jié)約能源、降低建筑造價相互矛盾的現(xiàn)狀，運(yùn)用熱傳導(dǎo)理論對屋頂?shù)淖罴驯貙雍穸冗M(jìn)行了討論，建立最佳保溫層厚度的優(yōu)化模型。首先，利用多層平壁穩(wěn)定熱傳導(dǎo)公式，確定周期內(nèi)年平均節(jié)能費(fèi)用與保溫層厚度的函數(shù)關(guān)系式；然后以平均節(jié)約費(fèi)用最高為目標(biāo)建立優(yōu)化模型，利用MATLAB計(jì)算出珍珠巖的最佳保溫層厚度應(yīng)為12.8cm；最后分析并計(jì)算了三種可替換保溫材料的最佳保溫層厚度，繪出三種材料保溫層厚度與年單位面積節(jié)約費(fèi)用的效果圖，并綜合考慮節(jié)能效益及材料造價等多方面因素，最終得出聚氨酯為最佳保溫材料的結(jié)論。

熱傳導(dǎo)方程；節(jié)能；使用年限；聚氨酯

1 模型背景及分析

目前，我國城市居民樓很多都是平頂屋。北方地區(qū)這樣的屋頂，夏季太陽日照下的表面溫度最高可以達(dá)到75℃，冬季為零下40℃。現(xiàn)代人對居住環(huán)境的要求越來越高，為了使室內(nèi)常年保持適宜溫度，人們一方面在室內(nèi)設(shè)置采暖設(shè)備和空調(diào)設(shè)備，另一方面又在提高房屋維護(hù)結(jié)構(gòu)的保溫能力，以降低能耗。在建筑中合理地使用保溫材料，同時將保溫層確定在適宜厚度是非常重要的［1］。因?yàn)檫@樣既能提高建筑物的保溫性能，使之更好地滿足人們對建筑物的舒適性與健康性的要求，保證正常的生產(chǎn)和生活，又能減少熱耗損，減輕屋面體系的自重，減少基本建材的用量，從而達(dá)到節(jié)約能源，降低建筑造價的目的［2］。

2 模型假設(shè)

（1）本文討論的城市居民樓其頂層高于12m，是簡單的平頂屋即不考慮建筑結(jié)構(gòu)對保溫層的影響，并且在以下計(jì)算都只考慮頂層樓層和獨(dú)立房間；

（2）不考慮地板的熱量散失與吸收，冬季不考慮冷風(fēng)滲透的耗熱量；

（3）墻體中窗戶的熱量散失與吸收按墻體計(jì)算，并不考慮通風(fēng)、換氣這些隨機(jī)參量；

（4）本文暫不考慮貼現(xiàn)系數(shù)，即認(rèn)為物價水平是恒定的；

（5）本文討論的是中國北方地區(qū)，計(jì)算中數(shù)據(jù)以北方某一地區(qū)為例。

3 變量說明

文中各參數(shù)所代表的意義如表1所示。

表1 文中各參數(shù)意義

4 模型建立和求解

首先，利用多層平壁穩(wěn)定熱傳導(dǎo)公式［3］和流體間的熱量傳遞公式［4］建立傳熱平衡時的函數(shù)關(guān)系式，并由此導(dǎo)出節(jié)能效益。其次，從實(shí)際情況出發(fā)，得出保溫層厚度所應(yīng)滿足的約束條件。最后，利用MATLAB分析得出最佳保溫層厚度，并簡要分析了其它保溫層替換材料。

一般我國北方地區(qū)的建筑物的平屋頂結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

4.1 節(jié)能經(jīng)濟(jì)效益與保溫層厚度的函數(shù)關(guān)系式的建立

（1）單位面積屋頂總熱阻及傳熱系數(shù)的計(jì)算

屋頂各種材料的熱導(dǎo)率和厚度如表2所示。

單位面積總熱阻可按下式計(jì)算：

故R總＝1/14＋1/40＋d0.065＋1/40＋20/79＋3/160+1/30＝0.4267+d0.065

傳熱系數(shù)：

（2）冬季整個供暖期單位面積屋頂散失的熱量計(jì)算：

表3是北方部分地區(qū)供暖時間。

下面以沈陽為例進(jìn)行計(jì)算。

設(shè)城市居民樓主體采用框架結(jié)構(gòu)，六層樓，層高2.8m，占地面積為600m2，長寬分別為60m和10m。由表2可知供暖時間集中在11，12，1，2，3這五個月，而這五個月的平均氣溫如表4所示。

表2 屋頂各種材料的熱導(dǎo)率和厚度匯總表

表3 北方部分地區(qū)供暖時間匯總表

表4 沈陽五個月的平均氣溫

因此可通過下式計(jì)算供暖期間各月單位時間單位面積散失的熱量：

于是每年采暖期內(nèi)單位面積屋頂散失的總熱量為以上各月之和：

（3）冬季單位面積節(jié)約的年采暖費(fèi)用

由于保溫層的有無只會影響屋頂?shù)纳崃?，而不影響墻體的散熱量，故采暖費(fèi)用的縮減只與屋頂有關(guān)，而跟墻體沒有關(guān)系，所以在此只需考慮有了保溫層之后屋頂減少的散熱量即可。

單位面積節(jié)約的年采暖費(fèi)用可按下式計(jì)算：

其中，cf＝0.4￥/kg；η1＝0.9；η2＝0.68；Hc＝2.93×107J/kg。

將上述數(shù)據(jù)代入（6）可得：

（4）夏季單位面積屋頂吸收的熱量計(jì)算

假設(shè)夏季炎熱時，室內(nèi)制冷主要靠空調(diào)，且要室內(nèi)保持26℃

表5 各月單位時間單位面積散失的熱量

代入數(shù)據(jù)得：

若夏季用空調(diào)的時間為50天，這些日子的平均氣溫為32，則夏季單位面積屋頂吸收的總熱量為：

（5）夏季節(jié)能計(jì)算

則整個夏季用電量為：

（6）保溫層費(fèi)用的計(jì)算

表6是某地珍珠巖顆粒，膨脹珍珠巖板，水泥珍珠巖板，瀝青珍珠巖板價格信息，故取珍珠巖保溫層價格為150元/m3，又其它費(fèi)用（如人工費(fèi)）總計(jì)10元/m3。則珍珠巖保溫層的總費(fèi)用為160元/m3，又假設(shè)該保溫層的使用年限為10年。于是可知平均每年單位面積的珍珠巖保溫層的費(fèi)用為：

（7）年單位面積的節(jié)能費(fèi)用為：

4.2 保溫層厚度的約束條件的確定

（1）首先，應(yīng)保證冬天最冷日子時的市內(nèi)溫度適宜，即最冷日子的散失的熱量要小于暖氣補(bǔ)給的熱量。

由于暖氣片的散熱量為574W/片，以一般北方居民樓為例，假設(shè)居民樓單位面積暖氣片最多為0.2片，則暖氣片總散熱量為0.2×574＝114.8W，所以：

Q1按下式計(jì)算：

將T1=18℃，t1=-40℃代入（14）式得：

可按下列方法計(jì)算：

令a=1.0；K=1.27；fg=15%；將上述數(shù)據(jù)代入（14）得：

乘以θ計(jì)算，θ為系數(shù)，即頂層墻體面積與屋頂面積比，可取θ＝0.6533得：

將tn=18℃，tw=－30.6℃代入式（17）得：

所以：

解得：

（2）另外，應(yīng)保證夏天最熱日子時的室內(nèi)溫度適宜即最熱日子里吸收的熱量要小于空調(diào)的制冷量，由于家用空調(diào)單位面積制冷量為80～120W。故應(yīng)有：

表6 三種保溫材料報(bào)價表

Q2按下式計(jì)算：

將T2＝75℃，t2＝26℃代入式（20）得：

于是有：

解得：

4.3 最優(yōu)解的確定及節(jié)能效益分析

為節(jié)能效益最大，即求式（12）的最大值，為此用Matlab編程計(jì)算得最佳保溫層厚度：

這時單位面積年節(jié)能費(fèi)用為：

4.4 其它保溫材料的節(jié)能效益分析

（1）聚氨酯材料

聚氨酯的導(dǎo)熱系數(shù)為0.022，平均每年單位體積的保溫層的費(fèi)用為130元，使用年限為10年，可利用上述模型計(jì)算最佳保溫層厚度，則：

則由約束條件知，應(yīng)滿足（23）（24）兩個式子：

利用Matlab求得：

年單位面積的節(jié)能費(fèi)用亦用上述程序計(jì)算得：

年單位面積最大年節(jié)能費(fèi)用：

另外聚氨酯還有以下優(yōu)點(diǎn)［4］：

①聚氨酯硬泡體直接噴涂于屋面層，系反應(yīng)物料受壓力作用，通過噴槍形成混合物直接發(fā)泡成型，液體物料具有流動性、滲透性，可進(jìn)入到屋面基層空隙中發(fā)泡，與基層牢固地粘合并起到密封空隙的作用。其粘結(jié)強(qiáng)度超過聚氨酯硬泡體本身的撕裂強(qiáng)度，從而使硬泡層與屋面基層成為一體，不易發(fā)生脫層，避免了屋面水沿層面縫隙滲透。聚氨酯硬泡體能夠與木材、金屬、磚石、混凝土等各種材料牢固粘結(jié)。

②具有很強(qiáng)的抗?jié)B透能力，通過機(jī)械化施工，屋面形成無接縫連續(xù)殼體。

③異型屋面極易施工，結(jié)點(diǎn)處理簡單方便，防水性能可靠。

④重量輕、大大減低屋面荷載聚氨酯硬泡體40mm代替了傳統(tǒng)做法中的防水層、保溫層及其中間的找平層等，且40mm厚的聚氨酯硬泡體每平米重量約為2.4kg，大大降低屋面荷載，適合各種平面、曲面、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的屋面。

⑤抗老化強(qiáng)度的溫度范圍大

⑥聚氨酯硬泡體在低溫-50℃情況下不脆裂，在高溫+150℃情況下不流淌，不粘連，可正常使用，且耐弱酸，弱堿等化學(xué)物質(zhì)侵蝕。

⑦施工簡便迅速，簡化了屋面整體的施工工藝機(jī)械化施工，施工人員少，減少安全隱患，一套進(jìn)口設(shè)備在良好條件下每天可完成800-1000平米的施工，比常規(guī)防水保溫材料施工時間節(jié)省80%。

⑧舊屋面維修翻建 當(dāng)舊基層未發(fā)生脫層、起鼓，可以不鏟除舊基層，直接在舊基層上噴涂施工降低了工程強(qiáng)度和難度，節(jié)省工程造價及施工時間。無氟發(fā)泡，綠色無污染采用先進(jìn)的無氟發(fā)泡技術(shù)，符合環(huán)保要求。

（2）擠塑聚苯乙烯泡沫板

XPS的導(dǎo)熱系數(shù)為0.03，平均每年單位體積的保溫層的費(fèi)用為550元，使用年限為40年，可利用上述模型計(jì)算最佳保溫層厚度，則：

則由約束條件知，應(yīng)滿足（25）（26）兩個式子：

利用MATLAB求得：

年單位面積的節(jié)能費(fèi)用亦用上述程序計(jì)算得：

有年單位面積最大年節(jié)能費(fèi)用：

另外XPS還有以下優(yōu)點(diǎn)［5］：

①卓越持久的特性

性能穩(wěn)定，不易老化。擠塑板可用35～50年，極其優(yōu)異的抗?jié)裥阅?，在高水蒸氣壓力的環(huán)境下，仍然能夠保持低導(dǎo)熱性能。而發(fā)泡式的保溫材料如硬質(zhì)高密度發(fā)泡保溫材料使用五年之后即老化，隨之導(dǎo)致吸水，造成性能下降。

擠塑板用于低溫儲藏室內(nèi)極佳，如冷庫、冷藏車，工作溫度為-54℃～75℃。

②無與倫比的隔熱保溫性能

華能擠塑板具有閉孔性結(jié)構(gòu)，且其閉孔率達(dá)99%，故其保溫性能好。雖然發(fā)泡聚氨酯為閉孔性結(jié)構(gòu)，但其閉孔率小于華能擠塑板，僅為80%左右，而其它的保溫材料均系開孔性結(jié)構(gòu)，導(dǎo)熱系數(shù)大，所以其它屋面保溫材料要達(dá)到華能擠塑板的效果是很難的。

擠塑板無論是隔熱性能、吸水性能還是抗壓強(qiáng)度等方面特點(diǎn)都優(yōu)于其它保溫材料，故在保溫性能上也是其它保溫材料所不能及的。

③意想不到的抗壓強(qiáng)度

華能擠塑板的抗壓強(qiáng)度可根據(jù)其不同的型號厚度達(dá)到150～500千帕以上，而其它材料的抗壓強(qiáng)度僅為150～300千帕以上，可以明顯看出其它材料的抗壓強(qiáng)度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于華能擠塑板的抗壓強(qiáng)度。

④萬無一失的吸水性能

用于路面及路基之下，有效防止水滲透。尤其在北方能減少冰霜滲入及受冰霜影響的泥土結(jié)凍等情況的出現(xiàn)，控制地面凍脹的情況，有效阻隔地氣免于濕氣破壞等。

（3）泡沫玻璃

導(dǎo)熱系數(shù)為0.058，平均每年單位體積的保溫層的費(fèi)用為1900元，使用年限為50年，可利用上述模型計(jì)算最佳保溫層厚度，則:

則由約束條件知，應(yīng)滿足（27）（28）兩個式子：

利用MATLAB求得：

年單位面積的節(jié)能費(fèi)用亦用上述程序計(jì)算得:

有年單位面積最大年節(jié)能費(fèi)用:

泡沫玻璃保溫系統(tǒng)其它特點(diǎn)［6］：

①安全可靠

泡沫玻璃外墻外保溫系統(tǒng)構(gòu)造簡單，自重輕。粘結(jié)、罩面采用聚合物水泥砂漿，耐候性好與墻面粘結(jié)牢固，整體性能良好，能有效地避免保溫層下墜掉落的風(fēng)險。

②節(jié)能效果永久

泡沫玻璃系無機(jī)材料，閉孔、重量輕不老化且保溫性能不會因任何外界因素的影響而下降。

③抗?jié)B能力強(qiáng)

泡沫玻璃自身閉孔、不吸水，且罩面層抹聚合物水泥砂漿也有很強(qiáng)的防水性能，所以該系統(tǒng)既保溫隔熱，又解決了墻面的防水滲漏。

④抗沖擊性好

外墻保溫隔熱泡沫玻璃強(qiáng)度較高（≥0.5MPa），且罩面聚合物水泥砂漿（網(wǎng)格布）具有較大抗沖擊強(qiáng)度。

⑤施工簡單無污染

聚合物水泥砂漿配方簡單（或相應(yīng)干粉砂漿）。采用傳統(tǒng)手工抹壓、粘貼泡沫玻璃。系統(tǒng)所用材料無毒無害、無白色污染，純屬綠色環(huán)保產(chǎn)品。

泡沫玻璃是一種性能優(yōu)越的絕熱（保冷）、吸聲、防潮、防火的輕質(zhì)高強(qiáng)建筑材料和裝飾材料，使用溫度范圍為零下196度到450度，A級不燃與建筑物同壽命。

通過對以上三種保溫層材料的綜合比較和計(jì)算，可以看出聚氨酯硬泡集耐久性、防水性、保溫性、隔熱性、無縫性、粘接性、環(huán)保性、經(jīng)濟(jì)性等多優(yōu)良性能于一身。XPS擠塑聚苯乙烯發(fā)泡板材有強(qiáng)度好、質(zhì)輕、不透氣、耐腐蝕、抗老化、價格低的特點(diǎn)。炮沫玻璃具有極強(qiáng)耐候性、耐久性，使用壽命與建筑物同步，施工方便，強(qiáng)度高，導(dǎo)熱系數(shù)低，不吸水等特性，還具有抗紫外線、風(fēng)雨能力強(qiáng)，保溫隔熱效果永久的特點(diǎn)。

表7 三種保溫材料性能對比表

圖2為各種保溫材料的單位面積年節(jié)能費(fèi)用與保溫層厚度關(guān)系圖。

圖2 各種保溫材料的單位面積年節(jié)能費(fèi)用與保溫層厚度關(guān)系圖

由此可以推斷出聚氨酯材料是最合適的材料，它保溫防水一體化是目前世界上最優(yōu)良、最經(jīng)濟(jì)的屋面保溫防水體系。不僅本身材料的特性符合需要而且年單位面積最大年節(jié)能費(fèi)用是最大的。

5 模型結(jié)論與模型評價

5.1 模型結(jié)論

通過建立數(shù)學(xué)模型并利用MATLAB軟件，計(jì)算出珍珠巖的最佳保溫層厚度應(yīng)為12.8cm；最后分析并計(jì)算了三種可替換保溫材料：聚氨酯材料、擠塑聚苯乙烯泡沫板、泡沫玻璃的最佳保溫層厚度分別為0.105m、0.115m、0.075m，給出三種材料保溫層單位面積年最大節(jié)約費(fèi)用分別為11元、10.43元、6.53元，并綜合考慮節(jié)能效益及材料造價等多方面因素，最終得出聚氨酯為最佳保溫材料的結(jié)論。

5.2 模型優(yōu)點(diǎn)

（1）本模型計(jì)算方法簡單明了，實(shí)用性較強(qiáng)。

（2）充分考慮了經(jīng)濟(jì)因素，能夠有效地節(jié)約能源，在實(shí)際建筑中具有一定的指導(dǎo)意義。

（3）模型以具體某地為例計(jì)算說明，更加直觀，若將相關(guān)地區(qū)數(shù)據(jù)略作代換，亦可用于其它地方作為參考，因此具有一定的普遍性。

5.3 模型缺點(diǎn)

（1）部分計(jì)算數(shù)據(jù)采用近似處理，可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的微小誤差。

（2）本文未考慮其它工程問題對保溫層厚度的影響，故實(shí)際工程中有一定局限性。

（3）本模型中屋頂各層密度的不均勻分布，熱流在各層耦合部傳導(dǎo)過程中存在的熱橋問題以及外界溫度與室內(nèi)溫度都存在一定范圍的波動等等，這些都制約了模型對保溫層最佳厚度的確定。

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Optimization and Design of Roof Insulation Thickness Based on the Heat Conduction Theory

XIAO Shengchun，LV Tanghong
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

In order to meet people's comfort and health requirements of buildings better，based on the contradictory between improving the insulation performance of building、saving energy and reducing the cost of building，the authors of this paper discussed the best thickness of insulation layer on the roof by using the theory of heat conduction，and established the optimum model of the best insulation layer thickness.Firstly，we used the formula of stable heat conduction of multi-layer flat wall to establish the function relation between the annual average energy saving cost in one period and the thickness of the insulation layer；Then we set up an optimization model with the highest average cost saving as a goal，and used MATLAB to calculate the optimum insulation thickness of perlite which should be 12.8cm；Finally，we analyzed and calculated the best insulation thickness of three kinds of replaceable insulation materials，and drew the effect pictures of insulation layer thickness of the three kinds of materials and the annual cost saving per unit area，we ultimately drew the conclusion that polyurethane is the best thermal insulation material by considering many kinds of factors，such as the energy saving benefit and material cost and so on.

heat conduction equation；energy saving；service life；polyurethane

O175.1

A

1672-9870（2017）05-0136-07

2017-09-29

國家自然科學(xué)基金（10726062）

肖生春（1980-），男，博士，講師，E-mail：xiaoshengchun

呂堂紅（1979-），女，副教授，E-mail：lvtanghong@163.com