吉繆明

(江蘇省無錫市第三高級中學，江蘇 無錫 214000)

導數(shù)在高中數(shù)學解題中的運用探討

吉繆明

(江蘇省無錫市第三高級中學，江蘇 無錫 214000)

在高中數(shù)學學習中,若是能夠掌握導數(shù)的相關概念,并能夠加以運用,則會在數(shù)學解題的過程中,將習題內(nèi)容簡化進行解答,通過導數(shù)做一些不等式習題,這樣一來,使解題思路更加清晰、明朗.基于此點,筆者通過多年的教學經(jīng)驗,圍繞導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用進行分析.

導數(shù)；解題；應用

高中數(shù)學對很多學生來說是個很難的學科，不少學生對數(shù)學存在恐懼感.而導數(shù)在高中數(shù)學中的引入，在解決好多函數(shù)問題和實際生活中的最值問題時卻起到了關鍵的作用.導數(shù)的引入，使很多棘手的與導數(shù)有關的問題得到了解決，導數(shù)對于高中數(shù)學是非常重要的一部分，高考導數(shù)部分也是必考部分，而且在導數(shù)部分容易出有一定難度的大題.因此對高中生而言，在高考的所有科目中，數(shù)學占著很大的比重，因此學好導數(shù)這部分的知識是非常重要的.

一、導數(shù)在函數(shù)中的運用

導數(shù)在函數(shù)中運用是非常普遍的，利用導數(shù)可以解決函數(shù)的極大值與極小值，可以畫出一個函數(shù)的圖象的草圖，可以知道一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.而這些問題往往式教學的重點，也是學生必須掌握的最基礎的知識，也是歷年高考的重點，因此學生抓住這部分的重點還是非常有必要的.這就要求學生平時要多做多練用導數(shù)解決的這類題目，在多做多練中提高做題的效率，掌握做題的方法與技巧，爭取遇到這類題可以手到擒來.

例1 求函數(shù)f(x)=6x2+8x+4的單調(diào)區(qū)間和最小值.這道題很明顯是求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題.可以利用導數(shù)來解決，過程如下.

解∵f′(x)=12x+8,

∴令f′(x)=12x+8=0,則x=-2/3.

當xgt;-2/3時，f′(x)gt;0,則f(x)在(-2/3,+∞)上單調(diào)遞增；

當xlt;-2/3時，f′(x)lt;0,則f(x)在(-∞,-2/3)上單調(diào)遞減；

當x=-2/3時，f(x)取得最小值f(-2/3)=3/4.

綜上所述，這道題就解出來了，可以看出，利用導數(shù)求解這類問題簡單而又方便.如果利用數(shù)形結合的方法求解這類問題，這類問題是可以得到解決，但是過程繁瑣，不能很好地確定它的單調(diào)性時不能準確地畫出它的草圖，因此不能較容易簡單地解決這類問題.但是利用導數(shù)后，按照導數(shù)解決函數(shù)問題的一般步驟，可以讓學生對這類題目有了明確的解題步驟，因而這類題按照導數(shù)求解問題的一般步驟：1.求出函數(shù)的導數(shù)；2.令求出的導數(shù)等于零；3.由導數(shù)等于零確定函數(shù)的可疑極值點；4.根據(jù)極值點將函數(shù)的定義域進行劃分；5.確定函數(shù)的導數(shù)在定義域內(nèi)的正負，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；6.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，根據(jù)草圖得出函數(shù)的準確極值.這類問題就被輕而易舉地解決了，看似步驟挺多，但當你求出函數(shù)的導數(shù)和定義域時，所有問題就會迎刃而解了.

二、導數(shù)在不等式中的運用

不等式問題也是一類?？嫉念}型，包括不等式的證明與不等式的求解，處理這些問題時往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)，因此，很多時候可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題.這類問題的解決，需要積累一定的經(jīng)驗，因為有時候更多的是需要構造出一個函數(shù)，從而才能引入導數(shù)這個方法，借助函數(shù)的一些性質(zhì)，求出極值，從而使不等式問題得到解決.

所以函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象的下方

這道題其實是不等式的證明題，巧妙地構造了函數(shù)F(x)，隨后發(fā)現(xiàn)成了函數(shù)的基本問題，從而利用導數(shù)對函數(shù)問題進行了解答，從而使很棘手的不等式證明題變得簡單易懂.顯而易見，在解決不等式的問題時，函數(shù)的構造對解題來說是最重要的一步，而這一步對大多數(shù)學生而言，也是存在很大困難的一步.想到這步的最好的辦法還是要多做不等式的題，總結一定的構造函數(shù)的經(jīng)驗.

三、利用導數(shù)解決一些切線問題

導數(shù)的幾何意義是在該點處切線的斜率，這個問題有時候也是學生最容易忽略的問題.利用導數(shù)的幾何意義，可以方便快捷地求解一些函數(shù)曲線上點的切線問題.

分析將A和B點分別代入y=-lnx+3,發(fā)現(xiàn)點A在曲線上，點B不在曲線上；求解這類問題時，我們知道在曲線上的點的斜率就是曲線在該點處的導數(shù)，不在曲線上的點，需要我們設出切點，進而進行求解.

又因為y0=-lnx0+3，解得x0=e2.

從而e2y+x-2e=0.

這道題的求解關鍵是要將A和B兩點坐標代入，確定它們是否是曲線上的點，然后分別對是否在曲線上采取不同的方法進行求解.好多學生會不管是否在曲線上，直接代入導數(shù)求解切點的切線，對是否是切點沒有進行判斷.如果提前進行判斷，對切點和非切點的點分別引入該曲線的導數(shù)，利用其具有的幾何意義對其進行求解，是目前高中數(shù)學中最高效、最便捷、最容易理解的唯一方法.這類題經(jīng)常會考兩種類型，題目多為選擇和填空題，難度不大，屬于送分題，借助于導數(shù)的知識進行求解會達到事半功倍的效果.

導數(shù)在高中數(shù)學解題中的引用非常廣泛，在高中數(shù)學中也是相當難的一部分內(nèi)容，但是它相對而言，比較容易理解，難點在于學生們想不到利用導數(shù)去解決有些問題.所以更多的還是需要培養(yǎng)學生利用導數(shù)解決數(shù)學問題的能力，而不至于走很多彎路，在考試的過程中浪費很多時間.這就需要學生平時多積累題型，多跟著教師的思路走，自己在做題時，多培養(yǎng)自己在這方面的思維能力.

[1]王小燕. 新課標下導數(shù)應用的進一步探索學習[J]. 中國校外教育,2014(36).

[2]焦存德. 微分中值定理與導數(shù)在中學數(shù)學中的應用[J]. 延安職業(yè)技術學院學報,2013(06).

[3]楊洪濤,張艷婷. 導數(shù)在高中數(shù)學函數(shù)中的應用[J]. 旅游縱覽(下半月),2013(07).

[4]鄧晗陽. 導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用探討[J]. 科學大眾(科學教育),2016(12):27.

[責任編輯：楊惠民]

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2017-07-01

吉繆明(1978-),男,江蘇無錫人,本科,中學一級,從事高中數(shù)學教學與研究.