謝晶

摘 要：研究了一類高階非線性系統(tǒng)停息時(shí)間可調(diào)的有限時(shí)間穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)問題。利用有限時(shí)間Lyapunov定理的反步構(gòu)造法，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋有限時(shí)間控制器，并實(shí)現(xiàn)停息時(shí)間的適當(dāng)調(diào)整。

關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng) 有限時(shí)間鎮(zhèn)定 反步構(gòu)造法

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）09（c）-0219-02

近十多來年，有限時(shí)間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題受到了較大的關(guān)注，得到了廣泛的研究[1-7]。對(duì)比于Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性，有限時(shí)間穩(wěn)定性具有動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度快、穩(wěn)態(tài)跟蹤精度高、對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾具有強(qiáng)魯棒性等特性。

1 問題的提出

在本文中，考慮一類具有如下形式的高階非線性系統(tǒng)：

（1）

其中，是間距系統(tǒng)的狀態(tài)向量，為系統(tǒng)控制輸入，是連續(xù)函數(shù)，且。為奇數(shù)之比，且。

為了討論方便，定義，，下面給出系統(tǒng)（1）滿足的假設(shè)條件：

假設(shè)1：存在數(shù)，且，使得，其中。

假設(shè)2：取如假設(shè)1所示，系統(tǒng)（1）滿足下式

，； 是已知C1的函數(shù)

2 控制器設(shè)計(jì)

這部分我們利用反步構(gòu)造法[2]，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使得系統(tǒng)（1）有限時(shí)間穩(wěn)定。

步驟1：首先構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，取，由假設(shè)2得：

（3）

定義連續(xù)的虛擬控制，其中是函數(shù)，常數(shù)是待定的設(shè)計(jì)參數(shù)，下文將證明的值對(duì)于調(diào)整停息時(shí)間起關(guān)鍵作用。則

（4）

步驟2（歸納假設(shè)）：

假設(shè)在第k-1步，存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)，使 （5）定義虛擬控制如下：

其中是函數(shù)，且

（6）

下證在第k步中， 不等式（5）和（6）也成立。

令， 其中

則是光滑的，正定的，適定函數(shù)，且滿足。

并且，，有

（7）

由文獻(xiàn)[1]得：

，. （8）

；. （9）

；. （10）

將（8）-（10）代入（7）式，得：

令， .則 （11）

步驟3：當(dāng)時(shí)，令，則

成立.

令實(shí)際反饋控制率為，可知.

3 有限時(shí)間穩(wěn)定性分析

為了證明該系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性，選擇，由知。因此，容易推出：

。

可知系統(tǒng)（1）是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的，并且停息時(shí)間滿足進(jìn)一步，由于是待定參數(shù)，若系統(tǒng)的初始值已知，那么通過選擇，可實(shí)現(xiàn)停息時(shí)間的任意調(diào)整。至此，控制設(shè)計(jì)完畢。

參考文獻(xiàn)

[1] Qian C and Lin W. A continuous feedback approach to global strong stabilization of nonlinear systems[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（7）：1061-1079.

[2] Haimo V T. Finite-time controllers [J]. SIAM Journal on Control and Optimization，1986，24（4）：760-770.

[3] Bhat S P， Bernstein D S. Finite-time stability of continuous autonomous systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization， 2000，38（3）：751-766.

[4] Bhat S P， Bernstein D S. Continuous finite-time stabilization of the translation and rotational double integrators[J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1998，43（5）：678-682.

[5] Hong Y，Wang J，Xu Y. On an output feedback finite-time stabilization problem[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（2）：305-309.

[6] Hong Y，F(xiàn)inite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems[J].Systems and Control Letters，2002，46（4）：231-236.

[7] Jiang Z， Mareels I. Robust nonlinear integral control[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001（46）：1336-1342.endprint