楊清志，孫式運(yùn)

(亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 亳州 236800)

原子核液滴模型結(jié)合能的薄壁近似驗(yàn)證

楊清志，孫式運(yùn)

(亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 亳州 236800)

原子核的液滴模型因諸多優(yōu)點(diǎn)目前被廣泛接受和應(yīng)用，但液滴模型的結(jié)合能及其修正公式主要來(lái)自實(shí)驗(yàn)修正，缺乏明確的理論依據(jù).針對(duì)這種現(xiàn)象，以薄壁近似為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方法，從理論上推導(dǎo)了原子核液滴模型結(jié)合能公式，使其具有明確的物理意義，佐證了原子核液滴模型的正確性.

薄壁近似；液滴模型；結(jié)合能

為了進(jìn)一步研究原子核的組成結(jié)構(gòu)，核物理學(xué)家們提出了多種原子核的結(jié)構(gòu)模型，主要有液滴模型、殼層模型、統(tǒng)計(jì)模型、光學(xué)模型等[1].其中液滴模型因物理意義明確、簡(jiǎn)便適用等優(yōu)點(diǎn)被廣泛接受和應(yīng)用.但是針對(duì)原子核液滴模型結(jié)合能的修正項(xiàng)，目前主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出的經(jīng)驗(yàn)修正，缺少明確的理論依據(jù).據(jù)此，本文以薄壁近似為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)物理的方法，從理論上推導(dǎo)了原子核液滴模型結(jié)合能及其修正項(xiàng)公式，從而使公式具有明確的物理意義，在一定程度上證明了原子核液滴模型的正確性.

1 原子核的液滴模型

把原子核比作一個(gè)液滴，是因?yàn)樵雍伺c液滴有相似的地方，一是核的結(jié)合能E正比于核子數(shù)A，即比結(jié)合能近似為常數(shù)，說(shuō)明核子間相互作用力具有飽和性，與液體分子間作用力具有飽和性相類似；二是和物質(zhì)的密度近似為常數(shù)，說(shuō)明核不可壓縮，這也與液體相似[2].

因?yàn)樵雍酥械馁|(zhì)子是帶正電的，所以應(yīng)將其看作一個(gè)帶電液滴，核結(jié)合能為：

E=EV+ES+EC

(1)

式中EV為體積能，ES為表面能，EC為庫(kù)侖能.下面來(lái)推導(dǎo)核結(jié)合能的表達(dá)式，并利用薄壁近似加以證明.

2 球形核的結(jié)合能

對(duì)于球形核，滿足：

R=r0A1/3

(2)

(3)

式中R為核半徑，r0為核子半徑，ρ0為核子數(shù)密度，A為核子數(shù).由此可得：

(4)

(5)

設(shè)質(zhì)子在半徑為R的核內(nèi)均勻分布，由電動(dòng)力學(xué)可知它在距核中心r′處產(chǎn)生電位：

設(shè)第二個(gè)質(zhì)子也在核內(nèi)均勻分布，這兩個(gè)質(zhì)子相互作用的靜電能為：

(6)

Ed=-adZ2/A

(7)

把(4)、(5)、(6)、(7)式帶入(1)式得：

(8)

上式即為原子核液滴模型的結(jié)合能.但需要指出的是，這只是對(duì)于球形核的主要幾項(xiàng)能量表達(dá)式.一般情況下原子核不是球形，質(zhì)子也不是均勻分布的，還需要進(jìn)行進(jìn)一步修正[4].

3 利用薄壁近似驗(yàn)證結(jié)合能公式

液滴模型認(rèn)為在液滴內(nèi)部有著均勻的密度分布，而在邊界密度突變?yōu)榱?但原子核的密度在邊界不會(huì)突變?yōu)榱?，?yīng)有一層彌散層.設(shè)彌散層厚度遠(yuǎn)小于核半徑，稱為薄壁近似條件，當(dāng)核子數(shù)A?1時(shí)，此條件可以滿足.下面利用薄壁近似來(lái)驗(yàn)證液滴模型結(jié)合能公式.

設(shè)體系基態(tài)核力作用的平均能量密度可表示為f(ρn，ρp，▽?duì)裯，▽?duì)裵)，則體系結(jié)合能為：

(9)

式中ρn、ρp為中子和質(zhì)子能量密度，EC′為質(zhì)子的庫(kù)侖能，▽?duì)裯和▽?duì)裵為其梯度.對(duì)ρn、ρp作薄壁近似，在核內(nèi)部ρn、ρp為常數(shù)，梯度為零，即：

圖1 關(guān)于V及V′積分示意圖

而在邊界層f迅速減為零.在核邊緣取一等面積S，所包圍體積V，此體積之外空間為V′，則(9)式化為：

(10)

如圖1所示，與面積S垂直的距離設(shè)為u，則體積元dτ為：

(11)

式中Ω為立體角，u在S處取正值，S內(nèi)取負(fù)值.可認(rèn)為f、f-f0均為u的函數(shù)，從而(11)式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

將上式忽略高階無(wú)窮小(即后兩項(xiàng))帶入(10)式得：

(12)

從式(12)可以看出，第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)體積能，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)面積能，與(1)式描述相一致.可見(jiàn)，液滴模型忽略了平均曲率項(xiàng)及與A無(wú)關(guān)項(xiàng)，從數(shù)學(xué)角度即忽略高階無(wú)窮小，也是一致的.

再來(lái)討論庫(kù)侖能.質(zhì)子間庫(kù)侖能一般表達(dá)式是：

設(shè)ρl為液滴模型的電荷密度，則上式質(zhì)子間庫(kù)侖能可展開(kāi)為：

式中第一項(xiàng)為帶電液滴的庫(kù)侖能EC，第二項(xiàng)可看作是對(duì)彌散層的修正Ed，第三項(xiàng)為高階無(wú)窮小，同樣可忽略.因此上式可改寫(xiě)為：

EC′=EC+Ed

(13)

再來(lái)看修正項(xiàng)Ed表達(dá)式：

(14)

式中Vl(r′)為液滴模型電荷分布在r′處電位：

對(duì)于球形核，由圖1：

由于ρp(r)-ρl(r)只在u=0附近才有值，將Vl在u=0附近展開(kāi)：

上式忽略高階無(wú)窮小得：

(15)

又由：

(16)

(17)

將(15)、(16)、(17)式帶入(14)式解得：

Ed=-adZ2/A

(18)

(18)式與(7)式關(guān)于庫(kù)侖能彌散層的修正形式上完全一樣.

4 小 結(jié)

以上是對(duì)于原子核液滴模型結(jié)合能的討論并利用薄壁近似加以驗(yàn)證，在一定程度上佐證了液滴模型的正確性.雖然液滴模型并未給出原子核中質(zhì)子與中子究竟是怎么排列與構(gòu)建原子核的，但在解釋核素質(zhì)量分布、β衰變、核裂變等方面都非常成功，因而獲得了推廣和應(yīng)用[5][6].

[1]曹向陽(yáng).原子核中處理對(duì)關(guān)聯(lián)方法的研究[D].合肥:安徽大學(xué),2014.1.

[2]褚圣麟.原子物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1979：328.

[3]胡濟(jì)民，鐘云霄.原子核的宏觀模型[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1998.

[4]盧水旺.原子核模型的研究[J].技術(shù)物理教學(xué)，2003(01)：20-21.

[5]曾謹(jǐn)言，林純鎮(zhèn)，楊福家.原子核質(zhì)量公式的分項(xiàng)檢驗(yàn)[J].高能物理與核物理，1981(02).

[6]張海飛，包小軍，王佳眉,等.推廣的液滴模型及其應(yīng)用[J].原子核物理評(píng)論，2013(03)：241-259.

[責(zé)任編輯：徐明忠]

Thethin-walledapproximationvalidationofdropletmodelofnuclei’bindingenergy

YANG Qingzhi，SUN Shiyun

(Bozhou Vocational and Technical College，Bozhou 236800，China)

The droplet model of nuclei has been widely accepted and applied in many aspects，but the binding energy of the droplet model and its correction formula are mainly from the experimental correction，and lack of clear theoretical basis.In view of this phenomenon，using the methods of mathematical physics based on the thin-walled approximation，derived the formula of the droplet model of nuclei ’ binding energy in theory，it has a clear physical meaning，to prove the correctness of the droplet model of nuclei.

thin-walled approximation；droplet model；binding energy

2017-01-11；

2017-02-09

楊清志(1974—)，男，安徽肥東人，亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，碩士，主要從事大學(xué)物理教學(xué)與研究.

O571.2

A

1672-3600(2017)12-0024-03