范文武

【摘要】 “數(shù)量關(guān)系”是從一類有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問(wèn)題中總結(jié)出來(lái)的，揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以關(guān)系式的形式來(lái)表示這種聯(lián)系?！皵?shù)量關(guān)系”是學(xué)生“解決問(wèn)題”的一個(gè)有效工具，是發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有利載體，學(xué)生在“解決問(wèn)題”中需要“數(shù)量關(guān)系”做理論基礎(chǔ)和思維支撐。讓學(xué)生明白“數(shù)量關(guān)系”，對(duì)培植學(xué)生數(shù)學(xué)觀念十分重要，掌握了“數(shù)量關(guān)系”就會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)量的認(rèn)識(shí)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而為他們走入數(shù)學(xué)王國(guó)奠定基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】 解決問(wèn)題 數(shù)量關(guān)系 關(guān)鍵性

【中圖分類號(hào)】 G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2017）10-019-02

小學(xué)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)量關(guān)系并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程”。

“數(shù)量關(guān)系”是從一類有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問(wèn)題中總結(jié)出來(lái)的，揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以關(guān)系式的形式來(lái)表示這種聯(lián)系?！皵?shù)量關(guān)系”是學(xué)生“解決問(wèn)題”的一個(gè)有效工具，是發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有利載體，學(xué)生在“解決問(wèn)題”中需要“數(shù)量關(guān)系”做理論基礎(chǔ)和思維支撐。讓學(xué)生明白“數(shù)量關(guān)系”，對(duì)培植學(xué)生數(shù)學(xué)觀念十分重要，掌握了“數(shù)量關(guān)系”就會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)量的認(rèn)識(shí)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而為他們走入數(shù)學(xué)王國(guó)奠定基礎(chǔ)。

課改前的“應(yīng)用題”教學(xué)過(guò)于重視“數(shù)量關(guān)系”的分析，忽視了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的過(guò)程，以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力；課改后的“解決問(wèn)題”教學(xué)將重心過(guò)多地放在數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化，以及對(duì)信息的收集、整理上，反而對(duì)“數(shù)量關(guān)系”的形成與分析顯得比較單薄，導(dǎo)致教學(xué)從“生活情境”直接走向“實(shí)際應(yīng)用”，忽視了“數(shù)量關(guān)系”形成這個(gè)重要的數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。

一、案例分析

教學(xué)疑問(wèn)：相對(duì)同一個(gè)練習(xí)里的其它題目，為什么這道題的列式錯(cuò)誤率明顯偏高？

原因分析：心理學(xué)先入為主原則，第一次學(xué)習(xí)建立起來(lái)的“模型”表象，不僅會(huì)給學(xué)生留下深刻的印象，而且還具有導(dǎo)向作用。在一至四年級(jí)的除法“解決問(wèn)題”中，都是被除數(shù)大于除數(shù)。有些老師教學(xué)時(shí)忽視“數(shù)量關(guān)系”的分析，缺少“平均每分鐘付費(fèi)多少錢(qián)？”和“平均一元錢(qián)可以通話多少分鐘？”的對(duì)比練習(xí)，甚至有些老師為了追求成績(jī)，直接告訴學(xué)生：“記住你就用大數(shù)除以小數(shù)！”以至于到了五年級(jí)形成不分析“數(shù)量關(guān)系”憑直覺(jué)列式的壞習(xí)慣。

由此可見(jiàn)，只要求學(xué)生進(jìn)行“列式解答”，而不分析“數(shù)量關(guān)系”，學(xué)生極容易出現(xiàn)僵化的思維定勢(shì)，要么“知其然而不知其所以然”，要么“不知所以然”。這就要求我們?cè)凇敖鉀Q問(wèn)題”時(shí)要先確定題目的“數(shù)量關(guān)系”，然后根據(jù)“數(shù)量關(guān)系”列式解答。

二、“數(shù)量關(guān)系”的類型

在中、低年級(jí)課程里，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域一步計(jì)算的“解決問(wèn)題”的“數(shù)量關(guān)系”都起源于現(xiàn)實(shí)生活，產(chǎn)生于四則運(yùn)算的意義，形成于對(duì)同一類現(xiàn)象的分析、比較、抽象和概括，我們把它們稱為基本“數(shù)量關(guān)系”。兩步計(jì)算的“解決問(wèn)題”的“數(shù)量關(guān)系”又是由幾個(gè)基本“數(shù)量關(guān)系”經(jīng)過(guò)交錯(cuò)組合而形成的，我們把它們稱為復(fù)合“數(shù)量關(guān)系”。我們把這兩類統(tǒng)稱為一般“數(shù)量關(guān)系”。

在中、高年級(jí)課程里，“圖形與幾何”領(lǐng)域一步計(jì)算的“解決問(wèn)題”的“數(shù)量關(guān)系”都基于圖形的計(jì)算公式，我們把它們稱為公式“數(shù)量關(guān)系”。兩步計(jì)算的“解決問(wèn)題”的“數(shù)量關(guān)系”是公式“數(shù)量關(guān)系”和基本“數(shù)量關(guān)系”的組合。

在高年級(jí)課程里，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的列方程解決問(wèn)題，需要根據(jù)題意的敘述抽象概括出有關(guān)“等量關(guān)系”的等式。我們把這兩類統(tǒng)稱為特殊“數(shù)量關(guān)系”。

梳理小學(xué)階段的“解決問(wèn)題”，“數(shù)量關(guān)系”的類型整理如下：

三、“數(shù)量關(guān)系”的建構(gòu)

筆者在解讀“解決問(wèn)題”三步教學(xué)模式時(shí)，“分析與解答”完成兩件事：數(shù)量關(guān)系、列式計(jì)算，以此加強(qiáng)“解決問(wèn)題”教學(xué)時(shí)“數(shù)量關(guān)系”的分析。

在教學(xué)過(guò)程中四則運(yùn)算意義的教學(xué)非常重要，我們要結(jié)合具體情境加強(qiáng)對(duì)四則運(yùn)算意義的理解，通過(guò)積累和歸納，溝通數(shù)學(xué)問(wèn)題與四則運(yùn)算的聯(lián)系，建立基本“數(shù)量關(guān)系”的模型，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（一）基本“數(shù)量關(guān)系”

在教學(xué)時(shí)完成了第一步的“示意圖”后，老師緊接著手指“示意圖”，通過(guò)問(wèn)：要求“一共有幾只兔子？”和“原來(lái)有多少個(gè)口哨？”就是要怎樣？引導(dǎo)學(xué)生明確就是把“左邊的兔子和右邊的兔子合起來(lái)”，和把“領(lǐng)走的口哨和還剩的口哨合起來(lái)”。在滲透加法的意義“把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算”的同時(shí)，建構(gòu)出了題目的“數(shù)量關(guān)系”：“左邊+右邊=一共”和“領(lǐng)走的+剩下的=原來(lái)的”，這里雖然加法“數(shù)量關(guān)系”的模型沒(méi)有抽象出來(lái)，但是學(xué)生在分析和操作的過(guò)程中已經(jīng)形成了一個(gè)表象：“部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”。需要強(qiáng)調(diào)的是，教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生從題目自身的情境出發(fā)去構(gòu)建，而不是概括抽象的數(shù)量關(guān)系式。

（二）復(fù)合“數(shù)量關(guān)系”

教材循序漸進(jìn)地呈現(xiàn)兩步計(jì)算的“解決問(wèn)題”，也為兩步計(jì)算“解決問(wèn)題”的“數(shù)量關(guān)系”建構(gòu)提供了“跳板”。

二（上）32頁(yè)例5要解決兩個(gè)問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是第二個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)。教學(xué)第一步的“示意圖”時(shí)，可以先讓學(xué)生嘗試著自己畫(huà)；教學(xué)第二步時(shí)，可以讓學(xué)生根據(jù)“示意圖”找到題目的“數(shù)量關(guān)系”：“女生人數(shù)-男生比女生少的人數(shù)=男生人數(shù)”和“女生人數(shù)+男生人數(shù)=小組人數(shù)”，并根據(jù)“數(shù)量關(guān)系”列式計(jì)算。為了滲透兩步計(jì)算的解題策略，解答完之后教師可以把第一個(gè)問(wèn)題“男生有多少人？”去掉，只留下“美術(shù)興趣小組一共有多少人？”問(wèn)學(xué)生：如果只求“美術(shù)興趣小組一共有多少人？”你們能直接解答嗎？為什么？追問(wèn)：那想求“美術(shù)興趣小組一共有多少人？”就要先求什么？學(xué)生在抽象變化中明白了兩步“解決問(wèn)題”的關(guān)鍵所在。

三（下）52頁(yè)例3是連乘法“解決問(wèn)題”，教學(xué)第一步的“示意圖”可以老師引領(lǐng)著畫(huà)；教學(xué)第二步時(shí)，可以讓學(xué)生根據(jù)“示意圖”想一想：要想求“一共賣(mài)了多少錢(qián)？”要先求什么？再讓學(xué)生根據(jù)自己的思路確定“數(shù)量關(guān)系”和列式計(jì)算。

在小學(xué)中、高年級(jí)課程里，“解決問(wèn)題”的公式“數(shù)量關(guān)系”出現(xiàn)在“圖形與幾何”領(lǐng)域，有時(shí)是單獨(dú)出現(xiàn)（一步），有時(shí)是和基本“數(shù)量關(guān)系”聯(lián)合出現(xiàn)（兩步）。特殊“數(shù)量關(guān)系”則更多出現(xiàn)在方程“解決問(wèn)題”和分?jǐn)?shù)“解決問(wèn)題”之中。

（三）公式“數(shù)量關(guān)系”

五（上）88頁(yè)例1是一道一步計(jì)算的“解決問(wèn)題”，平行四邊形的面積公式：s=ah其實(shí)就是“數(shù)量關(guān)系”。解題時(shí)一定要先想這道題目的公式“數(shù)量關(guān)系”是什么？再解答。

六（上）68頁(yè)例1是一道三步計(jì)算的“解決問(wèn)題”，用到了兩個(gè)“數(shù)量關(guān)系”，一個(gè)是公式“數(shù)量關(guān)系”：πr2=s，一個(gè)是基本“數(shù)量關(guān)系”：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)（單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)）。教學(xué)時(shí)要先思考“先求什么？再求什么？”，再確定對(duì)應(yīng)的“數(shù)量關(guān)系”，并列式計(jì)算。

（四）等式“數(shù)量關(guān)系”

例2是方程“解決問(wèn)題”，方程“解決問(wèn)題”的解答關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量“數(shù)量關(guān)系”，學(xué)生根據(jù)“示意圖”確定“數(shù)量關(guān)系”，這里的“數(shù)量關(guān)系”不止一個(gè)，教師要引導(dǎo)學(xué)生依照題意選擇最容易理解和最容易列式解答的“數(shù)量關(guān)系”。

例4是分?jǐn)?shù)“解決問(wèn)題”，分?jǐn)?shù)“解決問(wèn)題”的解答關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量“數(shù)量關(guān)系”和判斷單位“1”是否知道？這道題目有多余信息，在確定“數(shù)量關(guān)系”時(shí)，其實(shí)就已經(jīng)排除了多余信息?？梢?jiàn)在“解決問(wèn)題”分析題意中要求學(xué)生先確定題目的“數(shù)量關(guān)系”，然后再根據(jù)“數(shù)量關(guān)系”解答問(wèn)題多么的關(guān)鍵。

“數(shù)量關(guān)系”貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問(wèn)題”的始終，在“解決問(wèn)題”的教學(xué)過(guò)程中，教師要注意加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“數(shù)量關(guān)系”的分析，讓學(xué)生從分析“數(shù)量關(guān)系”的角度來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀.endprint