陳濤， 徐敏， 謝丹， 安效民

西北工業(yè)大學 航天學院， 西安 710072

低速流場中柔性懸臂板的后顫振響應

陳濤， 徐敏*， 謝丹， 安效民

西北工業(yè)大學 航天學院， 西安 710072

建立了一個新的非線性氣動彈性模型,對低速流場中柔性懸臂板的后顫振響應特性進行了分析。建模中考慮了結構幾何非線性、氣動力非線性以及兩者之間的強耦合效應。通過實驗數據對所建立的氣動彈性模型進行了驗證。發(fā)現在低速流場中柔性懸臂板可能會以周期加倍的方式進入混沌運動。結構幾何非線性效應和翼尖渦引起的非定常氣動力效應對柔性懸臂板的結構響應有顯著影響，而尾渦變形引起的非定常氣動力對結構運動的影響較小。還研究了不同耦合算法的差異，給出了小展弦比大柔性結構非線性氣動彈性數值仿真時耦合策略的選擇依據。

低速流場； 柔性懸臂板； 后顫振； 混沌運動； 強耦合

低速流場中懸臂板的氣動彈性行為可以用來解釋現實中的許多現象，如機翼顫振、旗幟飄動和打鼾等。最近， Dunnmon[1]和Doaré[2]等甚至開始研究利用柔性懸壁板的顫振來收集能量用于發(fā)電。因此，低速流場中懸臂板的非線性氣動彈性特性研究是一項很有意義的工作。

關于低速流場中的非線性氣動彈性問題，早期的研究可以追溯到二維情形，Lee等[3]對此做過詳細的綜述，二維問題中極限環(huán)振蕩(LCO)、混沌運動等現象都已通過數值計算或實驗等手段發(fā)現。對于三維問題，非線性效應比二維情況要復雜的多。Tang[4]和Attar[5]等通過耦合非定常渦格法和計算結構動力學的方法建立了一個非線性氣動彈性模型，并研究了切尖三角翼和小展弦比長方形機翼在低速流場中的極限環(huán)振蕩特性。研究發(fā)現這些非線性氣動彈性現象主要受結構幾何非線性效應的主導。Cavallaro等[6]采用有限元和勢流理論方法研究了柔性連接翼的非線性氣動彈性特性。Arena等[7]采用勢流理論方法研究了大柔性機翼的后顫振響應特性，他們發(fā)現流場的非定常效應會對機翼運動產生重要影響。此外，Relvas和Suleman[8]基于結構有限元方法和非定常渦格法也建立了一個非線性氣動彈性模型并研究了柔性懸臂板的極限環(huán)振蕩現象。國內尹維龍和田東奎[9]基于勢流理論方法研究了二維柔性翼型的氣動彈性特性。謝長川等[10]基于勢流理論和結構有限元方法研究了柔性機翼的低速顫振特性，結果發(fā)現結構幾何非線性效應對柔性翼的顫振邊界有重要影響。張健和向錦武[11]基于ONERA失速氣動力模型和非線性梁模型研究了柔性飛機的非線性氣動彈性特性。

以上研究表明，低速流場中三維柔性結構的氣動彈性建模需要考慮3種非線性效應：① 由于結構大變形引起的結構幾何非線性效應；② 由于流場渦等引起的非定常氣動力效應；③ 這兩者的耦合效應。首先，對于結構幾何非線性問題，Gordnier和Visbal[12]研究表明，氣動彈性建模中遇到的主要問題是像von Karmann板理論等方法在求解幾何大變形問題時會產生“鎖住”效應。其次，對于低速氣動彈性問題，目前國際上廣泛采用勢流理論方法進行非定常氣動力建模。雖然有更精確的方法如CFD等，但在低速問題中柔性結構響應周期往往較長，采用CFD方法會消耗大量計算時間。Murua等[13]的研究表明非定常渦格法在計算準確性和計算效率2個方面都能達到較滿意的效果，國內許多學者也采用非定常渦格法研究低速飛行器的非定常氣動力建模問題[14-15]，該方法還常用于氣動力非定常效應很強的撲翼氣動彈性現象研究[16-17]。最后，關于結構幾何非線性與非定常氣動力的耦合效應，Piperno和Farhat[18]的研究表明，氣動彈性建模中采用松耦合策略會產生一定的數值誤差。對于柔性翼這樣非線性特性很強的氣動彈性問題，松耦合策略可能會引起較大的誤差。

如前所述，Attar和Relvas等只研究了柔性壁板的周期性極限環(huán)振蕩現象，雖然他們都考慮了結構和氣動力的非線性效應，但對于耦合策略的影響仍然有待研究。本文的工作是對Attar[5]和Relvas[8]等研究工作的進一步擴展。在本文的氣動彈性建模中不僅詳細考慮了結構幾何非線性效應帶來的“鎖住”問題和非定常氣動力問題，還考慮了結構與氣動力之間的強耦合問題。其中，結構建模采用一種多變量有限元方法，非定常氣動力建模采用非定常渦格法，采用強耦合策略實現結構和氣動力求解器的耦合。本文的結構安排如下，首先給出新的非線性氣動彈性建模過程，然后通過柔性三角翼極限環(huán)振蕩的仿真對所提出的氣動彈性模型進行驗證，最后對柔性懸臂板后顫振響應以及相關的非線性影響因素給出分析結果。

1 結構幾何非線性建模

柔性懸臂板的結構建模采用多變量實體殼單元。這種單元的有限元列式過程簡要介紹如下。

實體殼單元是一種多變量的有限元單元，這種單元的位移場、應變場和應力場是相互獨立的，可以分別假設獨立的插值模式。其有限元列式基于三場FHW變分原理[19]：

(1)

對于上述處理方法，筆者早期研究工作已經證明這是一種解決“鎖住”效應的有效手段[20]。當給定了位移、應變和應力的插值形函數以后，就可以對式(1)進行離散。本文的算法中采用一種無條件穩(wěn)定的能量-動量守恒算法作為時間推進算法，采用Newton-Raphson算法對式(1)進行線性化：

(2)

(3)

2 非定常氣動力建模

與Attar[5]和Relvas[8]等相同，本文采用非定常渦格法進行非定常氣動力建模。該方法假設結構周圍的流動是無旋附著流，并且不考慮黏性效應。對于本文的懸臂板問題，非定常渦格法的非線性特性主要體現在以下3個方面：① 結構表面的渦格跟隨結構變形而非線性地改變形狀和位置。② 機翼尾部拖出的尾渦可以自由變形。③ 隨著結構的變形，可能會有翼尖渦不斷拖出并卷起。在本文的研究中，翼尖渦的拖出方式與尾渦的拖出方式相同。這種翼尖渦模型在三角翼的相關研究中已被證明是一種有效的翼尖渦模擬方法[21]。在后面的數值仿真中會發(fā)現，翼尖渦效應其實對結構的氣動彈性響應有很大影響。但是在Relvas等[8]的研究中并沒有考慮翼尖渦效應，因此，本文是對其研究工作的拓展。下面簡要介紹非定常渦格法的求解流程。

定常渦格法的求解過程主要是為了得到結構表面的渦量強度分布，這些渦量強度用來計算結構表面的氣動力載荷。首先，將結構表面用一系列渦格離散，在每一個渦格中，渦的強度為常量。每一個渦格片段的渦強度由共享該片段的相鄰2個渦格所決定。通過Biot-Savart定律可以求解每一個渦格片段的誘導速度場。隨著時間的推移，結構表面的渦會從結構后緣拖出形成尾渦。剛拖出的尾渦強度與相鄰的結構表面渦強度相同，當結構表面的渦拖出形成尾渦后，渦的強度保持不變。非定常渦格法通過滿足物面無穿透邊界條件計算得到物面的渦強分布：

[V∞+Vbound(r,t)+Vwake(r,t)]·n=0

AΓbound=Rhs

(4)

式中：Vbound和Vwake分別為結構表面和尾渦中的誘導速度；r為位置向量；t為時間；n為結構表面的單位法向量；A為氣動力影響系數矩陣；Γbound為待求解的未知渦量向量；Rhs為殘差向量。當物面渦量求得以后，結構表面的空氣壓強可由Bernoulli方程求解得到：

(5)

式中：Φ為速度勢函數；p為壓強；V∞和p∞分別為遠場處的速度和壓強。

結構上下表面的壓強差表達式為

Δp=pu-pl=ρ∞[Vu·Vu-Vl·Vl+

(6)

式中：Δp為壓強差；pu和pl分別為結構上下表面的壓強；Vu和Vl分別為結構上下表面的速度；ru和rl分別為結構上下表面的位置向量。

由壓強差便可求出對應的氣動力為

Fi=ΔpiAini

(7)

3 非線性氣動彈性建模

基于上述非線性有限元求解方法和非定常氣動力求解方法可以建立柔性壁板的氣動彈性模型。下面簡要介紹建模中所采用的耦合策略和結構/流場求解器之間的數據交換方法。

3.1 耦合策略

眾所周知，傳統(tǒng)的松耦合策略會產生時間滯后效應。這會導致在每一個時間步計算得到的結構/流體交界面的位置不準確。然而，在引言中所提到的所有關于柔性懸臂板的研究都是采用松耦合算法。本文的氣動彈性建模采用耦合精度更高的強耦合策略(見圖1)，在每一個時間步內引入預估-校正方法來提高結構/流體交界面位置的計算精度。圖1中UVLM表示非定常渦格法氣動力求解器，FEM表示有限元求解器。

內迭代的收斂標準給定為相鄰兩次求得的結構位移向量的相對誤差小于1%。此外，在實際的數值算法實現中還應給定最大內迭代步數，以防止出現永遠不收斂的情況，不過在本文的研究中沒有出現這種不收斂的問題。關于上述的強耦合算法需要指出的是當最大內迭代步數給定為1時，強耦合算法將自動退化為松耦合算法。本文強耦合算法的最大內迭代步數給定為10，實際中發(fā)現所有內迭代計算均會在10步以內達到收斂。

3.2 數據交換方法

在非線性氣動彈性建模中，結構和流體求解器之間的數據交換方法不僅影響計算速度，更影響計算精度，特別是當結構變形很大時(例如極限環(huán)振蕩等)，這一問題更加突出。本文采用徑向基函數方法實現氣動網格的變形[20]，這一方法非常適合于大變形過程的動網格插值。氣動力的插值與結構位移場插值不同，它需要保證插值前后力場的等效，即總的力和力矩需要保持守恒。本文采用有限元形狀函數插值方法實現氣動力的插值。

4 數值計算

本節(jié)首先對上述所建立的非線性氣動彈性模型進行驗證，在此基礎上對柔性懸臂板的后顫振特性進行數值仿真并給出分析結果。

4.1 非線性氣動彈性模型的驗證

通過一個三角翼極限環(huán)振蕩(LCO)的數值仿真與實驗結果的對比對所提出的非線性氣動彈性模型進行驗證。該模型是一個45° 的直角三角形平板，厚度為1.6 mm，翼根中部60%的部位受到固支約束。彈性模量為3.3 GPa，密度為1 299 kg/m3[6]。圖2為該三角翼模型的示意圖，V∞為來流速度。

經過網格收斂性分析后，氣動彈性仿真的結構有限元網格共有819個實體殼單元。氣動網格的大小為60×20(弦向×展向)。尾渦的長度取為弦長的4倍。

圖3給出了在1° 迎角時機翼翼尖面外方向極限環(huán)振蕩的最大速度對比結果。計算所得該三角翼的顫振速度為23.0 m/s，實驗值為24.0 m/s。

圖3表明在來流速度小于26.0 m/s時，本文的計算結果比Attar等[5]的計算結果要大，兩者之間的差別隨著流速的增大而逐漸減小。在較高的來流速度時，計算結果與實驗結果非常接近，并且與Attar等[5]采用高精度有限元方法的計算結果也非常接近。在較低的速度范圍時，計算的顫振點和極限環(huán)振蕩結果與Cavallaro等[6]的結果比較接近。需要指出的是在較低的來流速度范圍時，本文計算結果與其他兩個計算結果的差別主要是由于對結構阻尼的不同處理導致的。Attar[5]和Cavallaro[6]等分別采用了不同的結構阻尼形式，由于非線性氣動彈性計算中結構阻尼的影響是一個比較復雜的問題，目前國際上仍沒有定論，因此本文沒有考慮結構阻尼。從計算結果的對比來看，本文所提出的非線性氣動彈性模型能較好地模擬大幅值的極限環(huán)運動。

需要指出的圖3中本文的計算結果采用的是強耦合策略，這主要是為了驗證前文所建立的強耦合策略的正確性。強耦合策略由于帶有內迭代過程而比較耗時，對于這里的三角翼模型，傳統(tǒng)松耦合策略與強耦合策略的計算結果也比較接近，見圖4。

由于本文的氣動彈性建模借鑒并改進了Relvas等[8]的方法，因此有必要將本文方法與其進行對比。文獻[8]中研究的方形懸臂板模型展長(弦長)為0.3 m，板厚度為1 mm，材料為鋁合金，計算初始迎角為0°。圖5給出了采用Nastran線性分析方法得到的顫振V-g圖，圖6給出了本文的計算結果。由圖5可知，Nastran計算的顫振速度為53.7 m/s，由圖6可知，本文的計算結果為57.5 m/s。文獻[8]的計算結果為42.0 m/s，對比可知，本文結果與Nastran的相對誤差為7.08%，文獻[8]的結果與Nastran的相對誤差為21.79%。計算結果表明，本文的方法用于方形懸臂板后顫振響應分析是可行的。

4.2 柔性懸臂板的非線性氣動彈性特性

經過實驗數據驗證以后，將所建立的氣動彈性模型用于柔性懸臂板(圖7)的后顫振響應分析。板的厚度為0.5 mm，材料屬性如下：彈性模量為71 GPa，密度為2 800 kg/m3，泊松比為 0.33。需要說明的是文獻[8]中的方形懸臂板模型偏硬，不適合于較大幅值的極限環(huán)振蕩研究，而本文第2個算例主要是為了研究較大幅度的極限環(huán)振蕩，因此本文研究的懸臂板模型尺寸在文獻[8]的基礎上進行了調整。在數值仿真之前，通過網格收斂性分析確定采用的計算網格。最終使用的結構網格數量為30×30(弦向×展向)，對應的氣動力計算網格數量為40×40。計算過程中尾渦的長度為弦長的4倍。

對柔性懸臂板進行氣動彈性數值仿真，初始迎角為0°。表1給出了本文計算的結構固有頻率和解析解[22](雙向梁函數組合級數逼近法)以及Nastran計算結果的對比。圖8給出了Nastran的顫振分析結果。圖9給出了來流速度分別為38.3、46、54、58、62、66 m/s時前緣翼尖的結構位移響應。

由表1可知，本文采用實體殼單元計算的結構固有頻率與解析解和Nastran的計算結果非常接近，與解析解的最大誤差僅為1.49%(二階)。由圖8可知，Nastran分析的結構顫振邊界為35.7 m/s，顫振發(fā)生的機理為二階扭轉模態(tài)發(fā)散。圖9(a)表明本文基于有限元和渦格法計算的顫振邊界為38.3 m/s，兩者之間的相對誤差為6.79%。

Method1st2nd3rd4th5thAnalysisresult10.53326.04464.56782.32194.088Nastran10.59925.61364.61082.70293.531Currentwork10.60525.65564.84583.11593.946

結構響應曲線圖9表明，當來流速度高于顫振速度時，結構會發(fā)生極限環(huán)振蕩。當來流速度高于54 m/s時，結構響應變得非常復雜。為了更好地分析結構響應隨來流的變化趨勢，圖10給出了相應的相平面圖。

相平面圖表明，當來流速度為46 m/s時，結構響應形式為周期性的極限環(huán)振蕩。當來流速度為54 m/s時，結構響應形式為準周期的極限環(huán)振蕩。當來流速度為58 m/s時，結構響應出現周期加倍現象。當來流速度增大到62 m/s和66 m/s時，結構響應的規(guī)律變得非常復雜。筆者早期關于超聲速流中壁板顫振的研究表明這種運動形式的變化是一種進入混沌運動的路徑[23]。因此，本文首次發(fā)現了低速流場中三維柔性懸臂板很有可能也會以周期加倍的方式進入混沌運動。不過由于本文計算得到的時域響應結果步數有限，尚不能斷定一定發(fā)生了混沌運動，定量的證明將在后續(xù)工作中采用降階的方法進行研究。

從位移響應曲線(圖9)還可以看出，在較大來流速度下，結構首先經歷一個較大幅值的瞬態(tài)響應過程，然后收斂到穩(wěn)態(tài)響應。需要指出的是，本文在氣動彈性建模中沒有考慮結構阻尼。另外，根據國際權威學者Hallissy和Cesnik[24]的研究，勢流理論與高精度的氣動力計算方法(如CFD方法等)相比氣動阻尼偏小，這可能導致結構的瞬態(tài)響應幅值偏大。在Cavallaro等[6]關于柔性連接翼非線性氣動彈性特性的研究中也發(fā)現了類似的瞬態(tài)響應幅值很大的情況，可見這是采用渦格法計算時的一種普遍現象。由于本文主要研究的是結構穩(wěn)態(tài)響應特性，因此有必要考察結構瞬態(tài)響應對穩(wěn)態(tài)響應的影響。

圖11給出了分別采用結構一階模態(tài)和二階模態(tài)作為有限元計算的初始速度擾動時結構位移響應的對比。由圖可知，結構在不同初始擾動激勵下經歷了不同的瞬態(tài)響應過程，但最終的穩(wěn)態(tài)響應非常接近。因此說明結構瞬態(tài)響應不會對穩(wěn)態(tài)響應造成很大影響。

以上研究表明低速流場中柔性懸臂板的后顫振運動存在很強的非線性特性，因此有必要對其中的非線性因素進行深入研究。下面將從結構幾何非線性、氣動力非線性以及耦合方式的影響3個方面進行分析。

圖12給出了懸臂板在來流速度為46 m/s時考慮和不考慮結構幾何非線性效應的計算結果對比，由圖可知在懸臂板的后顫振響應中結構幾何非線性效應的影響非常大。

為了進一步分析結構幾何非線性效應對后顫振響應的影響，表2給出了在穩(wěn)態(tài)響應階段結構最大位移處計算的模態(tài)頻率?？梢钥闯觯S著來流速度的增加，結構在最大位移處的一階模態(tài)頻率變化較小，二階及高階模態(tài)頻率變化較大。在來流速度為54 m/s時，結構極限環(huán)振蕩最大位移達到了板厚度的4倍左右，此時結構二階模態(tài)頻率增大了約10%。圖12中采用線性結構模型的時域響應在t=0.3 s時結構最大位移已達到板厚度的5倍左右，此時結構幾何非線性效應已經非常明顯。

幾何非線性效應主要是由結構內部應力對結構剛度的影響造成的，圖13給出了表2中各來流速度對應的結構Von Mises應力分布。由圖可知，當來流速度從38.3 m/s增大到46 m/s時，結構內部應力最大值由0.06 MPa增大到了2.4 MPa，此時結構剛度產生了較大變化，幾何非線性效應已非常明顯。

除了結構幾何非線性，氣動力非線性可能也會對柔性懸臂板的后顫振響應產生重要影響。下面主要考察尾渦和翼尖渦對非線性氣動力的貢獻。圖14給出了考慮翼尖渦和不考慮翼尖渦的計算結果對比。圖15給出了在來流速度為66 m/s不考慮翼尖渦時結構穩(wěn)態(tài)響應的變形情況。圖16 給出了分別采用自由變形尾渦模型和平面尾渦模型的計算結果。需要指出的是，此時為了單獨考察尾渦變形的影響，數值計算時沒有考慮翼尖渦模型。

當不考慮翼尖渦時(圖14虛線)，結構的穩(wěn)態(tài)響應形式為動態(tài)屈曲。雖然初始迎角為0°，但在瞬態(tài)響應過程中，結構產生了扭轉變形(圖15)，翼面上當地迎角不為0°，所產生的升力使得結構最終在某一平衡位置附近做幅值非常小的動態(tài)屈曲運動，這種現象在筆者早期關于超聲速氣流中懸臂板的混沌運動研究中發(fā)現過(見文獻[23])。但考慮翼尖渦后，結構響應形式完全不同，圖14表明是否考慮翼尖渦會對計算結果產生重要影響。圖16表明是否考慮尾渦的變形對結構響應幾乎沒有影響。由以上分析可知，翼尖渦對非線性氣動力的貢獻較大，而尾渦的自由變形引起的氣動力非線性效應較小。

表2 變形最大位移處結構模態(tài)頻率

Table 2 Structural modal frequencies at position of maximum deformation Hz

Inflowvelocity/(m·s-1)1st2nd3rd4th5th010.60525.65564.84583.11593.94638.310.60625.66364.92983.19294.0564610.62626.98265.33083.54095.0025410.65428.25965.77484.80295.8795811.13441.06678.044108.315119.752

圖17給出了在來流速度為54 m/s和66 m/s時分別采用松耦合、改進的松耦合以及強耦合策略的計算結果對比。這里的改進松耦合策略為Relvas和Suleman[8]在研究相似柔性懸臂板非線性氣動彈性問題時所采用的耦合方式。由圖可知，在較低的來流速度54 m/s時，改進的松耦合方式與強耦合方式的計算結果非常接近，而松耦合算法與強耦合算法的差異隨著時間的推移會逐漸增大。在較高的來流速度66 m/s時，不管是松耦合還是改進的松耦合方式與強耦合方式的差別都是非常大的。

仔細分析還發(fā)現，在數值仿真過程中前述柔性三角翼與柔性懸臂板在最大來流速度時結構的位移響應均達到了板厚度的20倍左右(圖4和圖9(f))，因此，2個模型的幾何非線性效應都是很強的。但在柔性三角翼的研究中，當來流速度較高時，不同的耦合策略計算得到的位移響應差別不大。而對于柔性懸臂板模型，不同的耦合策略計算得到的位移響應相差卻很大。2個模型的主要區(qū)別在于氣動力非線性效應的強弱，對于柔性三角翼，由于不存在翼尖渦引起的非線性氣動力，因此，其氣動力非線性效應要弱于柔性懸臂板。據此可知，在小展弦比大柔性結構的非線性氣動彈性數值仿真時，當只有結構幾何非線性效應占主導地位時，不同耦合策略的計算結果差別可能不是很大。當結構幾何非線性與氣動力非線性效應均較強時松耦合策略和改進的松耦合策略都會引起很大的誤差。

5 結 論

建立一個新的非線性氣動彈性模型對低速流場中柔性懸臂板的后顫振特性進行了數值仿真。結構幾何非線性問題采用多變量有限元方法求解，非定常氣動力采用非定常渦格法求解，實現了結構與氣動力求解器之間的強耦合算法。采用柔性三角翼模型對所提出的氣動彈性模型進行了驗證，結果表明，對于大柔性結構的非線性氣動彈性問題，所提出的算法可以給出較好的仿真結果。

首次發(fā)現了在低速流場中三維柔性懸臂板可能會以位移響應周期加倍的形式進入混沌運動。數值仿真結果表明，在柔性懸臂板的后顫振響應中，結構幾何非線性效應和氣動力非線性效應對結構運動都有很大影響。其中，氣動力非線性效應主要由翼尖渦引起，而尾渦的變形對非線性氣動力的貢獻相對較小。在小展弦比大柔性結構的非線性氣動彈性數值仿真時，當只有結構幾何非線性效應占主導地位時，松耦合策略與強耦合策略的計算結果可能差別不是很大，此時可以采用松耦合策略或改進的松耦合策略。當結構幾何非線性與氣動力非線性效應均較強時必須采用強耦合策略。

需要說明的是本文目前只是初步研究了結構幾何非線性、氣動力非線性和耦合策略對柔性結構非線性氣動彈性仿真的影響。下一步的工作將對其他非線性因素如結構阻尼效應等進行研究。另外，還將開展相關的風洞試驗研究。

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(責任編輯：李明敏)

＊Corresponding author. E-mail: xumin@nwpu.edu.cn

Post flutter response of flexible cantilever plate inlow speed flow field

CHEN Tao, XU Min*, XIE Dan, AN Xiaomin

SchoolofAstronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

A new nonlinear aeroelastic model is established for the analysis of post flutter behavior of the flexible cantilever plate in low speed flows. Geometric nonlinearity, aerodynamic nonlinearity as well as the strong coupling effect between geometric and aerodynamic nonlinearities are considered in the modeling. The aeroelastic model is verified with experimental data. The study shows that the flexible cantilever plate in low speed flows can enter into chaotic movement by means of periodic doubling in structural response. It is found that geometric nonlinearity and the unsteady aerodynamic effect caused by tip vortexes have significant impact on the structural response, while the unsteady aerodynamic force caused by deformation of wake vortexes has slight impact on the structural response. Different coupling strategies are also investigated to provide a reference for the selection of coupling strategy in nonlinear aeroelastic simulations of low-aspect-ratio flexible structures in low speed flows.

low speed flow field; flexible cantilever plate; post flutter; chaotic movement; strong coupling

2016-03-11； Revised：2016-10-10； Accepted：2016-11-14； Published online：2016-11-22 10:56

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161122.1056.002.html

s：National Natural Science Foundation of China (11202165, 11402212)

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0296

2016-03-11； 退修日期：2016-10-10； 錄用日期：2016-11-14； 網絡出版時間：2016-11-22 10:56

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161122.1056.002.html

國家自然科學基金 (11202165, 11402212)

＊通訊作者.E-mail: xumin@nwpu.edu.cn

陳濤， 徐敏， 謝丹， 等． 低速流場中柔性懸臂板的后顫振響應[J]． 航空學報, 2017, 38(3): 120215. CHEN T, XU M, XIE D, et al. Post flutter response of flexible cantilever plate in low speed flow field[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(3): 120215.

V211.47

A

1000-6893(2017)03-120215-14