陳逸龍

摘 要：數(shù)學期望是隨機變量的結果與概率乘積之和，是概率論中重要的數(shù)學特征之一。本文分析了離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的定義與數(shù)學期望的計算方法，并在企業(yè)生產(chǎn)決策問題、營銷問題與賭局問題三個實例中闡釋了數(shù)學期望的實際運用。

關鍵詞：數(shù)學期望；實際運用；概率

中圖分類號：O211.67 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）20-0216-02

數(shù)學期望代表著概念意義下的統(tǒng)計平均值，客觀有效地反映了隨機變量的取值分布。作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的重要概念之一，數(shù)學期望如今已經(jīng)成為經(jīng)濟統(tǒng)計、投資分析等領域的重要參數(shù)，為更深入的判斷與決策提供了準確的理論依據(jù)。本文梳理了數(shù)學期望的基本概念與計算方法，并進一步探討期望在實際生活中的具體運用。

1 數(shù)學期望的基本概念

1.1 離散型與連續(xù)型隨機變量

生活中存在許多自然現(xiàn)象，當某種現(xiàn)象的結果具有不確定性和隨機性，但結果的取值范圍是已知的時候，我們稱該現(xiàn)象的結果為隨機變量。例如，某一時刻經(jīng)過某路口的出租車數(shù)量、未來某一天的平均溫度均是隨機變量，它們都無法預知，但結果的區(qū)間范圍確是可以確定的。

需要注意的是，根據(jù)隨機變量取值的分布規(guī)律，一般把隨機變量分為兩種類型：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量。當變量的取值在一定區(qū)間內(nèi)是有限的，這個變量即是離散型隨機變量；當取值在一定區(qū)間內(nèi)是無限的，這個變量即是連續(xù)型隨機變量。正如上文所列舉的例子，某一時刻經(jīng)過某路口的出租車數(shù)量便是“可數(shù)”的，是離散型的隨機變量；而未來某一天的平均溫度雖然也可以確定取值范圍，但在特定的范圍內(nèi)的取值是“不可數(shù)”的，因而是連續(xù)型的隨機變量。

1.2 數(shù)學期望的計算方法

類似于加權平均的方法，數(shù)學期望即是隨機變量的所有可能取值與其對應的概率乘積之和，概率即是每項結果的“權重”。離散型與連續(xù)型隨機變量的計算方式有所不同。

對于離散型隨機變量X來說：

X的分布律為：

P{X=xk}=pk，k=1，2，3…

若級數(shù)收斂，則隨機變量X的數(shù)學期望E（X）即為。

對于連續(xù)型隨機變量Y來說：

Y的概率密度函數(shù)為：

f（y），y∈（-∞，+∞）

若級數(shù)收斂，則隨機變量Y的數(shù)學期望E（Y）即為。

2 數(shù)學期望在實際生活中的運用

2.1 生產(chǎn)決策問題

企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營過程中，由于無法提前預知其他廠商的生產(chǎn)情況，因而對于產(chǎn)量的抉擇是較為盲目的。當市場供給過多時，產(chǎn)品價格會下降進而侵蝕利潤，同時商品積壓也會增加庫存成本。實際上，企業(yè)的財務管理人員可以通過歷史數(shù)據(jù)、市場信息，利用數(shù)學期望原理進行合理估算，制定出理論上的最佳生產(chǎn)策略。

假設公司有一產(chǎn)品，企業(yè)的生產(chǎn)量制定為Y。市場對于該產(chǎn)品的需求量為X，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，X服從一定的分布，概率密度函數(shù)為f（x）；同時，公司可以通過內(nèi)部財務數(shù)據(jù)，測算出當成功銷售一單位產(chǎn)品，可獲利的金額a，以及當一單位商品滯銷損失的金額b。假設企業(yè)的生產(chǎn)量為Y，毋庸置疑，企業(yè)的目標必然是利潤最大化，利潤函數(shù)為：

利潤的期望值E（R）可以根據(jù)X的概率密度函數(shù)進行計算。

可以看出，E（R）是關于生產(chǎn)量y的函數(shù)，由此將問題轉化為求解max[E（R）]的問題。只需求得ymax使得利潤E（R）的期望值最大，ymax即是最優(yōu)的生產(chǎn)量。

2.2 營銷問題

生活中常見到商家為了促進商品銷售，進行各式各樣的營銷推廣，其中一種常見形式就是“集物換禮”的促銷方式。商家在每件商品中附贈某種特定標簽，集齊全套標簽即可兌換特定的禮品。消費者為了獲取禮品，增加多余消費的情況屢見不鮮。那么，如何判斷該類活動是否值得參與呢？我們利用數(shù)學期望的思想可以解決這個問題。

以某實際促銷方案為例，某種商品售價10元，每件商品中隨機附贈?？ㄒ粡?，一套?？?張。若消費者集齊一套?？?，即可兌換88元現(xiàn)金獎勵。顯然，在本案例中，我們首先需要計算湊齊五張?？ㄋ枰徺I包數(shù)的數(shù)學期望E（X）。

令E（N）為消費者已經(jīng)擁有N-1張不同的卡片后再獲取一張新卡片所需要購買包數(shù)的數(shù)學期望。

E（1）=1；

E（2）=1*0.8+2*0.2*0.8+3*0.22*0.8+4*0.23*0.8+……；

E（3）=1*0.6+2*0.4*0.6+3*0.42*0.6+4*0.43*0.6+……；

E（4）=1*0.4+2*0.6*0.4+3*0.62*0.4+4*0.63*0.4+……；

E（5）=1*0.2+2*0.8*0.2+3*0.82*0.2+4*0.83*0.2+……；

可以看出，上述五個式子均是差比數(shù)列，可以利用差比數(shù)列的求和方法求出具體值。則：

E（X）=E（1）+E（2）+E（3）+E（4）+E（5）

=1+=11.42

對于單個消費者來說，集齊五張?？ê蟮墨@利值的數(shù)學期望為：

E（88-10X）=88-10*E（X）=-26.2

可見，單個消費者集卡兌換的期望收益為負，因此為了禮品盲目購買的行為是不可取的。

2.3 賭局問題

生活中，我們常常會看到有人街邊設置賭局，利用轉盤抽獎、象棋殘局等為道具，吸引路人參與，最終使得多人上當受騙。本文將利用數(shù)學期望的思想，解開街頭賭局背后的秘密。

依然以某實際賭局為例。該賭局采用輪盤抽獎的形式，輪盤上有編碼為1-10的十個區(qū)域與均勻轉動的指針，參與者進行隨機搖動指針，若搖中1-4游戲結束，搖到5可以獲得20元，搖到6-10可以免費再搖一次。游戲每次的參與費為5元，請問游戲設計是否公平？

可以發(fā)現(xiàn)，當繳納一次游戲費后，最終會出現(xiàn)兩種結果：結束游戲（獎金為0）和獲得20元獎金。我們只需求得獲利的期望，即可判斷游戲的公平性。

獲得20元獎金的概率為：

p（x1）=**+……==

沒有獲得獎金的概率為：

p（x2）=1-p（x1）=

則獲取獎金數(shù)額的期望E（X）為：

E（X）=20*p（x1）+0*p（x2）=4

因而對于單個消費者來說，獲利值的數(shù)學期望為：

E（X-5）=E（X）-5=-1

可以看到，獲利值的數(shù)學期望為負數(shù)。對于任何一個賭博游戲來說，若參與者的獲利期望值為負數(shù)，則這個游戲設計對于參與者是“不公平”的。因而該游戲不值得參與。

3 結語

通過上述案例分析可以看到，數(shù)學期望為企業(yè)決策、投資決策乃至生活中的概率問題都提供了客觀理性的評判參數(shù)。當今社會是一個充斥著海量信息與復雜結構的綜合體，這使得未知事件的不確定性進一步增強，而有效地利用概率論中數(shù)學期望的概念，能夠為各項經(jīng)濟工作提供理論指導，避免無謂的損失。

參考文獻

[1]楊四香.數(shù)學期望與經(jīng)濟生活[J].經(jīng)濟研究導刊，2013，（17）：194-195.

[2]王亞玲.數(shù)學期望在投資決策中的應用[J].科技創(chuàng)新導報，2013，（08）：249+251.

[3]謝彬.淺談數(shù)學期望在生活中的應用[J].黑龍江科技信息，2008，（34）：56.endprint