江蘇省如東縣岔河中學 吳 建

解析構造法在高中數(shù)學解題中的使用研究

江蘇省如東縣岔河中學 吳 建

在數(shù)學學習中，恰當?shù)姆椒ㄟx取顯得極為重要。教師在教學時使用不同的解題方法，以幫助學生理清解題思路，尋求更多、更好的切入點。其中，構造法應用較為廣泛，其主要通過題目所給條件或已有結論，通過將“未知量”有效轉(zhuǎn)化成為“已知量”，促使學生形成精準的解題思想，真正加快解題速度。

一、構造方程

在高中數(shù)學的學習中，方程是最為常見的內(nèi)容，在利用構造法進行解題的過程里，方程構造法的出現(xiàn)也是十分頻繁，相信學生對于這一塊的內(nèi)容都不會感到陌生。教師可建議學生基于題型內(nèi)若干數(shù)量關系、結構特質(zhì)，通過假設確立一種等量性公式，利用恒等式的靈活變形，對那些未知量之間所蘊含的聯(lián)系進行詳細的分析，然后根據(jù)方程的相關理論，可以使問題在新的關系下得以轉(zhuǎn)換、獲解，有效提高學生的解題效率。

例1 已知存在x、y、z三個實數(shù)，它們之間的關系表示為x+y+z=5，xy+yz+zx=3，據(jù)此求出z的最大值是多少。

分析：在解決這類問題的時候，老師首先要引導學生注意題目中出現(xiàn)的兩數(shù)和與兩數(shù)積的內(nèi)容，通過這兩個突破點，學生可以利用構造法來進行一元二次方程的構造，并且借助Δ≥0的數(shù)學性質(zhì)來對求值和求最值的問題進行解決。

解：由題中的條件可推知，5-z=x+y，并且xy=3-z（x+y）=3-z·（5-z）=z2-5z+3，

所以，可以確定x、y是關于t的一元二次方程的兩個根：

t2-（5-z）t+z2-5z+3=0存在兩個實根，

可以推出Δ=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，

經(jīng)過方程求解，可以推出（3z-13）（z+1）≤0；

利用方程解析，可以解得：-1≤z≤

并且當x=y=正好滿足題中的關系式，

所以，z的最大值為

解后反思：針對構造方程的內(nèi)容，這里需要強調(diào)的一點是，在解題的過程中一定不能盲目地構造。方程的適用性盡管廣泛，對于求值和求最值都有著十分重要的突破，但在構造前，需盡快進入主題，以使復雜的問題變簡單，學生在對此類題目進行解答的過程中，觀察、思維能力會有所提高。

二、構造函數(shù)

函數(shù)是當前高中數(shù)學學習中的重要知識組成，因其重點和難點的地位，實現(xiàn)這部分內(nèi)容學習的突破能夠確保學生學業(yè)成績處于較好的水平。函數(shù)構造法可在引導學生具備正確解題思想、提高解題能力方面發(fā)揮更大的效應。

例2 已知α、β、λ均為正實數(shù)，并且α＜β，請證明

分析：在解決這類問題的時候，很多學生看到那些復雜的未知項就會感到負面情緒，老師要鼓勵學生采用構造輔助函數(shù)的方法，通過未知項之間的關系對比來進行解決。由于這個關系式中，左邊比右邊多了個未知項λ，所以不妨構造出函數(shù)f（x）=（x≥0），則可知道f（x）=1-并且函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，即當λ＞0的時候，f（x）＞f（0），已知λ為正實數(shù)，所以可以證明的關系式成立。

解后反思：不等式的證明被合理轉(zhuǎn)化成使用導數(shù)來研究函數(shù)單調(diào)性或者求出最值的問題，其實就是借助構造函數(shù)中的構造輔助函數(shù)來完成的，據(jù)此驗證各種關系式。構造這一可導函數(shù)為使用導數(shù)來對不等式加以證明的關鍵所在。解題過程中可緊扣不等式的結構特征變通構造法，以滿足不同類型的解題需求。

三、構造復數(shù)

與實數(shù)對比，復數(shù)可以理解為新的拓展與延伸。學生在解題目時倘若遇到極為棘手的實數(shù)問題，可以換個思路，將其轉(zhuǎn)化為復數(shù)方面的問題，看似數(shù)的結構被復雜化，但是這樣也可以使原本麻煩的問題簡明化，利用構造復數(shù)的方法，可以開拓學生的解題思路，幫助他們更加全面地認識數(shù)的相關概念。

例3 求函數(shù)y=

分析：這種問題的求解若一味堅守實數(shù)思路，則解題會非常艱辛，所以，我們不妨先將作（-x+1）+3i的模，完成這一設定之后，可根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)在較短的時間內(nèi)求出解。

解：設Z1=x+2i，Z2=（-x+1）+3i，Z1+Z2=1+5i，

解后反思：關于復數(shù)的性質(zhì)方面有代數(shù)、三角形、幾何等若干種表達方法，可以在解題時利用好這些內(nèi)容，從新視角出發(fā)，將原本復雜的解題過程變得簡單化，可以巧妙地對代數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容進行聯(lián)系，拓寬學生的解題思路，提高學生的解題效率。當然，在應用中，學生也要大膽地進行創(chuàng)新，不要被傳統(tǒng)的思維模式所限定，利用復數(shù)本身的特點，展開全面的多樣的解題手段。

四、構造向量

向量內(nèi)容在高中數(shù)學解題中的應用較為廣泛，巧妙使用構造向量可有效提高解題的效率，尤其是針對不等式的結構內(nèi)容，譬如xx+y的形式，都可以采用向量的數(shù)量積的坐標方法來進行表示，在適當對原來的不等式適當變形中，找到便于證明不等式的更好解題思路和方法。

例4 已知a,b均大于0，試證明

分析：在進行解答之前，我們首先要對這道題的結構內(nèi)容進行詳細的分析。左邊的內(nèi)容是和的形式，右邊的內(nèi)容則是常數(shù)的形式，根據(jù)向量的定理可知，左邊的內(nèi)容稍加變形，就可以表示出兩個向量的坐標，緊接著，對兩個向量的模進行計算，結合數(shù)量積和模之間的關系，就可以構造出一個不等式，進而來證明結論成立。

解后反思：在這道例題中，通過構造二維向量，并且巧妙地利用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)內(nèi)容來進行最大值的求解，在很大程度上減輕了求最大值的難度。所以，在高中數(shù)學的解題中遇到求最值的問題時，要根據(jù)題干內(nèi)容合理構造向量，體現(xiàn)其解決問題的便捷性，鍛煉自身的數(shù)理思維。

在高中的學習階段，由于課程內(nèi)容繁多，并且學生也不得不面對升學的壓力。高中階段的數(shù)學內(nèi)容，更強調(diào)學生用成熟的解題思維來應對，所以在實際的學習中，有些同學不免會出現(xiàn)消極的學習情況。針對這樣的問題，老師不要過于指責學生本身的問題，應該結合實際的教學內(nèi)容，利用“構造法”幫助學生深入了解相關的數(shù)理概念，尋覓到學習的訣竅，既能使得學生的解題速度和正確率得到優(yōu)化，更可讓學生具備數(shù)學學習的充足信心和動力，為將來的發(fā)展打下良好的基礎。