劉婧芳 曹亞柯 丁華鋒

(1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124; 2.北京工業(yè)大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

二十面體機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)與分析

劉婧芳1,2曹亞柯1,2丁華鋒1,2

(1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124; 2.北京工業(yè)大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

基于具有對(duì)稱性和對(duì)偶性的正十二面體，設(shè)計(jì)了一種以三、四、五邊形為耦合節(jié)點(diǎn)的二十面體單移動(dòng)可展機(jī)構(gòu)。首先，在正十二面體的十個(gè)面上添加一種頂點(diǎn)，通過(guò)增加頂點(diǎn)種類以增加耦合節(jié)點(diǎn)種類，從而得到具有三、四、五邊形結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)構(gòu)件。根據(jù)構(gòu)件連接情況設(shè)計(jì)四類替換構(gòu)件，將替換構(gòu)件用轉(zhuǎn)動(dòng)副(R副)依次連接，構(gòu)造耦合機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)模型。其次，基于螺旋理論應(yīng)用分流法計(jì)算其自由度。最后，進(jìn)行主動(dòng)輸入選取分析及構(gòu)建耦合機(jī)構(gòu)的三維模型，設(shè)置方向相反的驅(qū)動(dòng)條件分別進(jìn)行仿真運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用Matlab得到動(dòng)平臺(tái)和節(jié)點(diǎn)構(gòu)件的位置變化曲線，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果相統(tǒng)一，表明提出的機(jī)構(gòu)具有伸縮運(yùn)動(dòng)特性。

多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)； 二十面體； 自由度； 運(yùn)動(dòng)分析

引言

隨著機(jī)構(gòu)向復(fù)雜化、空間化、多環(huán)化發(fā)展，近年來(lái)多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)日益受到人們的重視。在結(jié)構(gòu)上，與傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)比較而言，多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)之間的連接不是若干個(gè)獨(dú)立支鏈，而是將并聯(lián)機(jī)構(gòu)與串聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行有效的結(jié)合，使其呈網(wǎng)狀耦合結(jié)構(gòu)。在功能上，多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)作為串聯(lián)與并聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合機(jī)型，具有特定的應(yīng)用場(chǎng)合，因此在機(jī)構(gòu)學(xué)中吸引了很多學(xué)者的關(guān)注。李曄卓等[1]用轉(zhuǎn)動(dòng)副將平行四邊形縮放單元和雙三角錐單元連接，設(shè)計(jì)了一種可折疊雙三角錐滾動(dòng)耦合機(jī)構(gòu)。李菊等[2]設(shè)計(jì)了多噴槍協(xié)同式噴涂五軸機(jī)器人。此外，耦合機(jī)構(gòu)常常作為核心機(jī)構(gòu)應(yīng)用于大型工業(yè)機(jī)械裝備[3-6]中，以適應(yīng)其重大承載能力及結(jié)構(gòu)復(fù)雜性。

由于正多面體結(jié)構(gòu)具有緊湊結(jié)構(gòu)和高度對(duì)稱性等優(yōu)點(diǎn)，可為多面體耦合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供基礎(chǔ)。HOBERMAN設(shè)計(jì)的魔術(shù)花球內(nèi)部結(jié)構(gòu)是典型的六面體耦合機(jī)構(gòu)，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副將三角形構(gòu)件、四邊形構(gòu)件巧妙地組合起來(lái)，吸引了研究者應(yīng)用多種方法對(duì)其結(jié)構(gòu)原理和運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析[7-12]。俄羅斯宇航局的AKIRA等[13]研制的四面體單元構(gòu)架式耦合天線，應(yīng)用于“自然號(hào)”、“聯(lián)盟號(hào)”飛船以及“和平號(hào)”空間站上。文獻(xiàn)[14-15]設(shè)計(jì)了幾種結(jié)構(gòu)多面體耦合機(jī)構(gòu)，這些耦合機(jī)構(gòu)通過(guò)改變形狀滿足功能需求，并且已經(jīng)應(yīng)用于航空航天。由此可見(jiàn)這類機(jī)構(gòu)具有良好的伸展和收縮性能，在運(yùn)輸過(guò)程可以收縮到極限位置，工作時(shí)刻又可以伸展到特定位置實(shí)現(xiàn)特有功能。

本文提出一種二十面體單移動(dòng)機(jī)構(gòu)。以正十二面體的高度對(duì)稱性和對(duì)偶性的空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)一種同時(shí)由三、四、五邊形為耦合節(jié)點(diǎn)的二十面體基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)。采用分流法[16-17]求出其自由度，并對(duì)其運(yùn)動(dòng)輸出特性進(jìn)行理論分析。進(jìn)行主動(dòng)輸入選取并構(gòu)建耦合機(jī)構(gòu)三維仿真模型，設(shè)置方向相反的驅(qū)動(dòng)條件，對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)和節(jié)點(diǎn)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行仿真以驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的正確性和合理性。

1 二十面體對(duì)稱耦合機(jī)構(gòu)模型構(gòu)建

正十二面體具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，對(duì)稱性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，且正二十面體和正十二面體互為對(duì)偶，二十面體機(jī)構(gòu)和正十二面體機(jī)構(gòu)在性能上有一定的互補(bǔ)。但二十面體機(jī)構(gòu)更復(fù)雜，其理論上的設(shè)計(jì)難度更大但設(shè)計(jì)的耦合節(jié)點(diǎn)種類更多，在裝配上更難。因此選擇正十二面體構(gòu)件構(gòu)建二十面體耦合機(jī)構(gòu)。如圖1所示，一個(gè)正十二面體由12個(gè)正五邊形、20個(gè)頂點(diǎn)和30條棱邊組成，滿足多面體歐拉定理[18]。

圖1 正十二面體空間結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of regular dodecahedron

1.1 建立耦合框架結(jié)構(gòu)

依照正十二面體空間結(jié)構(gòu)，建立相應(yīng)的耦合結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)框架，再通過(guò)確定框架中的頂點(diǎn)和棱邊類型確定各構(gòu)件類型，從而得到二十面體對(duì)稱耦合機(jī)構(gòu)。

(1)標(biāo)記組成框架的所有幾何要素

考慮到整個(gè)耦合結(jié)構(gòu)框架的對(duì)稱性和穩(wěn)定性，將相對(duì)平行的2個(gè)正五邊形面A1A2A3A4A5和B1B2B3B4B5簡(jiǎn)化，分別等效為匯聚了5條棱邊頂點(diǎn)，記為A′和B′，定義為等效頂點(diǎn)。與等效頂點(diǎn)A′直接連接的頂點(diǎn)分別記為C′、D′、E′、F′、G′，與等效頂點(diǎn)B′直接連接的頂點(diǎn)分別記為C、D、E、F、G，與正五邊形面A1A2A3A4A5直接連接的5個(gè)面的中心分別記為C′1、D′1、E′1、F′1、G′1，與正五邊形面B1B2B3B4B5直接連接的5個(gè)面的中心分別記為C1、D1、E1、F1、G1，如圖2a所示。

圖2 耦合結(jié)構(gòu)框架Fig.2 Frameworks of coupled structure

(2)選擇定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)構(gòu)件

因?yàn)轳詈峡蚣芙Y(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，選擇互相平行的且匯聚情況相同等效頂點(diǎn)A′和B′為耦合機(jī)構(gòu)模型的定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)構(gòu)件。

(3)確定耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件及支鏈組成

為了方便區(qū)分頂點(diǎn)種類，如圖2a所示，定義由正五邊形(除正五邊形A1A2A3A4A5和B1B2B3B4B5)棱邊相交的點(diǎn)為一類頂點(diǎn)，用黑色四邊形標(biāo)示；正五邊形(除了正五邊形A1A2A3A4A5和B1B2B3B4B5)的中心點(diǎn)為二類頂點(diǎn)，用黑色三角形標(biāo)示。如圖2b所示，將同一個(gè)正五邊形上的一個(gè)二類頂點(diǎn)分別與3個(gè)一類頂點(diǎn)連接，這樣在相鄰正五邊形上的一類頂點(diǎn)之間的公共棱邊替換成以其為對(duì)角線的四邊形的4條棱邊，這4條棱邊都是一類頂點(diǎn)和二類頂點(diǎn)之間的連線。一類頂點(diǎn)匯聚了4條棱邊，二類頂點(diǎn)匯聚了3條棱邊，每2個(gè)相鄰正五邊形面上的一類頂點(diǎn)和二類頂點(diǎn)的連線交錯(cuò)相接且呈空間對(duì)稱分布，由于每2個(gè)相鄰正五邊形因?yàn)橛幸粋€(gè)公共四邊形，使各自所在的運(yùn)動(dòng)鏈間存在耦合關(guān)系，所以將一類頂點(diǎn)定義為一類耦合頂點(diǎn)，均作為一類耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件，將二類頂點(diǎn)定義為二類耦合頂點(diǎn)，均作為二類耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件。如圖2b所示，將能夠確定連接在定平臺(tái)A′和動(dòng)平臺(tái)B′之間的由20個(gè)耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件通過(guò)連接構(gòu)件順次連接的各條耦合支鏈。

因此，構(gòu)建耦合框架結(jié)構(gòu)如圖2b所示，含有20個(gè)面、40條棱邊、22個(gè)頂點(diǎn)，仍然滿足歐拉公式[18]。

1.2 設(shè)計(jì)幾何元素的替代構(gòu)件

基于構(gòu)建的耦合框架結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的幾何連接關(guān)系，采用n邊形構(gòu)件替代n條棱邊匯聚的頂點(diǎn)的原則，設(shè)計(jì)4種替代構(gòu)件。

為了滿足構(gòu)件之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的靈活性和簡(jiǎn)單性，本文耦合機(jī)構(gòu)模型的運(yùn)動(dòng)副的構(gòu)型設(shè)計(jì)只考慮R副。設(shè)計(jì)的4種類型的替代構(gòu)件分別為：

(1)等效頂點(diǎn)A′和B′處連接了5條對(duì)稱且相等的棱邊，將其設(shè)計(jì)成圖3a所示的正五邊形替代構(gòu)件。

(2)一類耦合頂點(diǎn)連接了4條棱邊，圖3b所示的四邊形構(gòu)件代替。

(3)二類耦合頂點(diǎn)連接了3條棱邊，圖3c所示的三角形構(gòu)件代替。

(4)耦合框架中的每條棱邊用圖3d所示的一個(gè)二副桿替代，其兩端R副軸線相互平行。

圖3 替換構(gòu)件Fig.3 Replaced components

1.3 構(gòu)建耦合機(jī)構(gòu)模型

依照耦合結(jié)構(gòu)框架的空間布局，所有的替代構(gòu)件用R副順次連接，構(gòu)建耦合機(jī)構(gòu)模型。

按照?qǐng)D2b所示耦合框架結(jié)構(gòu)，選擇2個(gè)正五邊形，10個(gè)正三角形，10個(gè)四邊形，40個(gè)連桿替代構(gòu)件依次連接，得到圖4所示的二十面體耦合機(jī)構(gòu)模型。其中，構(gòu)件M1和D1分別替代等效頂點(diǎn)A′和B′，構(gòu)件Li(i=1,2,…,10)分別替代一類頂點(diǎn)，構(gòu)件Sj(j=1,2,…,10)分別替代二類頂點(diǎn)。然后再將構(gòu)件Li(i=1,2,…,10)和構(gòu)件Sj(j=1,2,…,10)，動(dòng)平臺(tái)及定平臺(tái)通過(guò)40條相同的棱邊連接，從而形成由三、四、五邊形組成的二十面體單移動(dòng)多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)(圖4)。

圖4 二十面體耦合機(jī)構(gòu)Fig.4 Icosahedron coupling mechanism

如圖4所示，一個(gè)二十面體單移動(dòng)多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)包含20個(gè)面，40條棱邊，22個(gè)頂點(diǎn)，滿足多面體歐拉定理[19]。

2 二十面體機(jī)構(gòu)的解耦及自由度分析

運(yùn)用以螺旋理論為基礎(chǔ)的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)分流標(biāo)記法[16-17]對(duì)上述構(gòu)建的耦合機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)模型的自由度數(shù)目及動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)進(jìn)行分析，從而驗(yàn)證構(gòu)建耦合機(jī)構(gòu)的正確性。

2.1 獨(dú)立支鏈的判別

選擇M1為定平臺(tái),D1為動(dòng)平臺(tái)。按照運(yùn)動(dòng)分流法，由于動(dòng)平臺(tái)D1上連接5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R6、R7、R8、R9和R10，因此將該多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)拆分為5個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈。R6、R7、R8、R9和R10所在的分支分別記為F1、F2、F3、F4和F5，且耦合結(jié)構(gòu)C1、C2、C3、C4和C5連接在定平臺(tái)上，5個(gè)分支C1-L6-R63-R6、C2-L7-R73-R7、C3-L8-R83-R8、C4-L9-R93-R9和C5-L10-R103-R10作用在動(dòng)平臺(tái)上，這5個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)件均有2個(gè)運(yùn)動(dòng)副指向定平臺(tái)，且有3個(gè)運(yùn)動(dòng)副指向離動(dòng)平臺(tái)最近的節(jié)點(diǎn)構(gòu)件，因此相對(duì)于定平臺(tái)連接的各節(jié)點(diǎn)構(gòu)件又拆分為3個(gè)獨(dú)立鏈Ck1、Ck2和Ck3(k=1,2,…,5)。如圖4所示，將機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)傳輸路線用箭頭在構(gòu)建的耦合結(jié)構(gòu)中標(biāo)出。

因?yàn)樵诔跏紩r(shí)刻拆分的5個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈關(guān)于中心點(diǎn)O分布對(duì)稱，故分析自由度時(shí)分析其中的1條獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈即可，這里分析圖4中第一分支法F1：C1-L6-R63-R6,該分支的結(jié)構(gòu)組成如圖5所示。

圖5 分支F1Fig.5 Branch F1

2.2獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈分支C1的分析

圖6 分支F1結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 Block diagram of branch F1

初始時(shí)刻，各個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)分支是里面含有一個(gè)人字形構(gòu)件的“六邊形”，所以每個(gè)分支本身有各自的對(duì)稱平面。耦合結(jié)構(gòu)C1可以等效為圖6所示中的3條并聯(lián)支鏈，分別標(biāo)記為C11、C12和C13。每個(gè)并聯(lián)支鏈都包含一個(gè)八桿單環(huán)結(jié)構(gòu)，分別標(biāo)記為H1、H2、H3(圖5)。

對(duì)于分支C12，為了方便建立坐標(biāo)系，對(duì)圖5中分支C1的鏡像視圖進(jìn)行分析，如圖7所示。

圖7 分支和的約束分析Fig.7 Constraint analysis of branch and

(1)

(2)

(3)

求反螺旋，得到分支C12的約束螺旋系為

(4)

對(duì)于耦合節(jié)點(diǎn)L6,在坐標(biāo)系O7X7Y7Z7中約束螺旋系為

(5)

L6的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(6)

分支C1-R6的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(7)

反螺旋為

(8)

2.3 整個(gè)機(jī)構(gòu)的分析

由對(duì)稱性可知，C1-R6、C2-R7、C3-R8、C4-R9、C5-R105個(gè)獨(dú)立支鏈也分別施加給動(dòng)平臺(tái)2個(gè)約束力偶，每個(gè)支鏈的其中一個(gè)約束力偶與定平臺(tái)M1所在平面垂直且平行于5個(gè)分支對(duì)稱平面的交線，另一個(gè)約束力偶與定平臺(tái)M1所在平面平行且通過(guò)5個(gè)獨(dú)立支鏈對(duì)稱平面的交線。在定平臺(tái)M1上投影為點(diǎn)O的直線L為5個(gè)支鏈的對(duì)稱平面在初始時(shí)刻的交線。使Z軸與L重合，XOY位于M1所在平面，則建立如圖8所示的OXYZ坐標(biāo)系，使其為整個(gè)耦合機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系下，5個(gè)分支作用于動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系為

(9)

求二次反螺旋為

(10)

由式(10)可以看出，動(dòng)平臺(tái)D1在初始位置只有Z軸方向的移動(dòng)自由度，即動(dòng)平臺(tái)D1在圖4所示初始位形下運(yùn)動(dòng)為沿Z方向的上下移動(dòng)。由于式(9)中有線性相關(guān)的約束螺旋系，因此新的耦合機(jī)構(gòu)具有0個(gè)公共約束，5個(gè)冗余約束。為了進(jìn)一步說(shuō)明所求自由度的正確性，下文用修正的G-K公式法[7]計(jì)算新機(jī)構(gòu)在初始位置該機(jī)構(gòu)的自由度。

2.4 等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出件的自由度分析

圖9 等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.9 Schematic diagram of equivalent parallel mechanism

(11)

式中M——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)D1自由度

λ——公共約束數(shù)

n——定平臺(tái)構(gòu)件數(shù)目

g——運(yùn)動(dòng)副數(shù)目

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

ν——并聯(lián)冗余約束

ξ——新耦合機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度

由于新機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各運(yùn)動(dòng)副之間的幾何特性保持不變，因此圖8所示坐標(biāo)系OXYZ永遠(yuǎn)成立，依照2.1～2.3節(jié)的拆分原則可得到求解各分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系也保持不變。那么，新機(jī)構(gòu)依然可以用圖9所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效代替，所以機(jī)構(gòu)的自由度具有全周性，自由度為1。

3 主動(dòng)輸入選取

機(jī)構(gòu)所選取的輸入數(shù)目和機(jī)構(gòu)自由度數(shù)應(yīng)相等，這樣機(jī)構(gòu)才能實(shí)現(xiàn)確定的運(yùn)動(dòng)。由于本機(jī)構(gòu)只有一個(gè)沿Z豎直方向的移動(dòng)，因此添加一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，一般選擇機(jī)架副。由于本機(jī)構(gòu)具有對(duì)稱性，因此在其中一個(gè)分支添加驅(qū)動(dòng)即可。因此選擇在R1、R2、R3、R4和R5的任何一個(gè)機(jī)架副添加驅(qū)動(dòng)作為輸入副即可，本文選擇R2作為主動(dòng)副。根據(jù)趙鐵石等[19]提出的如何判斷添加原動(dòng)件的方法，對(duì)機(jī)構(gòu)的輸入選取進(jìn)行分析。

基本思想為：將所選作為輸入的所有主動(dòng)副鎖定后，計(jì)算所有分支對(duì)于動(dòng)平臺(tái)發(fā)生的總的約束反螺旋系

(12)

i——6與機(jī)構(gòu)自由度的差值

即如果剛化后機(jī)構(gòu)總動(dòng)平臺(tái)上的約束反螺旋系的秩$r等于6，即dim($r)=6，則所選擇的輸入是合理的；否則為不合理，重新選擇。

根據(jù)上述方法，對(duì)于本文提出的二十面體耦合機(jī)構(gòu)，在初始位型下，獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈分支C1分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為式(1)。在這里剛化轉(zhuǎn)動(dòng)副R2，即在分支中去掉轉(zhuǎn)動(dòng)副及在式(1)去掉螺旋 。則約束螺旋系式(2)又增加了一個(gè)沿X1方向的約束力,且產(chǎn)生對(duì)原點(diǎn)的距為沿Y1軸方向的力偶分量可得。

(13)

此時(shí)H12變成了7桿機(jī)構(gòu)，原來(lái)節(jié)點(diǎn)構(gòu)件S2受過(guò)O7點(diǎn)相對(duì)于定平臺(tái)2個(gè)等效廣義運(yùn)動(dòng)副，分別為位于對(duì)稱平面內(nèi)的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)由于轉(zhuǎn)動(dòng)副R2剛化，則位于對(duì)稱平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)被約束掉。則在圖7坐標(biāo)系O7X7Y7Z7中得H12運(yùn)動(dòng)螺旋為

(14)

分支H12-R26-R61的運(yùn)動(dòng)螺旋系在O7X7Y7Z7中為

(15)

求反螺旋，可得到分支C12的約束螺旋系為

(16)

同理由于環(huán)H11、H13都含有與H12中R2沒(méi)有剛化前類似的8桿機(jī)構(gòu)，且分支C11、C13關(guān)于對(duì)稱平面對(duì)稱。用相同的分析方法得到對(duì)于耦合節(jié)點(diǎn)L6，在坐標(biāo)系O7X7Y7Z7中，其約束螺旋系為

(17)

對(duì)其求反螺旋得到L6的運(yùn)動(dòng)螺旋為在X7O7Y7面內(nèi)的移動(dòng)，從而得到分支C1-R6的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(18)

反螺旋為

(19)

在該坐標(biāo)系下，5個(gè)分支作用于動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系為

(20)

綜上所述，二十面體耦合機(jī)構(gòu)在R2處添加轉(zhuǎn)動(dòng)副作為主動(dòng)輸入是合理的。

4 運(yùn)動(dòng)特性分析

應(yīng)用ProE構(gòu)建耦合機(jī)構(gòu)的三維實(shí)體模型，利用Matlab得到動(dòng)平臺(tái)和節(jié)點(diǎn)構(gòu)件的位置變化曲線，在仿真上來(lái)進(jìn)一步分析二十面體耦合機(jī)構(gòu)的自由度及運(yùn)動(dòng)特性。

4.1 耦合機(jī)構(gòu)仿真模型建立

耦合機(jī)構(gòu)的整體坐標(biāo)系OXYZ如圖8所示，Z軸垂直定平臺(tái)M1所在平面豎直向上，X軸與R4軸線平行，Y軸由右手螺旋定則決定，構(gòu)建耦合機(jī)構(gòu)的三維模型如圖10所示。以動(dòng)平臺(tái)M1、10個(gè)四邊形節(jié)點(diǎn)構(gòu)件及10個(gè)三角形節(jié)點(diǎn)構(gòu)件的幾何中心為位移測(cè)量點(diǎn)。對(duì)各構(gòu)件上位移測(cè)量點(diǎn)的位移進(jìn)行仿真，在給定的驅(qū)動(dòng)條件下，將仿真結(jié)果利用Matlab繪制成時(shí)間-位移變化曲線。設(shè)置2種驅(qū)動(dòng)條件分別進(jìn)行仿真從而體現(xiàn)耦合機(jī)構(gòu)的伸縮特性。

圖10 驅(qū)動(dòng)1設(shè)置Fig.10 Setting of drive 1

4.2 構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特性仿真分析(驅(qū)動(dòng)1)

圖11 伺服電機(jī)的具體設(shè)置Fig.11 Specific settings of servo motor

在R2軸線中點(diǎn)位置設(shè)置轉(zhuǎn)動(dòng)馬達(dá)1，驅(qū)動(dòng)馬達(dá)1的旋轉(zhuǎn)方向用箭頭標(biāo)注如圖10所示，由右手螺旋法則大拇指沿R2軸線方向指出紙面，馬達(dá)1旋轉(zhuǎn)方向四指握拳方向。馬達(dá)選用伺服電機(jī)，設(shè)置如圖11所示。圖11a表示轉(zhuǎn)動(dòng)軸為R1軸線，圖11b表示所加伺服電機(jī)的速度為常數(shù)2(°)/s，圖11c表示所加伺服電機(jī)的終止時(shí)間為10 s，幀頻為2.5，最小間隔為0.4 s。

在仿真時(shí)間內(nèi)，動(dòng)平臺(tái)D1沿坐標(biāo)系OXYZ3個(gè)坐標(biāo)軸的位移變化曲線如圖12所示。由圖12可看出，仿真過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)沿X軸(下三角符號(hào))和Y軸(實(shí)線)的數(shù)值始終為0，即D1在這2個(gè)坐標(biāo)軸沒(méi)有位移變化，沿Z軸(空心圓)有緩慢的上升趨勢(shì)，這表明動(dòng)平臺(tái)只有一個(gè)沿Z軸方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，符合第2節(jié)耦合機(jī)構(gòu)的自由度理論分析結(jié)果，說(shuō)明了設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)合理性。

為了分析兩類耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特性，將不同的四邊形節(jié)點(diǎn)構(gòu)件Li(i=1,2,…,10)在同一時(shí)刻沿各坐標(biāo)軸的位移變化進(jìn)行仿真，并繪制相應(yīng)的時(shí)間-位移變化曲線，見(jiàn)圖13；同樣的，三角形節(jié)點(diǎn)構(gòu)件Sj(j=1,2,…,10)在同一時(shí)刻沿各坐標(biāo)軸的位移變化曲線見(jiàn)圖14。

由圖13對(duì)比可知，在馬達(dá)1驅(qū)動(dòng)條件下，Li(i=1,2,…,5)在Z軸的數(shù)值相同，即始終處于同一高度。Li(i=6,7,…,10)在Z軸的數(shù)值相同，即始終處于同一高度。其中，耦合構(gòu)件L4、L6在X軸方向位移始終為0，僅在平面YOZ內(nèi)運(yùn)動(dòng)，沿Y軸數(shù)值變化相同但運(yùn)動(dòng)方向相反。沿Y軸運(yùn)動(dòng)方向相反但數(shù)值變化相同，表明平面YOZ為L(zhǎng)5和L10的運(yùn)動(dòng)對(duì)稱平面。構(gòu)件L1和L9，L2和L8，L3和L7也有與L5和L10相同的位移變化趨勢(shì)，所以平面YOZ也是構(gòu)件L1和L9，L2和L8，L3和L7的運(yùn)動(dòng)對(duì)稱平面。綜合各坐標(biāo)軸的仿真結(jié)果可知，Li(i=1,2,…,5)和Li(i=6,7,…,10)沿Z軸數(shù)值增大的過(guò)程中，沿X軸和Y軸的數(shù)值均有向0靠近的趨勢(shì)，即10個(gè)四邊形節(jié)點(diǎn)構(gòu)件在上升過(guò)程中，伴隨有向機(jī)構(gòu)對(duì)稱中心O匯聚的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。

圖14 節(jié)點(diǎn)構(gòu)件Si沿各坐標(biāo)軸位移變化曲線Fig.14 Changing curves of displacement of joint Si along axes

由圖14可見(jiàn)，在馬達(dá)1驅(qū)動(dòng)條件下，Sj(j=1,3,…,9)在Z軸的數(shù)值相同，即始終處于同一高度。Sj(j=2,4,…,10)在Z軸的數(shù)值相同，即始終處于同一高度。其中構(gòu)件S2、S7在X軸方向位移始終為0，僅在平面YOZ內(nèi)運(yùn)動(dòng)，沿Y軸數(shù)值變化相同但運(yùn)動(dòng)方向相反。構(gòu)件S9、S10在X軸方向位移相同,沿Y軸數(shù)值變化相同但運(yùn)動(dòng)方向相反，表明平面YOZ為S9和S10的運(yùn)動(dòng)對(duì)稱平面。構(gòu)件S1和S8，S3和S6，S4和S5也有與S9和S10相同的位移變化趨勢(shì)，所以平面YOZ也是構(gòu)件S1和S8，S3和S6，S4和S5的運(yùn)動(dòng)對(duì)稱平面。

綜合各坐標(biāo)軸的仿真結(jié)果，Sj(j=1,2,…,10)沿Z軸數(shù)值增大的過(guò)程中，沿X軸和Y軸的數(shù)值均有向0靠近的趨勢(shì)，即10個(gè)三角形節(jié)點(diǎn)構(gòu)件在上升過(guò)程中，伴隨有向機(jī)構(gòu)對(duì)稱中心O匯聚的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。

為了體現(xiàn)網(wǎng)狀連接的節(jié)點(diǎn)構(gòu)件Li(i=1,2,…,10)和Sj(j=1,2,…,10)在仿真過(guò)程中的位移變化關(guān)系，將這20個(gè)耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件與動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果繪制在一個(gè)三維空間坐標(biāo)中，見(jiàn)圖15。

圖15 動(dòng)平臺(tái)及節(jié)點(diǎn)構(gòu)件位移變化曲線圖Fig.15 Changing curves of displacement of moving platform and joints

由圖15可以看出，在馬達(dá)1的驅(qū)動(dòng)下，動(dòng)平臺(tái)D1(+號(hào))沿Z軸向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，伴隨有耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件Li(i=1,2,…,10)和Sj(j=1,2,…,10) (圓點(diǎn))上升并向機(jī)構(gòu)中心O匯聚的運(yùn)動(dòng)特性。

4.3 對(duì)稱耦合機(jī)構(gòu)可展性

為了對(duì)該耦合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行仿真，設(shè)置一個(gè)與圖10中馬達(dá)1僅轉(zhuǎn)向相反的驅(qū)動(dòng)條件，以觀察耦合機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的收縮運(yùn)動(dòng)特性。由仿真結(jié)果可以看出，二十面體耦合機(jī)構(gòu)是具有一個(gè)移動(dòng)自由度的對(duì)稱可展耦合機(jī)構(gòu)。運(yùn)動(dòng)時(shí),耦合點(diǎn)構(gòu)件Li(i=1,2,…,10)和Sj(j=1,2,…,10)在特定的驅(qū)動(dòng)條件下可以實(shí)現(xiàn)往復(fù)伸展、收縮運(yùn)動(dòng)。圖16是機(jī)構(gòu)在不同仿真時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位形變化，其中圖16a、圖16b和圖16c為馬達(dá)1驅(qū)動(dòng)仿真條件下的位形變形，圖16a、圖16d和圖16e為馬達(dá)2驅(qū)動(dòng)仿真條件下的位形變形。

圖16 可展機(jī)構(gòu)位形伸縮變化示意圖Fig.16 Schematic diagrams of deployable mechanism

5 結(jié)論

(1)針對(duì)正十二面體的對(duì)稱性，首先增加頂點(diǎn)種類從而增加耦合節(jié)點(diǎn)的種類,設(shè)計(jì)了一種由三、四、五邊形組成的對(duì)稱耦合機(jī)構(gòu)。針對(duì)正十二面體的對(duì)偶性再構(gòu)建相應(yīng)的耦合基礎(chǔ)框架，設(shè)計(jì)節(jié)點(diǎn)替代構(gòu)件，設(shè)計(jì)連桿連接耦合節(jié)點(diǎn)得到一種二十面體可展耦合機(jī)構(gòu)。

(2)為了判斷整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，用分流法進(jìn)行自由度分析，結(jié)果表明構(gòu)建的耦合機(jī)構(gòu)具有1個(gè)移動(dòng)自由度。構(gòu)建機(jī)構(gòu)的三維實(shí)體模型并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)特性分析，結(jié)果表明了機(jī)構(gòu)的相對(duì)耦合節(jié)點(diǎn)可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)特性相反的運(yùn)動(dòng)特性，相鄰耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)件可實(shí)現(xiàn)同收縮的運(yùn)動(dòng)特性。

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ConfigurationDesignandAnalysisofNovelIcosahedronMechanism

LIU Jingfang1,2CAO Yake1,2DING Huafeng1,2

(1.CollegeofMechanicalEngineeringandAppliedElectronicsTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China2.BeijingKeyLaboratoryofAdvancedManufacturingTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China)

It has remained a great challenge to develop coupled mechanisms in kinematics.Polyhedrons with various appearance and symmetric configuration attract more and more attentions and provide possible basic modes for the design of coupled mechanisms.Based on the symmetry and duality of the regular dodecahedron, a movable icosahedron mechanism with single mobility was designed, where the coupling nodes were composed of triangles, quadrilaterals and pentagons.Firstly, in order to design the coupling nodes with triangles, quadrilaterals and pentagons, each vertex was added to the ten faces of the icosahedron and the node variety was increased by adding types of vertexes.The common edge of the original regular pentagon was replaced by four edges.Four edges made up a quadrilateral.The common edge of the original regular pentagon became a diagonal of the quadrilateral.Then four kinds of replacement components were designed according to the connection of each component, and the replacement components sequentially were connected by rotational joints to construct a basic model of the coupled mechanism.Secondly, mobility of the mechanism model was calculated by the shunting method based on screw theory.The coupled mechanism was divided into five identical branches according to the shunting tags.As long as the constraints of one branch were determined based on screw theory, the constraints of all branches to the moving platform was obtained.Then mobility of the coupled mechanism was obtained, which showed the coupled mechanism had a translational freedom.Finally, active input selection was analyzed and the three-dimensional model of the coupled mechanism was established.Two opposite driving conditions were set up in the simulation, and position curves of the moving platform and the node components were got by Matlab.The simulation results were consistent with theoretical results.It further showed that the proposed mechanism had the characteristics of stretching motion.

coupled mechanism； icosahedron； freedom； motion analysis

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.048

TH112

A

1000-1298(2017)10-0370-10

2017-05-16

2017-07-31

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51475015)

劉婧芳(1985—)，女，副教授，博士，主要從事機(jī)構(gòu)學(xué)理論和方法設(shè)計(jì)研究，E-mail: jfliu@bjut.edu.cn