安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校(236652)

王偉民

探究物體在凸透鏡一側(cè)運動時所成像的運動規(guī)律

安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校(236652)

王偉民

對凸透鏡而言，當發(fā)光體到透鏡的距離(物距)大于透鏡焦距時，在透鏡另一側(cè)便可以得到一個倒立的實像。那么，當物體在透鏡的一側(cè)運動時，它所成實像的運動速度是怎樣變化的？實像的運動速度跟像距、物距以及物體的運動速度有定量關(guān)系嗎？

以點光源為研究對象，分別就點光源的運動方向垂直于主軸和平行于主軸兩種特殊情形進行定量分析。

1 點光源的運動方向垂直于主軸時，其所成實像的運動規(guī)律

如圖1所示，在凸透鏡左側(cè)一倍焦距之外有一點光源，從A點沿垂直于主軸的方向運動到B點，與此同時，在凸透鏡的另一側(cè)其所成的實像由C點運動到D點。

圖1 點光源垂直于主軸方向運動

由幾何知識易知：△OAB∽△OCD

當物體運動的距離AB趨近于0時，像的運動距離CD趨近于0。此時，物體和實像運動的平均速度“演變”為各自的瞬時速度。

這就是說，不論物體運動速度是否均勻，當點光源沿垂直于凸透鏡主軸方向運動時，其實像運動的瞬時速度與物體運動的瞬時速度之比，都等于此刻相距與物距之比(即此時凸透鏡成像的放大倍數(shù))。

2 點光源的運動方向平行于主軸時，其所成實像的運動規(guī)律

設(shè)凸透鏡的焦距為f，物體從離開凸透鏡s的位置(s>2f)以速度v勻速靠近凸透鏡的同側(cè)焦點，設(shè)經(jīng)過時間t后，所得實像到凸透鏡的距離為y。由凸透鏡成像公式可得：

此時，像距與物距之比為：

(1)

對像距y與時間t間的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)，便可確定像的運動速度：

所以，實像運動速度與物體運動速度的比為：

(2)

比較(1)、(2)可以得出下面的結(jié)論：凸透鏡成實像并且物體在主軸上由較遠距離勻速向焦點運動時，在某時刻實像的運動速度與物體運動速度之比，等于此刻像距與物距比的平方。若設(shè)像距與物距之比為k(即凸透鏡成實像時的放大倍數(shù))，則有：

v像=k2v

(3)

如果物體是作變速運動，把物體在主軸上的運動軌跡分成n等份，當n趨近于無窮大時，在每一個小的長度元中，物體可視為勻速直線運動。所以，物體在每一個長度元中運動時，(3)式成立，而這時的速度已演變?yōu)槲矬w在這一長度元中的速度——這一時刻的瞬時速度。所以，關(guān)系式v像=k2v對于變速運動的物體同樣適用。即凸透鏡成實像時，某一時刻實像的運動速度等于物體運動速度與凸透鏡成像放大倍數(shù)平方的乘積。

3 凸透鏡實像運動規(guī)律的應(yīng)用

例題:如圖2所示的電路中，電源電壓U=36 V不變，定值電阻R0=9 Ω，甲乙2只規(guī)格相同的滑動變阻器并聯(lián)后連入電路。已知兩變阻器線圈電阻均為180 Ω，線圈長度都為18 cm。剛開始閉合開關(guān)S后，變阻器乙的滑片P2位于距離線圈左端點C點1 cm處的位置時，電流表讀數(shù)為2 A。接下來，滑動變阻器甲的滑片P1，讓P1以0.2 cm/s的速度勻速向左滑動，為使電流表的示數(shù)保持不變，變阻器乙的滑片P2必須向右滑動：

圖2 電路圖

(1)求變阻器甲滑片P1開始的位置。

(2)分別求開始計時31.5 s和39 s后，變阻器乙滑片P2的滑動速度？

分析：由題目條件可知，在兩滑動變阻器連入電路中的阻值發(fā)生改變時，電路的總電阻應(yīng)保持不變。而總電阻恒定時，兩并聯(lián)電阻組成電路各支路電阻的變化關(guān)系(包括變化大小和變化速度的關(guān)系)跟凸透鏡成實像實時像距與物距間的變化關(guān)系相同，將上面對凸透鏡成像且物體沿平行于主軸方向運動速度與物體運動速度間的關(guān)系結(jié)論進行推廣，顯然有下面的結(jié)論(可以進行理論證明，過程跟探究凸透鏡成像時像的運動速度與物體運動速度間關(guān)系的推理過程一樣，這里不再重復(fù)推導(dǎo))：要使R1、R2組成并聯(lián)電路的總電阻保持不變，必須滿足“在每一時刻滑片P1與P2滑動速度之比，等于兩支路電阻比的平方”這一條件。

解析：(1)由歐姆定律可知，開始時，整個電路的總電阻為：

R1、R2并聯(lián)的總電阻為R=R總-R0=9 Ω

當變阻器乙的滑片P2位于距離線圈左端點C點1 cm處的位置時，變阻器乙連入電路中的阻值為R2=10 Ω。根據(jù)并聯(lián)電路總電阻公式可求得滑動變阻器甲連入電路中的電阻值為R1=90 Ω。所以，變阻器甲的滑片P1距離A端的長度為：

l1=90 Ω÷(180Ω÷18 cm)=9 cm

該點恰好位于滑動變阻器甲線圈的正中間位置。

(2)t1=31.5 s后，變阻器甲連入電路中的電阻為R1=90 Ω-31.5 s×0.2 cm/s×10 Ω/cm=27 Ω，根據(jù)并聯(lián)電路總電阻公式求得變阻器乙連入電路中的電阻為R2=13.5 Ω。此時，變阻器乙滑片P2的運動速度為：

在時間t2=39 s后，變阻器甲連入電路中的電阻為R1=90 Ω-39 s×0.2 cm/s×10 Ω/cm=12 Ω，變阻器乙連入電路中的電阻為R2=36 Ω。此時，變阻器乙滑片P2的滑動速度為：

實驗教學(xué)

2017-07-16