朱學旺，張思箭，劉青林，農(nóng)紹寧

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平面問題中主應變測量不確定度評定

朱學旺，張思箭，劉青林，農(nóng)紹寧

（中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999）

實現(xiàn)平面場中主應變的測量不確定度評定。首先建立主應變的是非線性傳播測量模型，然后應用基于二階TAYLOR級數(shù)展開理論的不確定度傳播方法（LPU方法），開展平面問題中主應變的測量不確定度評定。針對二種常用的應變花，建立以主應變?yōu)檩敵隽?、以應變花之三個方向測量應變?yōu)檩斎肓康臏y量模型，并將二階LPU方法應用于該模型。設計數(shù)值計算算例，以說明主應變不確定度的評定過程和方法，并與一階LPU結果進行了比較。當應變花三個方向的應變測量結果相近時，文中方法與一階LPU方法獲得的主應變的不確定度評定結果存在明顯的差異，主應變不確定度評定結果在數(shù)值上都大于應變花測量的不確定度。當應變花三個方向的應變測量結果相差較大時，文中方法和一階LPU方法獲得的主應變測量不確定度評定結果相差不大。特定情況下，主應變的測量不確定度值遠大于應變花測量的不確定度，且與一階LPU方法的評定結果有顯著差異，二者可相差一倍。

主應變；測量不確定度；二階LPU方法；應變花；應變狀態(tài)理論

當主應變作為實驗應變測量的結果提供時，應該同時提供其測量不確定度，這是GUM（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement[1]），GJB 3756—1999[2]和 JJF 1059—1999[3]的通用要求。一般情況下，主應變并不能直接測量獲得，除非主應變方向事先已知。工程中，應變花常用于結構表面任意一點的主應變測量，此時，利用應變花直接測量獲得該點在三個方向的應變，應用應變狀態(tài)空間理論計算得出該點的應變狀態(tài)，進而得出該點的主應變。因此，主應變的測量不確定度評定是不確定度的傳播分析的一種應用，其測量模型為主應變的計算公式，測量模型的輸入是應變花三個方向的應變測量量。

針對應變的直接測量，其不確定度評定已有很多研究結論公布。簡單地，應變測量的不確定度影響因素源自應變片的不確定度[4—5]和應變測量系統(tǒng)的不確定度[6—7]。按照標準推薦的方法，不難合成這兩個因素的影響而獲得應變花每個方向應變測量的不確定度。

盡管主應變測量模型會依據(jù)應變花的不同結構型式而具有不同的數(shù)學公式，但是他們具有一個共同特點：主應變的計算公式都是關于應變花各個方向應變測量量的非線性函數(shù)。這樣，主應變的不確定度傳遞分析便不能直接應用GUM，GJB 3756和 JJF 1059等推薦的LPU方法，因為該方法僅適用于測量模型為線性或近似線性的導出測量量的不確定度傳遞分析。

對于非線性測量模型的導出測量量的不確定度分析，一般可以采用以下三種方法之一，即解析法、MC方法和高階LPU方法[8]。文中嘗試應用二階LPU方法對平面問題中的主應變測量不確定度進行評定分析，主應變由應變花測量獲得的應變直接測量量導出，而應變直接測量量的不確定度作為已知量處理。首先回顧了平面問題的主應變測量模型，給出了兩種不同型式的應變花測量時的主應變計算公式。其次，介紹了基于二級Taylor級數(shù)展開理論的LPU方法（簡稱二階LPU方法），并將其應用與直角型應變花和三角形應變花測量平面應變時的主應變分析模型。然后設計數(shù)值計算算例，說明文中方法的應用并比較主應變和應變花直接測量應變的不確定度評定結果以及一階LPU方法的不確定度評定結果。

1 平面問題中主應變測量模型

根據(jù)應變狀態(tài)理論，無論是平面應力狀態(tài)還是平面應變狀態(tài)，結構外表面上任意一點的任意方向的正應變（線應變）都可以采用規(guī)定坐標系下該點的應變狀態(tài)參數(shù)ε，ε，γ來描述[9-10]：

應用三角公式，式（1）還可以寫成：

從式（1）或（2）不難發(fā)現(xiàn)，同一點在不同方向上的正應變是不同的，其中存在著正應變最大（最小）的方向，這個最大（最小）的正應變稱為主應變，該方向為主方向。

主應變的大小為方程（3）的兩個解：

將式（1）或（2）代入方程（3），不難獲得主應變的值：

對于直角應變花（三個方向分別為0，45，90，對應的應變分別計為ε1，ε2，ε3），其主應變?yōu)椋?/p>

對于三角形應變花（三個方向分別為0，60，120，對應的應變分別計為ε1，ε2，ε3）, 其主應變大小為：

式（5）、（6）為平面問題中主應變的測量模型（只列出了兩種應變花型式，當采用其他型式的應變花時，可寫出相應的測量模型）。顯而易見，這些測量模型是非線性的，當進行不確定度評定時，基于一階Taylor級數(shù)展開的LPU方法是不適用的，以下引入二階LPU方法。

2 二階LPU方法[11—12]

設導出測量量是個直接測量量（1，2，…，X）作用于測量模型的輸出，如圖1所示，則測量模型（測量函數(shù)）可以表述為：

如果用測量函數(shù)的二階Taylor級數(shù)展開來近似表示導出測量量，則有：

式中：x是直接測量量X的期望值（均值）。

若個直接測量量（1，2，…，X）均為統(tǒng)計獨立，則對式（2）兩邊進行期望值計算，得到：

式中：(x)為直接測量量X的合成標準不確定度。

將式（8）和（9）的兩邊分別相減后取平方，然后計算相應的數(shù)學期望，有：

式中：γ和κ分別為直接測量量X的偏度和峭度，分別用三階和四階中心矩定義：

式（9）—（11）組成了基于LPU方法的不確定度傳遞的二階計算公式。當測量模型為線性關系或近似線性關系時，式（9）和式（10）的右邊僅保留有第一項非0，其余各項均為0，這樣便簡化為一階LPU計算公式。

如果作為測量模型輸入的直接測量量統(tǒng)計特性已知或可以假設，那么式（11）描述的偏度和峭度便容易求得，這樣便可以由公式（10）評定導出測量量的合成標準不確定度。對于式（5）和式（6）描述的測量模型，其直接測量量均為應變花各個方向的應變測量量，假設其滿足正態(tài)分布是合理的一種工程考慮，這樣其偏度和峭度為0和3[13]，于是式（10）簡化為：

3 二階LPU方法在主應變測量不確定度評定的應用

將式（5）、（6）描述的主應變測量模型分別應用于式（10）或式（12），便可以獲得主應變的不確定度評定結果。

直角應變花測量時的主應變不確定度為：

三角形應變花的結果為：

式中：

4 算例及分析

算例1，應變花三個方向應變測量均值相當，三個方向應變測量的測量不確定度相同，其主應變的均值和不確定度評定結果列入表1、表2中。其中，表1為直角應變花的主應變評定結果，表2 為三角形應變花的相關結果。為了比較，表1、表2中同時也列出了一階LPU方法相應的評定結果。

算例2，當應變花三個方向的應變測量均值相差較大時，三個方向應變測量的測量不確定度相同，對應的主應變的不確定度評定結果列入表3和表4中。其中，表3為直角應變花的主應變評定結果，表4為三角形應變花的相關結果。同樣的，表3、表4中同時也列出了一階LPU方法相應的評定結果。

觀察表1—4的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，當應變花三個方向的應變測量結果相近時，文中方法與一階LPU方法獲得的主應變的不確定度評定結果存在明顯的差異，兩種應變花測量情況下都有這種現(xiàn)象。這表明，在特定情況時，一階LPU方法不適合于主應變的不確定度評定（盡管文中討論不足以說明二階LPU方法獲得的不確定度一定是精確的，但是其比一階LPU方法具有更高的精度是不容置疑的）。另外，主應變的不確定度與應變花各測量方向應變的不確定度之間則沒有明顯大小關系。當應變花三個方向的應變測量結果相近時，主應變不確定度評定結果在數(shù)值上都大于應變花測量的不確定度。

表1 應變測量值相近時主應變不確定度（με）評定（直角應變花）

表2 應變測量值相近時主應變不確定度（με）評定（三角形應變花）

表3 應變測量值相差時主應變不確定度（με）評定（直角應變花）

表4應變測量值相差時主應變不確定度（με）評定（三角形應變花）

當應變花三個方向的應變測量結果相差較大時，文中方法和一階LPU方法獲得的主應變測量不確定度評定結果相差不大，這時，可以采用一階LPU方法來評定其主應變測量不確定度。簡單對式（13）、（14）中的系數(shù)進行量級分析，不難發(fā)現(xiàn)：當應變花三個方向的應變分別相差一個量級時，系數(shù)都是一個小量，因此其主應變測量不確定度的二階LPU評定結果與一階結果相差不大。

5 結語

文中采用基于Taylor級數(shù)二階展開理論的LPU方法，實現(xiàn)了平面問題中主應變的標準不確定度評定。幾種典型測量數(shù)據(jù)的算例表明，當應變花的三個方向測量值相近時，二階LPU方法與一階LPU方法所得出的主應變不確定度評定結果有明顯的差異，而當應變花三個方向測量值相差較大時，兩種方法獲得的主應變不確定度評定結果相差不大。

文中討論是在假設應變花三個方向的應變測量量均為正態(tài)變量時得出的，這種假設一般情況下是能夠滿足的。當需要考慮應變測量量的其他概率分布影響時，依然能夠采用類似分析來討論主應變的不確定度評定，只是這時需要根據(jù)式（11）先求出其偏度與峭度參數(shù)。

文中討論沒有涉及主應變的擴展不確定度，是因為即使測量量是正態(tài)分布變量，但是其主應變的概率分布依然是復雜的，因此其擴展因子的確定并不容易。

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[3] JJF 1059—1999, 測量不確定度的評定及表示[S].

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Estimation of Measurement Uncertainty for Principal Strains in Plane Field

ZHU Xue-wang, ZHANG Si-jian, LIU Qing-lin, NONG Shao-ning

(Institute of Systems Engineering, CAEP, Mianyang 621999, China)

To assess the measurement uncertainties of principal strain in plane field.A measurement model of nonlinearity transmission was established for the principle strain. The Law of Propagation of Uncertainty (LPU) approach based on second order Taylor expansion was applied to analyze the measurement uncertainty of the principle strain. The measurement models were established for two typical strain rosettes with the principle strain as the output, the values measured in the three directions of the strain rosettes as the input and the LPU was applied to the models. Numerical examples were designed to illuminate the procedures and methods of assessment and to compare with the first order LPU estimations.When strain rosette strain measurements were close in three directions, uncertainty estimation results of the principal strain obtained through this method and the method of first-order LPU had obvious difference. That of the principal strain was greater than that of the strain rosette in numerical value. When strain rosette strain measurements differ in three directions, the results obtained through this method and the first-order LPU method has little difference.In special circumstances, the uncertainty value of principal strain is higher than those in any direction of rosette and different from the first order evaluations by one time.

principal strain; measurement of uncertainty; second order LPU approach; strain rosette; strain state theory

10.7643/ issn.1672-9242.2017.10.018

TJ01；O211.9

A

1672-9242(2017)10-0092-06

2017-05-01；

2017-05-21

朱學旺（1963—），男，湖北鄂州人，研究員，主要研究方向為復雜結構動力學及振動環(huán)境試驗。