段啟凡，楊 桐

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基于二分遞推奇異值分解的故障測(cè)距研究

段啟凡，楊 桐

提出利用二分遞推奇異值分解與改進(jìn)的D型測(cè)距算法相結(jié)合的故障測(cè)距算法，該算法能有效消除諧波的干擾和減弱負(fù)荷變化對(duì)測(cè)距結(jié)果的影響。仿真結(jié)果表明，基于二者相結(jié)合的故障測(cè)距方法可以準(zhǔn)確計(jì)算故障點(diǎn)位置。

故障測(cè)距；二分遞推SVD；D型測(cè)距算法

0 引言

隨著電氣化鐵路運(yùn)營(yíng)里程和速度的不斷提高，電氣化鐵路安全運(yùn)營(yíng)成為一項(xiàng)重要課題。AT供電方式可將列車和變電所之間的電壓提高1倍，在同樣牽引功率下網(wǎng)上電流減小，電壓損失和功率損失相應(yīng)減少[1]，因而在我國(guó)高速鐵路中得到了廣泛應(yīng)用。由于該方式的線路結(jié)構(gòu)復(fù)雜，故障排查相對(duì)困難，因而研究AT供電方式的故障測(cè)距方法，對(duì)于故障的查找和排除具有重要意義[2]。

由數(shù)學(xué)分析可知，故障電壓行波中的奇異點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)初始行波到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)的時(shí)間，進(jìn)而可以得到故障距離。行波法中的小波變換模極大值可以表征信號(hào)的奇異點(diǎn)，故行波法成為故障測(cè)距的重要算法[3]。從理論出發(fā)，需要針對(duì)不同故障狀態(tài)選擇合適的Daubechies小波族的某個(gè)特定小波作為分析工具，且小波一旦確定下來(lái)，其可檢測(cè)的奇異性指數(shù)也因此固定[4]。但是在實(shí)際操作過程中，專家學(xué)者僅憑經(jīng)驗(yàn)選擇某個(gè)特定小波，則無(wú)法避免故障測(cè)距產(chǎn)生的誤差。SVD奇異值分解理論在奇異點(diǎn)提取和故障診斷領(lǐng)域得到廣泛研究[5，6]。文獻(xiàn)[7]將SVD和小波變換相結(jié)合對(duì)機(jī)電信號(hào)進(jìn)行正交變換，提取代表運(yùn)動(dòng)的最優(yōu)特征完成對(duì)指定對(duì)象的控制。文獻(xiàn)[8]通過SVD對(duì)隱形空間中模式進(jìn)行線性獨(dú)立性分析，計(jì)算神經(jīng)元個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)[9]利用小波各尺度結(jié)果的平方值形成一個(gè)能量分布矩陣，通過識(shí)別奇異值分解后的第一個(gè)奇異值所對(duì)應(yīng)的分量，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)頻率的識(shí)別。

行波法中最常用的A型和D型算法的測(cè)距精度會(huì)受到運(yùn)營(yíng)線路長(zhǎng)度和實(shí)際波速的影響[10]。為減小波速和線路長(zhǎng)度對(duì)故障測(cè)距結(jié)果的影響，專家學(xué)者做了相應(yīng)研究。文獻(xiàn)[11]利用2種模量的時(shí)間延遲區(qū)分故障點(diǎn)反射波與對(duì)端母線反射波，但該方法易受到地上分量速度變化的影響；文獻(xiàn)[12]利用故障點(diǎn)和對(duì)端母線反射波極性的不同，區(qū)分二者到達(dá)檢測(cè)端的時(shí)間，但在一定條件下，母線反射波的極性會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別故障點(diǎn)反射波。

本文將奇異值分解與D型測(cè)距算法相結(jié)合研究AT供電方式的故障測(cè)距方法。首先對(duì)鋼軌與保護(hù)線進(jìn)行等效處理，得到牽引網(wǎng)阻抗計(jì)算式，以此搭建等效模型；然后對(duì)模型進(jìn)行仿真，得到行波信號(hào)；將其進(jìn)行凱倫貝爾變換后完成二分遞推SVD，利用各分量的振蕩位置確定故障初始行波和故障點(diǎn)反射波分別到達(dá)檢測(cè)端的時(shí)間；再代入改進(jìn)的D型算法中，準(zhǔn)確計(jì)算出故障發(fā)生的位置。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的將二分遞推奇異值與改進(jìn)的D型測(cè)距算法相結(jié)合的故障測(cè)距方法具有良好的實(shí)用性和準(zhǔn)確性。

1 AT供電方式的線路阻抗推導(dǎo)

AT供電方式中，保護(hù)線是為降低鋼軌電位、提供故障電流通路而專門鋪設(shè)的[13]。由于鋼軌與保護(hù)線相連，二者具有相同的外電壓，因此在計(jì)算阻抗時(shí)可以將二者等效成一條導(dǎo)線，減少了未知量的個(gè)數(shù)，為之后的電路建模提供方便。依據(jù)Carson理論可知[13]，任何導(dǎo)線-地的單位自阻抗為

導(dǎo)線-地回路間的單位互阻抗為

式中，為單位長(zhǎng)自電阻；g為等效大地回線的入地深度；為導(dǎo)線的等效半徑；為平行導(dǎo)線的中心距離（由幾何均距法算出）。

根據(jù)帶保護(hù)線AT供電系統(tǒng)的實(shí)際情況，參照式（1）、式（2），可以推導(dǎo)出接觸線與等效導(dǎo)線的互阻抗為

式中，rpt為接觸線與等效導(dǎo)線的中心距離。

接觸線、鋼軌的互阻抗和接觸線、保護(hù)線的互阻抗分別為

式中，tr1、tr2、tp分別為接觸線與平行的鋼軌1、鋼軌2、保護(hù)線的中心距離。

最終可得到等效導(dǎo)線與接觸線的互阻抗為

同理，等效導(dǎo)線與正饋線的互阻抗為

式中，rf為鋼軌和正饋線互阻抗，fp為正饋線和保護(hù)線互阻抗。

接觸線、等效導(dǎo)線和正饋線的自阻抗分別為

式中，tf為接觸線和正饋線互阻抗，dr、f、t分別為鋼軌、正饋線和接觸線自阻抗。

根據(jù)牽引網(wǎng)線路阻抗的推導(dǎo)，以實(shí)際牽引網(wǎng)為例[11]，得出線路阻抗的模型如圖1所示。

圖1 線路阻抗模型

在考慮自阻抗和互阻抗情況下，求得5×5線路阻抗矩陣，見式（9）。該矩陣的對(duì)角線元素分別為上行接觸線、上行正饋線、下行接觸線、下行正饋線和鋼軌保護(hù)線的自阻抗；其他位置元素均為互阻抗，第1行和第1列元素分別代表上行接觸線、上行正饋線、下行接觸線、下行正饋線和等效線路。

電容系數(shù)矩陣為

2 二分遞推SVD原理的故障測(cè)距與應(yīng)用

2.1 二分遞推SVD分解原理

SVD是指：實(shí)矩陣∈m×n存在正交矩陣= [1,2,…m]∈m×n和= [1,2,…n]∈n×m，令

=T（11）

成立[14]。其中矩陣= [diag(1,1,…q),]的元素是矩陣中所有的奇異值，其中為零矩陣，= min[,]。正交矩陣和分別為矩陣的左、右奇異向量，也分別是矢量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基底。

圖2 二分遞推SVD分解過程

這種利用行波信號(hào)的迭代過程實(shí)現(xiàn)信號(hào)的逐次剝離、逐次分析，與小波多分辨率分解相似。該方法得到的分解結(jié)果位于不同層次的矢量空間中，且下一層空間的基矢量是根據(jù)上一層的近似基矢量獲得，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)逐次剝離的多層次分解。整個(gè)分解過程不會(huì)產(chǎn)生2個(gè)以上的信息分量，計(jì)算量較小，計(jì)算速度較快。

2.2 二分遞推SVD在故障測(cè)距數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

采用二分遞推SVD算法，可以通過各分量檢測(cè)出不同奇異性指數(shù)的奇異點(diǎn)，而小波變換算法在小波基確定后就不具備該功能[15]。

由二分遞推SVD分解算法可以計(jì)算得到故障行波的多層分量信號(hào)，由振蕩位置的坐標(biāo)換算出行波和反射波到達(dá)檢測(cè)端的時(shí)間，其基本步驟如下：

（1）通過仿真，獲得一維故障行波信號(hào)= [(1),(2),…()]，凱倫貝爾變換解耦線路中的電磁耦合關(guān)系，得到0模、模和模分量[16]。利用穩(wěn)定的模分量構(gòu)造一個(gè)行數(shù)為2的Hankel矩陣：

式中，∈2×(N-1)。

將式（12）通過二分遞推SVD后可以轉(zhuǎn)化為2個(gè)列向量的表示形式，即

式中，u∈2×1；v∈(N-1)×1，= 1,2。

（3）對(duì)進(jìn)行了第次分解的矩陣的首行和除去第一行元素的最后一列構(gòu)造向量。

由式（15）可知，故障信號(hào)被剝離成一系列分量信號(hào)[18]。在今后的故障分析中，要研究某個(gè)特定分量就相當(dāng)于在行波信號(hào)中用減法進(jìn)行簡(jiǎn)單提取，這種減法運(yùn)算可以保證提取的分量在行波信號(hào)中的相位不會(huì)發(fā)生變化[19]。

（4）利用分量中的振蕩信息對(duì)故障行波和反射波到達(dá)檢測(cè)端的時(shí)間進(jìn)行準(zhǔn)確的提取。

3 D型測(cè)距算法的改進(jìn)與綜合應(yīng)用

3.1 D型測(cè)距算法

D型測(cè)距算法需要波速和行波波頭到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)的時(shí)間，求解后者必不可少的已知條件是待測(cè)線路的實(shí)際長(zhǎng)度。很多學(xué)者為了簡(jiǎn)化計(jì)算將波速設(shè)定為光速，將線路實(shí)際長(zhǎng)度設(shè)為水平檔距[20]，這些假設(shè)都會(huì)影響實(shí)際故障測(cè)距的精度。

波速大小取決于土壤電阻率的分布情況和架空線路參數(shù)。由于溫度影響，線路的不均勻電暈分布會(huì)發(fā)生變化進(jìn)而影響分布電容和分布電感的大小，最終導(dǎo)致傳播速度的變化。輸電線路的實(shí)際線長(zhǎng)與環(huán)境溫度和線路負(fù)荷狀態(tài)有關(guān)。文獻(xiàn)[21]以一條100 km的線路為例，在綜合因素作用下線長(zhǎng)的誤差可以達(dá)到1 km。所以有必要對(duì)現(xiàn)有的D型測(cè)距法進(jìn)行改進(jìn)，推導(dǎo)出一種不受波速和線路長(zhǎng)度影響的測(cè)距算法。

3.2 改進(jìn)的D型測(cè)距算法

D型測(cè)距原理是利用線路產(chǎn)生的初始行波波頭到達(dá)線路檢測(cè)點(diǎn)的時(shí)間之差來(lái)計(jì)算故障點(diǎn)距離。如圖3所示，初始行波波頭在故障兩側(cè)線路傳播所用時(shí)間分別為1和2，由圖3可以得到故障距離為[22]

式中，為行波傳播速度，為線路全長(zhǎng)。

圖3 行波折反射示意圖

針對(duì)現(xiàn)有D型測(cè)距算法中的缺陷對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，得到一種避免波速和線路長(zhǎng)度變化對(duì)故障測(cè)距結(jié)果產(chǎn)生干擾的改進(jìn)算法。

D型測(cè)距算法的行波折反射模型如圖3所示，設(shè)線路總長(zhǎng)為，波阻抗為0，過渡電阻為f，行波的傳播速度為，故障發(fā)生點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)右側(cè)距離為圖中1、3和2、4分別是故障行波從點(diǎn)第一次和第二次到達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)所用的時(shí)間。在發(fā)生遠(yuǎn)端故障時(shí)，對(duì)端線路的反射波在點(diǎn)發(fā)生折射會(huì)先于反射波到達(dá)本端，通過凱倫貝爾變換可以判斷第二個(gè)波的來(lái)源與極性[23]。

假設(shè)1＜2，即點(diǎn)靠近側(cè)，此時(shí)3是故障點(diǎn)反射波到達(dá)側(cè)所用時(shí)間，4為故障點(diǎn)折射波到達(dá)側(cè)所用時(shí)間。根據(jù)圖3建立方程組：

解方程組得到

當(dāng)1＞2時(shí)，即點(diǎn)靠近側(cè)，此時(shí)3是故障點(diǎn)折射波到達(dá)側(cè)所用時(shí)間，4為故障點(diǎn)反射波到達(dá)側(cè)所用時(shí)間。根據(jù)圖3再建立方程組：

解方程組得到

由式（18）和式（20）可知，改進(jìn)算法只需要初始行波和反射波到達(dá)兩側(cè)所用時(shí)間和線路總長(zhǎng)，就可計(jì)算出故障距離；和同時(shí)出現(xiàn)在等式兩側(cè)，消除了線路下垂或環(huán)境因素導(dǎo)致的實(shí)際長(zhǎng)度不等于水平檔距時(shí)對(duì)故障測(cè)距精度的影響。而且式（18）和式（20）中不涉及行波傳播速度的計(jì)算，消除了波速變化對(duì)故障測(cè)距精度的影響。為進(jìn)一步消除諧波的干擾和減弱負(fù)荷變化對(duì)故障測(cè)距結(jié)果的影響，依據(jù)工頻周期的采樣點(diǎn)數(shù)，采用在點(diǎn)左右兩側(cè)選取電流行波的差值進(jìn)行計(jì)算，即

采樣的電流數(shù)據(jù)誤差在第一次相減時(shí)已經(jīng)產(chǎn)生，2個(gè)采樣誤差再進(jìn)行一次相減即可以將整體數(shù)據(jù)誤差抵消。這種改進(jìn)的D型測(cè)距算法具有更高的精確度。

3.3 2種測(cè)距算法的綜合應(yīng)用

二分遞推SVD與改進(jìn)D型測(cè)距算法的綜合流程如圖4所示。首先將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行凱倫貝爾變換，將變換得到的模分量放入矩陣中，參照第2.2節(jié)中的數(shù)據(jù)處理過程，通過矩陣中振蕩信息的位置確定折反射波到達(dá)檢測(cè)端的時(shí)間，判斷第二個(gè)到達(dá)的行波和原始行波極性，以此代入相應(yīng)的改進(jìn)D型測(cè)距算法的計(jì)算式中，求出故障點(diǎn)位置。

圖4 綜合流程

4 仿真實(shí)驗(yàn)

基于圖1所示的線路阻抗圖，可以得到AT供電牽引網(wǎng)的仿真模型，如圖5所示。用Matlab進(jìn)行故障仿真，主要參數(shù)：系統(tǒng)電源220 kV；系統(tǒng)阻抗0.5+j4.71 Ω；AT1與VX-T段和AT1與AT2距離各為20 km；牽引變壓器容量為8.5 MV·A[24]。

設(shè)在距離故障端點(diǎn)15 km處發(fā)生接觸線-鋼軌的接地短路故障，過渡電阻為10W，采樣頻率為1 MHz。將故障電流行波通過第2.2節(jié)的數(shù)據(jù)處理過程得到圖6。

圖5 仿真系統(tǒng)模型

圖6 二分遞推SVD分解的分量信號(hào)波形

由圖6可以看出，各個(gè)分量中產(chǎn)生了若干振蕩波形，這些振蕩波形在每個(gè)子圖中都有體現(xiàn)。顯然，對(duì)應(yīng)這些振蕩的不是白噪聲，因?yàn)榘自肼暡粫?huì)如此有規(guī)律地出現(xiàn)在各個(gè)分量的對(duì)應(yīng)位置，因而這些振蕩波形的中心點(diǎn)反映的是故障行波中若干奇異點(diǎn)的位置[25]。

為了檢驗(yàn)二分遞推SVD在查找奇異點(diǎn)方面的性能，本文選用以往文獻(xiàn)常用的對(duì)稱三次B樣條小波進(jìn)行小波變換，選取第2層小波細(xì)節(jié)分量進(jìn)行奇異點(diǎn)的查找，對(duì)比結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，故障點(diǎn)設(shè)置在35 km處及以后，常用的三次B樣條小波發(fā)揮了緊支撐、對(duì)稱和線性相移的優(yōu)勢(shì)，識(shí)別奇異點(diǎn)的可靠性高于二分遞推SVD；但是采用二分遞推SVD在判斷故障距離時(shí)只與實(shí)際故障位置相差約0.02 km，最大相差0.68 km，采用小波變換故障測(cè)距產(chǎn)生的誤差一般都大于采用二分遞推SVD時(shí)的故障測(cè)距誤差。

表1 二分遞推SVD與小波變換對(duì)比

當(dāng)線路實(shí)際長(zhǎng)度發(fā)生變化或波速設(shè)定為光速時(shí)，將改進(jìn)的D型算法與一般D型算法進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見表2。

由于工程上通常根據(jù)不同輸電線路的電壓等級(jí)選擇一個(gè)接近光速的近似值來(lái)表示波速，波速的取值范圍一般在0.936（110 kV）～0.987（500 kV），所以本文選取波速誤差為-1%和-2%進(jìn)行對(duì)比。同理線路長(zhǎng)度的誤差依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)設(shè)定為1%和-1%。

在實(shí)際仿真過程中，以線路長(zhǎng)度誤差1%為例，設(shè)定波速為光速，分別對(duì)比2種算法求解出的故障距離誤差。同理，設(shè)置波速誤差后，規(guī)定線路長(zhǎng)度即為水平檔距，對(duì)比2種算法的故障距離誤差。

由表2可知，線路實(shí)際長(zhǎng)度和波速的變化對(duì)改進(jìn)算法的計(jì)算誤差沒有太大影響，但對(duì)于一般D型算法，這2個(gè)參數(shù)的微小變化對(duì)最后的故障測(cè)距誤差產(chǎn)生了很大影響。所以，在相同條件下，改進(jìn)的D型算法比一般D型算法具有更高的精度。

表2 波速與線路長(zhǎng)度對(duì)故障測(cè)距誤差的影響分析 km

針對(duì)AT供電方式下的故障測(cè)距，“AT中性點(diǎn)吸上電流比”、“橫聯(lián)線電流比”等方法基本適合工程需要，但測(cè)距結(jié)果會(huì)受到過渡電阻的影響。

本文基于設(shè)置不同的過渡電阻和故障距離，應(yīng)用二分遞推SVD與改進(jìn)D型算法相結(jié)合的綜合算法，得到如表3所示的故障測(cè)距仿真結(jié)果?？梢钥闯?，在不同過渡電阻和故障距離的情況下，改進(jìn)的D型測(cè)距算法與二分遞推SVD相結(jié)合的方法使仿真結(jié)果具有很高的精度。在同一故障距離處，經(jīng)過不同的過渡電阻，計(jì)算結(jié)果完全一致，說(shuō)明本文提出的這種二分遞推SVD與改進(jìn)的D型測(cè)距算法相結(jié)合的故障測(cè)距方法不受過渡電阻的影響。

表3 綜合算法的仿真測(cè)距結(jié)果 km

5 結(jié)論

（1）本文通過凱倫貝爾變換將故障電流行波信號(hào)轉(zhuǎn)化為3個(gè)分量信號(hào)，選取其中的模分量構(gòu)造Hankel矩陣，利用二分遞推SVD找到信號(hào)的奇異點(diǎn)。在尋找奇異點(diǎn)過程中，與小波變換相似，振蕩波形的中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)奇異點(diǎn)的位置。

（2）提出一種不受波速和線路長(zhǎng)度影響的改進(jìn)D型測(cè)距算法，利用行波突變量消除負(fù)荷變化對(duì)故障測(cè)距結(jié)果的影響；通過時(shí)間之比和線路長(zhǎng)度的乘積準(zhǔn)確找到故障點(diǎn)位置。與一般D型測(cè)距算法相比，改進(jìn)算法消除了波速誤差造成的測(cè)距誤差，且不受線路長(zhǎng)度變化的干擾，具有更高的精度。

（3）將二分遞推SVD與改進(jìn)的D型測(cè)距算法相結(jié)合的綜合故障測(cè)距算法不受過渡電阻的影響，具有較強(qiáng)的抗干擾性。

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The fault location algorithm combined with D type ranging algorithm and dichotomizing recursion singular value decomposition is proposed. The algorithm is able to eliminate effectively the harmonic interference and side effects to the distance measurement due to variations of loads. The simulation results show that the fault location method is able to calculate the faulty point accurately.

Fault location; dichotomizing recursion singular value decomposition (SVD); D-type ranging algorithm

10.19587/j.cnki.1007-936x.2017.05.010

U226.5

A

1007-936X(2017)05-0039-07

段啟凡.中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，助理工程師；楊 桐.國(guó)網(wǎng)青海省電力公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，工程師。

2016-12-09