尹周平， 馬 亮， 陳建魁

(華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室 武漢，430074)

?專家論壇?doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.05.001

卷到卷制造中基板橫向振動研究進展

尹周平， 馬 亮， 陳建魁

(華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室 武漢，430074)

運動基板的橫向振動問題已經(jīng)成為嚴(yán)重限制卷到卷制造效率和質(zhì)量的關(guān)鍵。詳細介紹了卷到卷制造中運動基板橫向振動問題的研究概況。討論了運動基板橫向振動的建模方法，以Hamilton原則為例，推導(dǎo)了基板橫向振動的控制方程，結(jié)合解析求解和數(shù)值求解方法，計算橫向振動的頻率和模態(tài)。分析了基板張力、速度、材料特性、中間支撐和外界環(huán)境等因素對基板自由振動特性及動態(tài)穩(wěn)定性的影響。研究了基板參數(shù)振動特性，考慮基板張力和速度兩個主要參數(shù)的波動，闡述了基板橫向振動被動控制和主動控制方法。聯(lián)合基板縱向張力控制和側(cè)向糾偏控制，討論了橫向振動控制在卷到卷制造中的工程應(yīng)用。最后，展望卷到卷制造工程應(yīng)用中基板橫向振動研究的關(guān)鍵問題。

卷到卷制造；運動基板；橫向振動；動態(tài)特性；振動控制

引 言

卷到卷制造是指柔性基板通過成卷連續(xù)的方式進行加工裝配的制造技術(shù)，基板首先從放卷模塊卷出，然后經(jīng)過多個工藝模塊，在柔性基板上進行連續(xù)加工，最后成品材料收卷。這種生產(chǎn)方式屬于串行過程，包括放卷、加工和收卷3個主要環(huán)節(jié)，每個工序的輸出是下一個工序的輸入，其自動化程度高，生產(chǎn)效率高，不僅廣泛應(yīng)用于紙張、印刷產(chǎn)品、纖維、紡織和復(fù)合材料等傳統(tǒng)材料生產(chǎn)中，而且已成為無線射頻識別(radio frequency identification, 簡稱RFID)標(biāo)簽、有機發(fā)光二極管、薄膜太陽能電池和印刷電子等領(lǐng)域理想的制造技術(shù)。

通常，具有平、薄、矩形截面形狀、較小彎曲剛度等特征的軸向運動材料稱為基板。為了獲得更高的產(chǎn)量，卷到卷制造中基板以較高的速度輸送。由于軸向傳輸速度的影響，基板不可避免地會沿著與運動速度垂直的方向產(chǎn)生復(fù)雜的動力學(xué)行為，引起橫向振動和噪聲，從而嚴(yán)重影響了卷到卷制造的應(yīng)用效果。比如，在磁帶卷繞中，磁帶的橫向振動會使信號調(diào)制失敗并加快磁帶磨損；在發(fā)動機的皮帶驅(qū)動中，皮帶的振動會引起噪聲和影響發(fā)動機的平穩(wěn)運轉(zhuǎn)；在印刷或?qū)雍线^程中，基板的振動及其引起的褶皺會影響產(chǎn)品的套印精度，在柔性電子印刷中通?；鍖?zhǔn)精度要求在±10 μm以內(nèi)，即使較小的振動也有可能引起對準(zhǔn)誤差，導(dǎo)致較差的印刷質(zhì)量[1]。

卷到卷制造中隨著速度的增加基板運動也會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。在臨界速度以上，基板會發(fā)生多種動態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象，比如分岔和顫振。基板的橫向振動已成為制約卷到卷制造效率和質(zhì)量的瓶頸，在高速卷繞輸送中限制作用更為突出[2]。基板的橫向振動動力學(xué)分析及控制已成為卷到卷高速輸送系統(tǒng)的一個迫切需要解決的問題，其運動動態(tài)穩(wěn)定性的研究有助于確定卷到卷設(shè)備設(shè)計、制造及使用中安全穩(wěn)定工作的速度區(qū)間，橫向振動控制方法的研究能夠幫助進一步提升設(shè)備運行速度和生產(chǎn)效率。

筆者首先介紹運動基板橫向振動的動力學(xué)建模和求解方法；其次,討論基板自由振動特性和參數(shù)振動特性研究進展；然后，闡述基板橫向振動控制方法及工程應(yīng)用；最后，展望卷到卷制造中基板橫向振動研究的關(guān)鍵問題。

1 動力學(xué)建模及求解方法

卷到卷中運動基板動力學(xué)方程建模方法通常包括Hamilton原理、D′Alembert原理、虛功原理以及Lagrange方程4種方法[3]。其中，D′Alembert原理是指在基板運動的任一時刻，基板所受的主動力F、約束力FC以及慣性力FI構(gòu)成平衡力系，即F+FC+FI=0，將運動基板的動力學(xué)問題轉(zhuǎn)變成了靜力學(xué)問題。虛功原理是指外力在系統(tǒng)滿足約束條件下的虛位移上所作的虛功總和為零。其中,Hamilton原理[4-6]是最為常用的一種建模方法，它是采用變分的思想來建立方程，即在任意時間段內(nèi)，基板的動能K，勢能U，非有勢力做的虛功Wnc和邊界傳遞的虛動量M的變分之和為零，即

(1)

運動的Lagrange方程實質(zhì)上是改進的Hamiton原理，即

(2)

對于非保守力中的阻尼力，一般采用試驗方法獲得。

圖1 運動基板的物理模型Fig.1 Schematic of the travelling web

依據(jù)Hamilton原理[7-9]，基板的動能K，勢能U，非有勢力做的虛功Wnc，和邊界傳遞的虛動量M分別可以表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

將式(3)～(6)代入式(1)，可以推導(dǎo)出運動基板的動力學(xué)方程，即

(7)

(8)

(9)

注意，式(7)和式(8)是僅與面內(nèi)位移有關(guān)的偏微分方程，式(9)是耦合面內(nèi)位移與面外位移的非線性偏微分方程。如果假設(shè)面內(nèi)平動速度為常數(shù)，則上述方程可退化為固定速度下的基板動力學(xué)方程。

對于運動基板橫向振動的動力學(xué)方程通常有兩類求解方法：解析解法和數(shù)值解法。解析解法主要有小參數(shù)攝動法、多尺度法和漸近法等，但是解析解法存在很大的局限性，只能用來求解部分特殊邊界條件下的問題，對于受復(fù)雜約束基板，一般很難直接求解得到解析解。因此，工程計算中常常采用數(shù)值解法來計算基板橫向振動的頻率及動態(tài)響應(yīng)。目前，比較成熟的數(shù)值解法主要有Galerkin方法、有限差分法、微分求積法、有限條法、時域逐漸積分法以及諧波平衡分析法等[3]。其中，Galerkin法[10-12]是解決軸向運動基板橫向振動問題的一種很有效的方法，它是加權(quán)殘值法的一種，采用偏微分方程對應(yīng)的弱形式，通過選取有限個基函數(shù)，將它們疊加，再使結(jié)果在求解域內(nèi)及邊界上的積分滿足原方程，便可以得到一系列易于求解的線性代數(shù)方程，且自然邊界條件能夠自動滿足。Shin等[13]在采用Galerkin方法求解薄膜橫向振動方程時，選取面外位移近似函數(shù)為

(10)

權(quán)函數(shù)與近似函數(shù)形式相同。

有限差分法[14-16]基本思想是在節(jié)點上按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式把方程中的微商轉(zhuǎn)變成差商，從而把微分方程離散為差分格式，進而求出數(shù)值解。Shangguan等[17]采用有限差分法來描述皮帶橫向振動位移的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)

(11)

(12)

微分求積法[18-19]的實質(zhì)就是用域上全部節(jié)點的函數(shù)值進行加權(quán)求和來表示函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在給定節(jié)點處的值，可以將微分方程轉(zhuǎn)變成以節(jié)點處的函數(shù)值為未知量的一組代數(shù)方程組，求解該代數(shù)方程，即可得到偏微分方程的數(shù)值解為

(13)

這樣只要系數(shù)確定了，函數(shù)在該節(jié)點處的各階導(dǎo)數(shù)值就可以用所有節(jié)點處的函數(shù)值的加權(quán)求和來近似替代。微分求積法應(yīng)用的關(guān)鍵在于節(jié)點的選取、邊界條件的施加、權(quán)系數(shù)的確定以及解的收斂性。微分求積法相比有限差分法，只需少量的離散點就可以得到很高的精度，而且迭代的次數(shù)也較少。

Newmark方法[20-21]直接對運動方程進行積分，而不進行任何變換，也稱為時域逐步積分法，要求時間步長的端點滿足微分方程即可，通過平均假設(shè)、線性假設(shè)、等加速度假設(shè)等對時間步長內(nèi)的系統(tǒng)方程進行曲線擬合，從而求得系統(tǒng)在時域內(nèi)的動態(tài)響應(yīng)。另外，求解系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的方法還有振型疊加法和四階Runge-Kutta方法[22]。

2 卷到卷中基板橫向振動

2.1 自由振動

面內(nèi)平動基板橫向振動位移較小時，可以采用線性振動的模型，主要研究線性自由振動的固有頻率和模態(tài)。Ulsoy等[23]于1982年最早開始關(guān)于面內(nèi)平動薄膜或薄板的橫向振動特性研究，分析了基板平動時的動態(tài)穩(wěn)定性。

基板的運動速度對系統(tǒng)的動態(tài)特性有很大的影響。通常，基板橫向自由振動的特征值是復(fù)數(shù)形式，其虛部表示自振頻率，實部表示幅度?；逶谂R界速度以下運動時，橫向振動都是動態(tài)穩(wěn)定的[12, 24-26]，如圖2所示，wz(1,1)和wz(2,1)分別為(1,1)階和(2,1)階模態(tài)特征值，隨著基板運動速度的不斷增大，基板振動穩(wěn)定性可以分3個狀態(tài)。狀態(tài)1：所有特征值的實部全為負(fù)數(shù)或零，基板橫向振動是動態(tài)穩(wěn)定的。狀態(tài)2：有一個特征值的虛部變?yōu)榱?，同時有特征值出現(xiàn)正實部，基板振動開始不穩(wěn)定，出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，此時基板的運動速度稱為臨界速度。狀態(tài)3：有一個或多個特征值出現(xiàn)正實部和正虛部，基板開始更為劇烈的振動，出現(xiàn)顫振現(xiàn)象，此時基板的運動速度稱為顫振速度。

圖2 橫向振動頻率Fig.2 The natural frequencies of transverse vibration

Shin等[27-28]利用Hamilton原則推導(dǎo)出基板面內(nèi)、面外運動的動力學(xué)方程，在對輥邊界處考慮兩種邊界條件：一種是基板在邊界處沿y向固定，不能自由移動；另外一種是基板在邊界處沿y向無摩擦，可自由移動[29]，并結(jié)合Galerkin方法，計算了薄膜橫向振動的自振頻率和模態(tài)形狀，研究了平動速度、長寬比和邊界條件對橫向振動穩(wěn)定性的影響。Luo等[30]分析了高速運動薄板的橫向振動位移和屈曲穩(wěn)定性。Wang等[20]基于Kirchhoff-Love板理論和Hamilton原則，建立了任意變長度的板的運動方程，利用Galerkin方法和Newmark方法從頻域和時域分別研究了板的穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)，分析了面內(nèi)平動和彎曲變形的耦合效應(yīng)，結(jié)果表明平動速度和板長寬比對面外振動頻率和穩(wěn)定性有很大影響。

從放卷到收卷，基板在輸送過程中通常在中間由多個支撐輥作用，輥子的支撐作用直接影響了運動基板的動態(tài)特性。Wu等[31]分析了造紙印刷中，紙張輸送時在中間多輥支撐下的橫向振動特性，通過Laplace變換，得到了振動頻率方程，研究了振動頻率與速度、張力、支撐剛度和支撐位置的關(guān)系，為造紙印刷過程中改進結(jié)構(gòu)設(shè)計和提高穩(wěn)定性提供了理論基礎(chǔ)和有效的方法。Lü等[32]基于經(jīng)典的Kirchhoff板理論，結(jié)合狀態(tài)空間的方法，分析了在剛性線支撐和移動彈性基底支撐下的大跨距連續(xù)矩形板的自由振動頻率。如圖3所示，Banichuk等[33]采用解析的方法研究了無限個彈性支撐下的運動基板的動態(tài)穩(wěn)定性，基板的橫向振動位移由一個包含離心力、面內(nèi)應(yīng)力、彎曲項和彈性支承力的四階微分方程表示。Ghayesh等[34]研究了中間受彈性支撐下和分布式簡諧激振力的軸向運動基板的橫向和縱向耦合振動特性。Bagdatli等[35]采用多尺度分析方法研究了左右邊界簡支、中間有一彈性支撐的變速運動歐拉梁的橫向振動特性，討論了運動速度和中間支撐位置對基板運動穩(wěn)定區(qū)間的影響。

圖3 彈性支撐下的軸向運動梁Fig.3 Axially moving beam supported by elastic supports

基板卷到卷輸送過程中，由于支撐輥子的不平行和對輥驅(qū)動力的分布不均，導(dǎo)致基板兩端承受的張力并不是均勻分布的，研究非均勻張力分布作用下的基板橫向振動特性具有一定的實際意義。Banichuk等[36]分析了線性張力分布作用下的面內(nèi)平動基板的振動特性，建立了一個考慮離心力、面內(nèi)張力、彈性變形力和慣性力的偏微分方程，通過數(shù)值方法，證明了張力分布的不均勻可以很大程度上降低基板失穩(wěn)的臨界速度，即使很小的張力不均勻程度都可以對分岔形狀產(chǎn)生很大的影響。王硯等[37]分析了兩端非均勻分布張力作用下的運動矩形薄膜的動力特性及穩(wěn)定性，建立了非均勻張力作用下運動薄膜的計算模型，采用微分求積法，推導(dǎo)系統(tǒng)的復(fù)特征值方程，結(jié)合數(shù)值計算，分析了薄膜長寬比、速度和張力變化系數(shù)對系統(tǒng)復(fù)頻率和薄膜動態(tài)行為的影響。

目前，復(fù)合材料被廣泛應(yīng)用在實際工程制造中，比如動力傳輸帶、復(fù)合板等，這種基板不再是傳統(tǒng)的各向同性材料，往往具有各向異性，因此針對軸向運動復(fù)合基板振動分析中有必要考慮材料的各向異性。Yang等[38]研究了正交各向異性矩形復(fù)合板的振動特性，分別利用Galerkin方法和微分求積法求解復(fù)合板的振動頻率，發(fā)現(xiàn)面內(nèi)振動的頻率要遠遠大于面外振動頻率，因此工程實際中僅考慮平板面外振動特性是合理的。Jaberzadeh等[12]采用無網(wǎng)格Galerkin方法研究了軸向運動正交或斜交各向異性薄板自由振動特性，分析了輥子不平行角度和中間彈性支撐對薄板自由振動頻率的影響。Hatami等[39]利用一種精確的和半解析的有限條帶法分析了軸向運動層合基板的自由振動問題，發(fā)現(xiàn)隨著軸向運動速度的不斷增加，復(fù)合板自由振動的頻率在不斷減小，同時復(fù)合板邊界受力和長寬比也會對頻率產(chǎn)生影響。

運動基板與周圍環(huán)境介質(zhì)之間的相互作用是影響卷到卷中平動基板穩(wěn)定性的一個重要因素，當(dāng)忽略基板與空氣之間的相互作用時，基板運動失穩(wěn)的臨界速度要比實際臨界速度高很多。Banichuk等[40]建立了一個包含離心力、空氣作用力、張力、彎曲力的積分微分方程，其中空氣作用反力是位移的解析函數(shù)，采用數(shù)值方法求解了基板在真空中和在流體相互作用下的運動失穩(wěn)臨界速度，對比發(fā)現(xiàn)基板運動失穩(wěn)臨界速度受周圍流體作用影響較大。隨后，Banichuk等[41]用解析方法研究了平動板與周圍理想流體相互作用下的動態(tài)響應(yīng)，并假設(shè)基板是圓柱變形。

如何對基板材料進行建模是工程實際中一個重要的問題，隨著材料技術(shù)的不斷進步，卷到卷中基板開始采用金屬或陶瓷增強復(fù)合材料、聚合物材料等，這些非純彈性材料不再滿足傳統(tǒng)的胡克定律，解決該問題的有效途徑就是在建模中考慮材料的黏彈性。同時，隨著黏彈性材料的引入，使得卷到卷輸送中基板橫向振動的動力學(xué)行為也更加復(fù)雜。

Marynowski等[7]提出用兩參數(shù)的Kelvin-Voigt和四參數(shù)的Burers模型來表示面內(nèi)平動黏彈性板，分析了內(nèi)部阻尼和平動速度對平動板動態(tài)穩(wěn)定性的影響，指出對于內(nèi)部阻尼較小的黏彈性板，兩種模型計算結(jié)果相近，對于較大內(nèi)部阻尼的黏彈性板，Burgers模型更接近真實情況。Chen等[42]使用Kelvin模型分析了黏彈性梁和黏彈性板的非線性振動特性，其中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系表示為

σx=E(εx+α(εx,t+Γεx,x))

(14)

其中：E為彈性模量；α為黏性系數(shù)。

Marynowski[43]提出用一個二維流變單元模型來模擬面內(nèi)平動黏彈性板，結(jié)合流變模型以及板理論，用Galerkin數(shù)值方法研究了造紙中的橫向振動現(xiàn)象。Chen等[44-46]用Kelvin模型來模擬粘彈性梁的材料特性，研究了阻尼系數(shù)、平動速度和張力對運動穩(wěn)定性的影響。Zhou等[16, 47-48]研究了變厚度粘彈性板的振動特性，利用Kelvin模型，考慮黏彈性板沿y向厚度是非均勻的，使用微分求積法驗證了板長寬比、厚度變化系數(shù)、平動速度對板的動力特性和穩(wěn)定性的影響。

Hatami等[49]分析了面內(nèi)平動黏彈性板的自由振動特性，采用了精確的有限條方法，其中材料的線性黏彈性采用積分形式，其公式為

(15)

其中：σij為應(yīng)力函數(shù)；εkl為應(yīng)變函數(shù)；Rijkl為四階松弛函數(shù)。

2.2 參數(shù)振動

生產(chǎn)實際中，運動系統(tǒng)參數(shù)的周期性變化可能會導(dǎo)致基板發(fā)生劇烈的橫向振動，在卷到卷制造中，這種參數(shù)的變化主要體現(xiàn)在基板面內(nèi)張力的變化和基板運動速度的變化。

Marynowski等[9, 50]研究了在兩端受時變張力作用下的黏彈性基板的非線性振動行為，表達式為

P=P0+P1cos(wt)

(16)

其中:P為在穩(wěn)態(tài)張力P0基礎(chǔ)上周期性波動張力；P1為波動幅值；w為波動頻率。

采用Galerkin方法和四階Runge-Kutta方法來求解非線性偏微分方程，并分析了平動速度、張力的波動幅值以及系統(tǒng)內(nèi)部阻尼對基板橫向振動動力學(xué)行為的影響。

Yang等[51]提出了一種基于能量的控制方法來抑制變張力、變速度、存在干擾下的軸向運動梁的橫向振動，其中速度變化產(chǎn)生的慣性力導(dǎo)致基板面內(nèi)張力的改變。

(17)

其中:e = 0代表水平方向運動的梁，e = 1代表豎直方向運動的梁；g為重力加速度；T0為初始張力。

在梁變速運動過程中，加速階段軸向力可能是拉力，減速運動時軸向力可能會變成壓力。Lee等[52]研究了四邊自由的面內(nèi)加速運動薄板的橫向振動動力學(xué)行為，采用Bolotin方法分析面內(nèi)張力和平動加速度攝動在不同組合類型下基板運動失穩(wěn)的區(qū)域。Tang等[53-55]討論了軸向加速運動黏彈性梁或板的主參數(shù)共振、內(nèi)共振以及非線性振動，其中基板所承受張力的變化來源于基板運動加速度。Lü等[56]采用多尺度分析方法研究了邊界承受簡諧張力變化的軸向運動疊層梁的非線性參數(shù)共振現(xiàn)象。Lengoc等[57-58]研究了面內(nèi)邊界受周期性變化載荷作用下系統(tǒng)振動的失穩(wěn)區(qū)域。

Pakdemirli等[59-60]研究了軸向變速運動梁的穩(wěn)定性，梁的運動速度是時變的，表示為

v=v0+εv1sin(ωt)

(18)

其中：εv1為波動幅值；ω為波動頻率。

Chen等[44, 46]分析了軸向加速運動黏彈性梁的橫向振動穩(wěn)定性以及非線性振動特性，軸向運動速度均是在一個穩(wěn)定速度基礎(chǔ)上作簡諧變化。

Bagdatl等[35]研究了具有中間固定支撐的軸向變速運動歐拉梁的橫向振動動力學(xué)行為，在動力學(xué)方程中引入非線性項，分析了當(dāng)速度波動頻率等于自振頻率兩倍時的主參數(shù)共振現(xiàn)象，給出了基板運動的穩(wěn)定區(qū)域和失穩(wěn)區(qū)域。Tang等[8, 61]采用多尺度分析方法，研究了面內(nèi)應(yīng)力作用下的平動黏彈性薄板的非線性參數(shù)共振和內(nèi)部共振，分析了平動速度、平動速度波動幅值、黏彈性系數(shù)和非線性系數(shù)對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。Wu等[62]采用微分求積法研究了紙張生產(chǎn)中沿軸向變速運動紙張的參數(shù)振動和動態(tài)穩(wěn)定性，利用Runge-Kutta方法確定了紙張運動的穩(wěn)定速度區(qū)域。

王波等[63]提出了一種結(jié)合微分求積法研究非線性變速運動黏彈性梁的混雜邊界條件的方法。劉金堂等[64]分析了變速運動正交各向異性薄板橫向振動的動態(tài)穩(wěn)定性，建立薄板橫向振動的偏微分方程，結(jié)合多尺度法，利用可解性邊界條件得到次諧波共振和組合共振的穩(wěn)定邊界，并用數(shù)值算例分析平動速度、激勵幅值等參數(shù)對穩(wěn)定性邊界的影響。

3 橫向振動抑制方法

早期基板橫向振動控制的研究主要集中在采用被動的增加阻尼或有效剛度來實現(xiàn)，這種控制方法由于不需要外部能量輸入，結(jié)構(gòu)簡單可靠，易于維護，在工程領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。隨著基板運行速度的不斷提高，對基板振動特性、對產(chǎn)品的質(zhì)量要求更加嚴(yán)格，這種被動的控制方法存在一定的局限，為了適應(yīng)更加復(fù)雜的條件，就需要通過施加外力來實現(xiàn)振動的主動控制。主動控制算法主要包括直接速度反饋控制[65]、頻域傳遞函數(shù)控制[66]、主動波控制[67]、使用Lyapunov的邊界控制[68]和自適應(yīng)控制等[69]。另外，卷到卷中振動控制大多采用的都是點控制而不是分布式控制。雖然分布式控制方法可能會產(chǎn)生更好的控制效果，但是由于分布式控制方法需要分布的信號反饋和控制力，實際工程中很難實現(xiàn)。

Fung等[68, 70-71]研究了在右邊邊界處施加一個質(zhì)量-阻尼-彈簧控制器的軸向運動弦線的橫向振動控制問題。如圖4所示，該控制器包含質(zhì)量塊m, 系數(shù)為dm的黏性阻尼器和剛度為km的彈簧，控制器輸入為Fc，弦線運動速度為c，橫向振動位移為v(x,t)，然后分別采用了最優(yōu)邊界控制、自適應(yīng)邊界控制和使用Lyapunov函數(shù)的邊界控制方法進行橫向振動控制。所施加的外界力依賴于弦線右邊界處的傾斜角、速度和位移，依據(jù)機械能耗散和群論證明了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，得到了最低反饋增益，最后通過有限差分的方法驗證了所提出的各種控制方法的有效性。

圖4 采用質(zhì)量-阻尼-彈簧控制器的軸向運動弦線系統(tǒng)Fig.4 An axially moving string system with the mass damper-spring (MDS) controller

Zhu等[72]采用結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定判據(jù)的邊界控制策略來對任意變化長度的軸向運動梁進行振動能量的消散，分析了軸向速度變化對張力的影響，在最優(yōu)控制增益下，軸向運動梁在伸出或縮回時都能保持運動的穩(wěn)定性。

Yang等[73]研究了張力隨時間和空間在不斷變化并存在未知邊界擾動的運動弦線的橫向振動抑制方法，系統(tǒng)如圖5所示。弦線運動速度為vs，兩端張力為Ts，橫向振動位移為w(x,t)，在弦線中間施加了一個液壓托輥驅(qū)動器，其質(zhì)量和阻尼分別為mc和dc，驅(qū)動器將弦線分為受控區(qū)域與未受控區(qū)域，未受控區(qū)域看作擾動輸入，通過Lyapunov方法設(shè)計了魯棒邊界控制策略來進行受控區(qū)域的橫向振動控制。后來，Yang等[74]又針對變速運動梁的振動控制研究了基于Lyapunov方法的邊界控制策略。

圖5 采用液壓驅(qū)動器的軸向運動弦線振動控制布局Fig.5 One control-oriented schematic of the axially moving string with a hydraulic actuator

由于自適應(yīng)邊界控制方法一般依賴于軸向運動基板和外加驅(qū)動器的參數(shù)值，Nguyen等[75]提出了一種在變張力和邊界干擾下可以補償弦線自身和邊界控制器不確定性的魯棒自適應(yīng)邊界控制方法。

Chao等[76]采用智能控制策略來抑制軸向運動弦線的橫向振動，提出了模糊滑?？刂品椒ê湍：窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，在弦線右邊邊界位置處施加一個質(zhì)量-阻尼-彈簧控制器，通過運動弦線和控制器系統(tǒng)動態(tài)耦合產(chǎn)生的驅(qū)動力來抑制橫向振動。其中模糊滑模控制方法的優(yōu)勢是可以計算系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，而模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)在線學(xué)習(xí)。

張偉等[77-80]研究了軸向運動弦線和控制器組成的耦合系統(tǒng)的橫向振動控制問題，采用Lyapunov方法、自適應(yīng)方法、能量方法和線性反饋控制方法，憑借作用在控制器上的外界力對系統(tǒng)受控區(qū)域進行主動控制。李志軍等[81]在以上基礎(chǔ)上，考慮了作動器由于運動等其他因素造成其模型含有的參數(shù)具有不確定性，為了改善控制系統(tǒng)的魯棒性，在魯棒的二次鎮(zhèn)定控制基礎(chǔ)上，設(shè)計了狀態(tài)反饋的H∞控制。

以上控制方法主要將控制對象作為弦線和梁，在針對軸向運動薄膜的橫向振動控制研究中，劉定強等[82]建立了薄膜橫向振動抑制的狀態(tài)空間方程，結(jié)合次最優(yōu)控制方法和直接速度反饋法，在勻速條件下對薄膜進行了橫向振動控制。首先計算最優(yōu)狀態(tài)控制的常反饋增益，接著計算次最優(yōu)情況下反饋增益，并通過Matlab數(shù)值計算驗證該方法的有效性。

武吉梅等[83]建立了不同邊界下、考慮彎曲剛度的軸向運動薄膜的動力學(xué)方程，采用有限差分法，將振動微分方程離散，采用次最優(yōu)控制方法，對四邊簡支、對邊簡支對邊自由兩種邊界條件下的振動進行主動控制，在短時間迅速、有效地使薄膜振動強度衰減趨近于零。計算結(jié)果說明，作動器作用在固定點時，對于四邊簡支下的薄膜振動控制效果較好；作動器作用在不同位置點時，這兩種邊界條件下均是作用在中心點時的控制效果較好。卷到卷制造中，部分基板表面要求不能有外力作用，否則會影響基板表面的質(zhì)量，因此這種基板橫向振動控制方案中不能再施加外界控制力。 Nguyen等[2, 84-85]提出了一種新的抑制平動薄膜橫向振動的方法，通過Galerkin方法，將振動的偏微分方程離散成為一系列常微分方程，并轉(zhuǎn)變成狀態(tài)空間的形式，面內(nèi)平動薄膜的振動能量表示成狀態(tài)變量的二次型，利用共軛梯度的優(yōu)化方法生成一條期望的速度曲線，使平動薄膜在按照這個速度曲線運動時，振動能量減弱地最快。結(jié)合數(shù)值計算，證明了所提出控制方法的有效性。如圖6所示，在采用設(shè)計的速度曲線的情況下，振動能量和基板橫向振動位移在速度為零時已完全接近為零，而不采用振動控制僅靠薄膜自身粘性阻尼力的情況下，薄膜振動能量和橫向振動位移需要很長的時間才能收斂到零，嚴(yán)重影響設(shè)備生產(chǎn)效率。Jabbar等[6]在Nguyen研究的基礎(chǔ)上，引入材料黏彈性特性和張力約束條件，在設(shè)計基板運動速度曲線時要求張力變化在許可范圍之內(nèi)。

圖6 振動能量和橫向位移對比,采用控制方法(實線)和未采用控制方法(虛線)Fig.6 Comparison of the vibration energy and the transverse displacement; controlled (solid line) versus uncontrolled (dotted line)

4 工程應(yīng)用

卷到卷制造廣泛應(yīng)用在RFID標(biāo)簽、有機發(fā)光二極管、薄膜太陽能、印刷電子等柔性電子制造領(lǐng)域。目前，已經(jīng)開發(fā)出多種集成卷到卷制造技術(shù)的生產(chǎn)裝備。為了實現(xiàn)高分辨率、高效、高可靠地卷到卷制造，必須保證基板能夠穩(wěn)定、精確的輸送，其中影響運動基板動態(tài)穩(wěn)定性的主要因素有基板張力、基板運動速度以及基板側(cè)向偏移，這些因素的變化會引起基板橫向振動，導(dǎo)致基板運動失穩(wěn)，必須對基板張力、速度和側(cè)向位移進行精確控制。

圖7所示為RFID標(biāo)簽生產(chǎn)設(shè)備，包括基板輸送、點膠、貼裝、熱壓和檢測模塊，其中基板輸送模塊是其他各個模塊能夠順利完成任務(wù)的前提和基礎(chǔ)。為了保證點膠、貼片、熱壓和檢測正常工作，實現(xiàn)芯片與線圈的倒裝互連，必須保證柔性基板穩(wěn)定的輸送，因此需要對基板實施張力穩(wěn)定控制、位置控制和糾偏控制[86-89]。

圖7 RFID標(biāo)簽封裝設(shè)備Fig.7 RFID tags packaging equipment

該設(shè)備中為實現(xiàn)張力穩(wěn)定控制，在放卷電機之后采用浮棍，卷繞過程中，浮棍會隨基板張力的變化而上下移動[90]。收放卷電機采用磁粉離合器驅(qū)動，利用張力傳感器實時檢測基板收放卷區(qū)域張力的變化，根據(jù)反饋信號調(diào)整磁粉離合器控制電流，實現(xiàn)恒張力控制[91]；在基板加工區(qū)域采用張力-位置混合控制方法，將檢測到的張力信號作為驅(qū)動電機位置補償，利用驅(qū)動電機轉(zhuǎn)動位移的變化實現(xiàn)張力和位置混合控制[92]。同時為了實現(xiàn)基板側(cè)向偏移控制，在基板輸送多個區(qū)域安裝糾偏控制器，實現(xiàn)基板側(cè)向位置的實時監(jiān)測和控制[93]。

圖8所示為卷到卷刻蝕系統(tǒng)[94]，將傳統(tǒng)的平板印刷、真空涂層和納米壓印等圖案化工藝與卷到卷技術(shù)進行融合，采用了精密光學(xué)測量系統(tǒng)，在柔性基板上可實現(xiàn)連續(xù)、高分辨率圖案化，其中分辨率最高達10 μm，層間套準(zhǔn)精度最高達±2.5 μm。

圖8 卷到卷刻蝕系統(tǒng)Fig.8 Roll-to-roll lithography system

圖9 顯示器件卷到卷制造流程Fig.9 Roll-to-roll manufacturing of display parts

圖9所示為柔性顯示器件卷到卷制造流程，底層薄膜經(jīng)過苯胺印制、烘干、真空噴射和凹版印刷等操作后與頂層薄膜再通過對輥進行不同薄膜的層合，在生產(chǎn)過程中對各層薄膜實施張力控制、振動抑制和糾偏控制等抑制薄膜變形，保證薄膜基板輸送中的穩(wěn)定性，實現(xiàn)多層薄膜的高精度加工定位和準(zhǔn)確層合[95]。

5 展 望

運動基板橫向振動分析與控制已成為卷到卷制造研究的關(guān)鍵問題，筆者重點討論運動基板橫向振動建模與求解方法、自由振動特性、參數(shù)振動特性、振動控制方法以及工程應(yīng)用的若干重要研究進展。為了實現(xiàn)基板更高速、更穩(wěn)定地傳輸，卷到卷制造中運動基板的橫向振動還存在以下問題需進一步深入研究：

1) 卷到卷制造工程應(yīng)用中，基板往往具有材料和幾何非線性，并受復(fù)雜約束和一定的時變激勵，如何更精確地對基板進行建模求解仍需進一步探索。

2) 考慮非線性因素、復(fù)雜約束和時變激勵的運動基板橫向振動控制問題的研究剛剛起步，數(shù)學(xué)建模中對基板非線性振動模型均有一定的簡化，要求邊界控制、非邊界控制或智能控制等方法具有更高的自適應(yīng)性和魯棒性。

3) 目前，對運動基板的橫向振動特性及控制方法的研究主要集中在理論推導(dǎo)與數(shù)值計算，在實驗研究方面主要針對簡支結(jié)構(gòu)或懸臂結(jié)構(gòu)，未考慮基板運動帶來的影響。針對運動基板橫向振動的實驗研究還有待進一步探索。

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國家自然科學(xué)基金資助項目(51475195,51322507);國家科技支撐計劃資助項目(2015BAF11B02)

2017-02-20；

2017-03-20

TH113

尹周平，男，1972年9月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。國家杰出青年基金獲得者、教育部長江學(xué)者特聘教授。發(fā)表SCI論文100余篇，出版著作2部，授權(quán)發(fā)明專利80余項，獲國家自然科學(xué)二等獎、國家技術(shù)發(fā)明二等獎、國家科技進步二等獎各1項。主要研究方向為電子制造技術(shù)與裝備、數(shù)字化智能制造技術(shù)。

E-mail:yinzhp@hust.edu.cn