呂鳳姣，劉芝秀

(1.黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院，鄭州450063；2.南昌工程學(xué)院理學(xué)院，南昌330099)

涉及高階導(dǎo)數(shù)分擔(dān)值的亞純函數(shù)正規(guī)族

呂鳳姣1，劉芝秀2

(1.黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院，鄭州450063；2.南昌工程學(xué)院理學(xué)院，南昌330099)

正規(guī)族理論的發(fā)展經(jīng)歷了利用Nevanlinna值分布理論和L.Zalcman引理簡(jiǎn)化許多通過(guò)大量消去原始值而得到正規(guī)定則證明的過(guò)程，同時(shí)也建立了一系列新的正規(guī)定則。把亞純函數(shù)正規(guī)族與分擔(dān)值或分擔(dān)集合結(jié)合起來(lái)考慮是亞純函數(shù)正規(guī)族理論研究的一個(gè)重要課題。目前正規(guī)族的相關(guān)理論在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)微分方程、模分布和整函數(shù)唯一性等方面都有著重要的應(yīng)用。文章主要探討了亞純函數(shù)的值分布理論，利用L.Zalcman引理研究了一類涉及高階導(dǎo)數(shù)分擔(dān)值的亞純函數(shù)族的正規(guī)性問(wèn)題，推廣并改進(jìn)了已有的結(jié)果。主要結(jié)果為：設(shè)F是區(qū)域D上的一亞純函數(shù)族，k為正整數(shù)，a為非零有窮復(fù)數(shù)，若對(duì)任意的f(z)∈F，有f(z)-a的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，且f(z),f(k)(z)與f(k+1)(z)IM分擔(dān)a，則F在D上正規(guī)。

亞純函數(shù)；高階導(dǎo)數(shù)；分擔(dān)值；正規(guī)族

引言

設(shè)f(z)為開(kāi)平面上非常數(shù)的亞純函數(shù)，采用值分布論中的相關(guān)記號(hào)[1-2]，在此給出相關(guān)的定義。

設(shè)D為復(fù)平面C上的區(qū)域，F(xiàn)為定義在區(qū)域D內(nèi)一族亞純函數(shù)，稱F在區(qū)域D上正規(guī)，是指亞純函數(shù)族F中每一個(gè)函數(shù)序列{fn(z)}(n=1,2,…)均可以選出一個(gè)子序列{fnk(z)}(k=1,2,…)在區(qū)域D上按球面距離內(nèi)閉一致收斂于一個(gè)亞純函數(shù)或者恒為無(wú)窮。

稱F在區(qū)域D上一點(diǎn)z0正規(guī)是指，F(xiàn)在z0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)正規(guī)?？芍?，F(xiàn)在區(qū)域D上正規(guī)等價(jià)于F在區(qū)域D上每一點(diǎn)都正規(guī)。

設(shè)f(z),g(z)為區(qū)域D上的兩個(gè)亞純函數(shù)，對(duì)復(fù)數(shù)a∈C，若f(z)-a的零點(diǎn)為zn(n=1,2,3,…)，如果zn(n=1,2,3,…)也是g(z)-a的零點(diǎn)(不計(jì)重?cái)?shù))，則稱單向分擔(dān)a，記為f(z)=a?g(z)=a。

把亞純函數(shù)正規(guī)族與分擔(dān)值或分擔(dān)集合結(jié)合起來(lái)考慮是由W.schwick在1992年首先開(kāi)始研究，之后國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都對(duì)這方面進(jìn)行了深入的研究，其成果有：

定理1[3]設(shè)F={f(z)}是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族，a1,a2,a3是三個(gè)不同的復(fù)數(shù)，如果對(duì)每個(gè)f∈F，f與f′同時(shí)分擔(dān)值a1,a2,a3，則F在Δ上正規(guī)。

定理2[4]設(shè)F是D上的一亞純函數(shù)族，a和b是兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)，如果對(duì)任一f∈F，f(z)與f′(z)在D內(nèi)IM分擔(dān)a,b，則F在D內(nèi)正規(guī)。

定理3[5]設(shè)F是區(qū)域D上的解析函數(shù)族，a和b是兩個(gè)相互判別的非零有窮復(fù)數(shù)，如果對(duì)?f∈F，有f(z)=a?f′(z)=a，f′(z)=b?f″(z)=b，那么F在D內(nèi)正規(guī)。

文獻(xiàn)[5]在定理3的后面，提出一個(gè)問(wèn)題：該定理對(duì)亞純函數(shù)族是否成立?

2013年，文獻(xiàn)[6]將解析函數(shù)族推廣為亞純函數(shù)族，并將f′推廣為f(k)，得到了如下兩個(gè)結(jié)論。

定理4設(shè)F是區(qū)域D上的亞純函數(shù)族，且a和b是兩個(gè)相互判別的非零有窮復(fù)數(shù)，如果對(duì)?f∈F，f(z)的零點(diǎn)重級(jí)至少為2，且f(z)=a?f′(z)=a，f′(z)=b?f″(z)=b，那么F正規(guī)。

定理5設(shè)F是區(qū)域D上的亞純函數(shù)族，且a和b是兩個(gè)相互判別的非零有窮復(fù)數(shù)，k是一個(gè)正整數(shù)。如果對(duì)?f∈F，f(z)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，且f(z)=a?f(k)(z)=a,f(k)(z)=b?f(k+1)(z)=b，那么F在D內(nèi)正規(guī)。

但是，在上述定理中有兩個(gè)分擔(dān)值，能否把f′推廣為f(k)的同時(shí)，將分擔(dān)值的個(gè)數(shù)減少為一個(gè)呢?本文證明了下述定理。

定理6設(shè)F是區(qū)域D上的一亞純函數(shù)族，k為正整數(shù)，a為非零有窮復(fù)數(shù)，若對(duì)任意的f(z)∈F，有f(z)-a的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，且f(z),f(k)(z)與f(k+1)(z)IM分擔(dān)a，則F在D上正規(guī)。

文獻(xiàn)[7-8]舉例說(shuō)明了定理中的條件“函數(shù)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1”是必須的，此例也說(shuō)明了定理6中的條件“f(z)-a的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1”是必須的。

1 引理

引理1[9](Zalcman引理)設(shè)k為正整數(shù)，F(xiàn)是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族，f的零點(diǎn)重級(jí)均≥k，極點(diǎn)重級(jí)均≥j，那么F在Δ上不正規(guī)的充要條件是：對(duì)?α∈(-j,k)，存在函數(shù)列fn∈F，點(diǎn)列zn∈Δ，正數(shù)列ρn→0，使得函數(shù)列

在復(fù)平面上按球距內(nèi)閉一致地成立。

這里g(ζ)為復(fù)平面上的一個(gè)亞純函數(shù)，其零點(diǎn)(極點(diǎn))重級(jí)均≥k(j)，且g#(ζ)≤g#(0)=1。

注這是Zalcman引理的推廣，亦稱為Zalcman引理，其中，當(dāng)k=1,j=1,α=0時(shí)是Zalcman最先的結(jié)果。上面的形式是經(jīng)龐學(xué)誠(chéng)[10]，Schwick[11]，陳懷惠和顧永興[12]推廣而得到的。

本文常用的Zalcman引理是龐學(xué)誠(chéng)和Zalcman對(duì)上面的結(jié)果所做的進(jìn)一步的推廣。

引理2[13](Pang-Zalcman引理)設(shè)k為正整數(shù)，F(xiàn)是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族，f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k，假設(shè)存在A≥1，使得當(dāng)f(z)=0時(shí)，有|f(k)(z)|≤A對(duì)?f∈F都成立。如果F在單位圓內(nèi)不正規(guī)，則對(duì)0≤α≤k，存在正數(shù)r,0

在復(fù)平面上按球距內(nèi)閉一致地成立。這里g(ζ)為復(fù)平面上的一個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，其零點(diǎn)重級(jí)至少為k，且g#(ζ)≤g#(0)=kA+1。特別地，g(ζ)的級(jí)至多為2。

引理3[14]設(shè)函數(shù)序列{fn(z)}在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi)閉一致收斂到一個(gè)不恒為零的函數(shù)，γ是D內(nèi)可求長(zhǎng)的閉曲線，其內(nèi)部屬于D，且不經(jīng)過(guò)f(z)的零點(diǎn)，則存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，在γ內(nèi)部，fn(z)和f(z)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是相同的。

引理4[15-16](Hayman不等式)設(shè)f(z)是一個(gè)亞純函數(shù)，a為非零復(fù)數(shù)，k為正整數(shù)。若f(z)≠0,f(k)(z)≠a，則f(z)是一個(gè)常數(shù)。

2 定理6的證明

證明假設(shè)F在D上不正規(guī)，不失一般性，由引理2得：

按球面距離內(nèi)閉一致收斂，這里g(ξ)是復(fù)平面C上的非常數(shù)亞純函數(shù)，且滿足g(k)(ξ)≤g(k)(0)=k(|a|+1)+1。

證明g(k)(ξ)≠a,g(ξ)≠0。先證g(k)(ξ)≠a。

所以ξ0是g(k)(ξ)的a-值點(diǎn)，是重級(jí)的。

假定ξ0是g(k)(ξ)的l重a-值點(diǎn)(l≥2)，則g(k+l)(ξ0)≠0，從而存在δ>0，當(dāng)|ξ-ξ0|<δ時(shí)，有

g(k+l)(ξ)≠0

(1)

所以這l個(gè)a-值點(diǎn)均是單級(jí)的。即當(dāng)i≠j時(shí)，ξni≠ξnj。所以g(k+l)(ξ0)=0，這與式(1)矛盾。

因此g(k)(ξ)≠a得證。

再證g(ξ)≠0。

假設(shè)存在ξ0，使g(ξ0)=0。由Hurwitz定理，存在ξn，ξn→ξ0，當(dāng)n充分大時(shí)，有

根據(jù)引理4得，g(ξ)是一個(gè)常數(shù)。這與假設(shè)相矛盾。從而定理6得證。

目前，正規(guī)族的相關(guān)理論在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)微分方程、模分布和整函數(shù)唯一性等方面都有著廣泛的應(yīng)用。另外，將正規(guī)族理論應(yīng)用到亞純函數(shù)唯一性的研究中，已取得了一些很好的結(jié)果。

[1] 楊樂(lè).值分布論及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[2] LIU X J,LI S H,PANG X C.A normal criterion about two families of meromorphic functions concering shared values[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2013(1):151-158.

[3] SCHWICK W.Sharing values and normality[J].Arch Math,1992,59:50-54.

[4] PANG X,LAWRENCE Z. Normality and shared values[J].Arkiv for Matematik,2000,38:171-182.

[5] 顧永興,龐學(xué)誠(chéng),方明亮.正規(guī)族理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[6] 段曦盛,謝莉.分擔(dān)值與亞純函數(shù)的正規(guī)性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2013,33A(2):242-245.

[7] ZHANG G M,PANG X C,ZALCMAN L.Normal families and omitted functions II[J].Bull London Math Soc,2009,41:63-71.

[8] 王雪琴.亞純函數(shù)的分擔(dān)值與正規(guī)族[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2014,34A(4):1008-1013.

[9] ZALCMAN L.A heuristic principle in complex function theory[J],Ame Math Mont,1975(82):813-817.

[10] PANG X.Blochs principle and normal criterion[J].Sci China Ser A,1989(32):782-791.

[11] SCHWICK W.Normality Crietion for families of meromorphic functions[J].Anal Math,1989,52:241-289.

[12] 陳懷惠,顧永興.Marty定則的改進(jìn)及應(yīng)用[J].中國(guó)科學(xué)A輯,1993,23(2):123-129.

[13] 龐學(xué)誠(chéng).亞純函數(shù)的正規(guī)族與正規(guī)函數(shù)[J].數(shù)學(xué)年刊A輯,2000(5):601-604.

[14] 方企勤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京:北京大學(xué)出版社,1996.

[15] HAYMAN W K.Picard Value of Meromorphe functions And Their Derivatives[J].Annals of Mathematics,1959,70:9-42.

[16] LI S,GAO Z.Results on a question of Zhangand Yang[J].Acta Math Sci Ser B Engl Ed,2012,32:717-723.

NormalFamiliesofMeromorphicFunctionsInvolvingHigherDerivativeSharingValues

LVFengjiao1,LIUZhixiu2

(1.Collge of Information Engineering, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China;2.College of Science, Nanchang Institute of Technology, Nanchang 330099, China)

The development of the normal family theory has undergone the process of using Nevanlinna value distribution theory and L.Zalcman lemma to simplify many formal rules proving that large numbers of original values are eliminated. A series of new normal rules are also established. It is an important subject for the study of the normal family theory of meromorphic functions to combine the normal families of meromorphic functions with the shared values or the shared set. At present, the theory of normal families have important applications in complex dynamical systems, complex differential equations, module distribution and the uniqueness of entire functions. The value distribution theory of meromorphic functions is mainly discussed, and the normality of meromorphic functions related to higher order derivative sharing values is studied by using the L.Zalcman lemma, which improved the existing results. Main results are as follows: LetFis families of meromorphic functions onD.Letkis a positive integer andais non-zero finite complex number. If for everyf∈F, zero magnitude off(z)-aof at leastk+1, andf(z),f(k)(z) andf(k+1)(z) share a with IM, thenFis normal onD.

meromorphic function; higher derivative; shared values; normal family

O174.52

A

2017-07-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(U1304102)；鄭州市科技局基金項(xiàng)目(20141375)；南昌工程學(xué)院青年基金項(xiàng)目(2014KJ025)

呂鳳姣(1983-)，女，河南商丘人，講師，主要從事復(fù)分析方面的研究，(E-mail)lvfengjiao_2008@163.com

1673-1549(2017)05-0079-04

10.11863/j.suse.2017.05.14