周培培

(江蘇省泰州中學(xué)，江蘇 泰州 225300)

進階變式最值教學(xué)設(shè)計漫談

周培培

(江蘇省泰州中學(xué)，江蘇 泰州 225300)

變式教學(xué)是復(fù)習(xí)教學(xué)的主導(dǎo)方式，進階式變式教學(xué)旨在提升教學(xué)的層次性，讓學(xué)生學(xué)習(xí)呈現(xiàn)螺旋式上升的一種過程，也為教師教學(xué)設(shè)計能力的提升提供更多的探索.

變式教學(xué)；進階式；數(shù)學(xué)；設(shè)計；最值；復(fù)習(xí)

在習(xí)得新概念知識之后，學(xué)生對新知識處于一個似懂非懂的階段，因此教師可以通過“進階式”變式教學(xué)的設(shè)計、分析幫助學(xué)生從抽象的理論知識搭一條通向?qū)嵺`操作的棧道.“進階式”變式教學(xué)能從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從單一知識到綜合知識，層層逼近、步步提高，做到穩(wěn)中前進，穩(wěn)步發(fā)展地掌握知識和技能，提高知識的理解和運用能力，使學(xué)生對顯性知識的掌握能一步一腳印，踏踏實實.“進階式”變式教學(xué)成為復(fù)習(xí)教學(xué)有效、高效的一種良好教學(xué)方式.筆者在復(fù)習(xí)教學(xué)中，以多種不同的，類型嘗試進階式變式教學(xué)：

一、從淺入深型設(shè)計

“進階式”變式教學(xué)的選擇要由淺入深、由易到難，由表及里，由淺、易、表的例題先使學(xué)生夯實基礎(chǔ)知識，在符合學(xué)生具體學(xué)情的情況下，再逐步提升難度，逐步加大坡度，讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)逐步提高解題能力，同時也可以培養(yǎng)學(xué)生的自信，勇于實踐探索的精神.由淺入深型是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中鞏固顯性知識的習(xí)得的最實際最有效的途徑之一.

例如，二次函數(shù)中的恒成立問題是教學(xué)的一個重點也是難點，所以在解決此類問題的時候多數(shù)采用“低起點，小步快進” 逐步提升難度，逐步加大坡度.

問題1 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a在R上f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析顯然本題二次函數(shù)的恒成立屬于簡單問題，本質(zhì)是單元最值的求解.在實數(shù)集上恒成立可以從函數(shù)視角切入，以初中三個二次的基本關(guān)系不難判別問題的基本解決思路.

進階變式1 若x∈[-2,2]時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析對于給出給定區(qū)間的二次函數(shù)恒成立問題，自然難度進階了，從圖形結(jié)合的角度來看，以對稱軸分類的解決方案應(yīng)運而生.其設(shè)計思路明顯將問題1(初中數(shù)學(xué)問題)——進階變式1(高中分類角度).

進階變式2 若x∈[-2,2]時，f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

分析進階變式2，問題本質(zhì)與變式1如出一轍，可以作為給學(xué)生提供同類型問題訓(xùn)練的設(shè)計，教師在此的設(shè)計出于鞏固目的.

進階變式3 函數(shù)f(x)=x2-2x-3在x∈[a,a+1]上大于等于0恒成立，求a的取值范圍.

分析教師在此處的設(shè)計顯然將問題從“動函數(shù)定區(qū)間”轉(zhuǎn)換為“定函數(shù)動區(qū)間”型，顯然問題的分類與變式1、2類似，但是問題的變換還是體現(xiàn)了學(xué)生是否真正理解為什么需要引入分類的視角，對于“動函數(shù)定區(qū)間”和“定函數(shù)動區(qū)間”問題類型的掌握，體現(xiàn)了學(xué)生基本問題的理解和運用.

進階變式4 若對任意的實數(shù)x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求k的取值范圍.

分析很明顯，教師設(shè)計變式4的目的是加入了“換元思想”，其本質(zhì)依舊是變式2，通過轉(zhuǎn)換為t=cosx∈[-1,1]的二次函數(shù)模型進行分類求解，學(xué)生對于問題的理解可以從思想的角度更進一步.

進階變式5 已知奇函數(shù)f(x)定義在R上，且在[0,+)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)，對所有θ∈[0,]都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍；若不存在，說明理由.

分析以抽象函數(shù)為背景的設(shè)計，將換元二次函數(shù)問題包裝進入抽象函數(shù)的載體之中，運用知識整合的命題設(shè)計思路，將問題層層疊加，達到進階的目的.變式5體現(xiàn)了三個層次：其一是利用函數(shù)性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為變式4形態(tài)；其二是換元思想下的二次函數(shù)模型的提煉；其三是問題變式2的基本分類視角.可以說教師精心的層層遞進式的設(shè)計，旨在提高學(xué)生對二次函數(shù)恒成立問題的知識理解和思想認(rèn)識.

二、單一到綜合型設(shè)計

新概念課程中由于學(xué)生初次接觸新知識，對其還很陌生，例題的選取應(yīng)先從應(yīng)用概念、公式進行判斷、辨析、計算等單一知識的實際操作，讓學(xué)生夯實了雙基之后，再嘗試進行綜合題型的分析.綜合題主要涉及代數(shù)、幾何等相同學(xué)科的多方面內(nèi)容以及不同學(xué)科之間的相通內(nèi)容，所應(yīng)用的知識和技巧比較多，有助于學(xué)生對所學(xué)的顯性知識融會貫通，起到能力提高的作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用能力.例如

問題2 已知實數(shù)x、y滿足(x+1)2+(y-3)2=4，求x+y的最大值和最小值.

分析以單一知識進行了兩元最值問題的求解，可以從三角換元的視角切入，也可以從幾何意義的截距視角分析，屬于單一知識型問題.

進階變式1 求ax+by(a,b為參數(shù))的最大值和最小值.

分析將問題提升到參數(shù)級別，其解決方式大同小異.

進階變式3 求(x+t)2+(y-2t)2(-2≤t≤1)的最大值和最小值.

分析從幾何意義的視角來得更為直觀，即圓上的點到線段上點的距離的最值問題探討，參數(shù)的引入需要思考其意義何在？知識漸漸從熟知的截距和斜率向綜合型知識發(fā)散，涉及到距離探索.

進階變式4 求(x-2cosα)2+(y-sinα)2(α為參數(shù))的最大值和最小值.

分析與變式3類似，但曲線從線段向圓轉(zhuǎn)變，其本質(zhì)研究量不同圓上雙動點之間的距離最值，從單一知識繼續(xù)向綜合型能力拓展.

本問題將最常見的求最值問題整合到一個題根下，匯集了借助于非線性的規(guī)劃問題；分式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為過定點的直線的斜率問題；動點到動點距離的最值等價到圓心到線段的距離加減半徑，最后歸結(jié)為線段與圓上兩動點見距離的最值；圓與橢圓上兩動點間的距離的最值.

限于篇幅，筆者就單元最值和兩元最值作出了進階式變式教學(xué)的思考，旨在思考如何通過教師的合理設(shè)計讓學(xué)生層層遞進的理解最值的求解，如何靈活的將知識進行整合思考，是復(fù)習(xí)教學(xué)有效、高效的嘗試.

[1]李渺.如何在數(shù)學(xué)課堂叫徐中促進學(xué)生的思維建構(gòu)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2012(3).

[2]何聰.一個例題開放式探索課的設(shè)計與反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2014(4).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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1008-0333(2017)24-0013-02

2017-06-01

周培培(1982.06-)，女，江蘇泰州人，本科，中學(xué)一級,主要從事學(xué)校教學(xué)工作.