王世禮, 楊 彪，2

(1.昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院,云南 昆明 650500；2.昆明理工大學(xué) 教育部非常規(guī)冶金重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,云南 昆明 650500)

基于新閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法*

王世禮1, 楊 彪1，2

(1.昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院,云南昆明650500；2.昆明理工大學(xué)教育部非常規(guī)冶金重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,云南昆明650500)

針對(duì)硬閾值函數(shù)不連續(xù)和軟閾值函數(shù)中估計(jì)小波系數(shù)與分解小波系數(shù)之間存在著恒定偏差的缺點(diǎn)，構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)。同時(shí)，為了增強(qiáng)去噪效果，采用了模糊控制算法對(duì)新閾值函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)、動(dòng)態(tài)地調(diào)節(jié)。仿真結(jié)果表明：新閾值函數(shù)去除噪聲效果良好，信噪比和均方根誤差等性能指標(biāo)較傳統(tǒng)閾值法均有顯著提高。

閾值； 去噪； 閾值函數(shù)； 模糊控制

0 引 言

通常，含噪信號(hào)經(jīng)小波分解后，系數(shù)將大于噪聲系數(shù)，選擇一個(gè)合適的數(shù)λ作為臨界閾值，將小于該閾值的分解系數(shù)認(rèn)為由噪聲引起，予以舍棄；而大于該閾值的分解系數(shù)認(rèn)為主要由信號(hào)引起，加以保留，此即閾值去噪[1]。Donoho D L和Johnstoe J M[2～4]提出了小波閾值去噪方法，基本思想：當(dāng)小波系數(shù)小于某個(gè)臨界閾值時(shí)，認(rèn)為其主要是由噪聲引起的，予以舍棄；當(dāng)小波系數(shù)大于該臨界閾值時(shí)，將這部分的系數(shù)直接保留(硬閾值方法)或按照某一固定量向零收縮(軟閾值方法)，最后用新的小波系數(shù)進(jìn)行小波重建，得到去噪后的信號(hào)。

1 傳統(tǒng)的閾值函數(shù)

小波閾值去噪法的流程如圖1所示。

以上流程中，小波基和分解層數(shù)j的選擇，閾值λ的選擇規(guī)則及閾值函數(shù)的設(shè)計(jì)，均為影響去噪效果的關(guān)鍵因素。

圖1 小波閾值去噪法流程

硬閾值函數(shù)保留了大于閾值的小波系數(shù)，其他系數(shù)置零，其表達(dá)式為[4]

(1)

由硬閾值函數(shù)的表達(dá)式可以看出硬閾值函數(shù)在整個(gè)小波域內(nèi)不連續(xù)，在±λ處存在間斷點(diǎn)，且對(duì)大于閾值的小波系數(shù)不做處理，保留了其中的噪聲分量，產(chǎn)生較大的方差，并沒(méi)有隨分解尺度變化而變化，產(chǎn)生“過(guò)扼殺”現(xiàn)象[5]。

軟閾值函數(shù)對(duì)于大于閾值的小波系數(shù)采取向小波系數(shù)幅值減小的方向共同收縮一個(gè)閾值的策略，而其他系數(shù)置零，表達(dá)式為[3]

(2)

軟閾值法雖然保證了連續(xù)性問(wèn)題，但其高階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，且對(duì)大于閾值的小波系數(shù)采取恒定收縮與噪聲的小波系數(shù)分量隨系數(shù)幅值增加而減小的規(guī)律不一致，產(chǎn)生較大偏差。為了解決硬閾值和軟閾值函數(shù)存在的問(wèn)題，學(xué)者提出了介于硬、軟閾值函數(shù)之間的半軟閾值方法[6]。

半軟閾值函數(shù)采用了上、下2個(gè)閾值，大于上閾值的小波系數(shù)保留其值；小于或等于下閾值的小波系數(shù)置零；介于上、下閾值之間的小波系數(shù)則進(jìn)行線性收縮，其表達(dá)式為

(3)

半軟閾值函數(shù)在一定程度上改善了軟、硬閾值函數(shù)的不足之處，既保留了較大的小波系數(shù)，又保證了連續(xù)性，但由于該閾值函數(shù)需確定2個(gè)閾值，大大增加了算法的復(fù)雜度。此外，半軟閾值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。

本文提出了一個(gè)介于硬、軟閾值之間的新閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)不僅滿足閾值函數(shù)的連續(xù)性，而且高階可導(dǎo)。為了獲得更好的去噪效果，仿真實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，結(jié)合模糊控制算法對(duì)信號(hào)去噪過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化，動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)新閾值函數(shù)參數(shù)，最后獲得了良好的去噪效果。

2 新閾值函數(shù)構(gòu)建

2.1 新閾值函數(shù)

為了克服傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，增強(qiáng)去噪效果，提出了一種新的閾值函數(shù)，新閾值函數(shù)考慮了硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的特征。其表達(dá)式為

(4)

式中a，b，c均為可調(diào)節(jié)參數(shù)，取值范圍為(0，1)。

2.2 新閾值函數(shù)特點(diǎn)

新閾值函數(shù)滿足以下3點(diǎn)要求：隨著小波系數(shù)的增加，新閾值函數(shù)漸近線為硬閾值函數(shù)曲線；在小波域內(nèi)和軟閾值函數(shù)有著相同的連續(xù)性；在|ωj,i|>λ和|ωj,i|<λ范圍內(nèi)，新閾值函數(shù)高階可導(dǎo)。可由以下3方面證明：

1)新閾值函數(shù)在(-∞，-λ] 和 [+λ，+∞)定義域內(nèi)的漸近線為硬閾值曲線。

2)新閾值函數(shù)在定義域(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)。

3)新閾值函數(shù)在臨界閾值-λ和+λ處高階可導(dǎo)，在整個(gè)定義域(-∞，+∞)內(nèi)處處可導(dǎo)。

為了更形象、直觀地反映新閾值函數(shù)，繪制不同a，b，c值對(duì)應(yīng)的新閾值函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 不同參數(shù)值對(duì)應(yīng)的新閾值函數(shù)曲線

3 確定小波基和分解層數(shù)

考慮到同信號(hào)、不同信噪比下均存在一個(gè)去噪效果最好或接近最好的分解層數(shù)。分解層數(shù)過(guò)多，對(duì)各層小波空間系數(shù)進(jìn)行閾值處理會(huì)造成信號(hào)的信息丟失嚴(yán)重，信噪比下降，且運(yùn)算量大，處理變慢；分解層數(shù)過(guò)少，去噪效果不理想，信噪比不會(huì)下降，但是提高不多[7～9]。選用db5小波作為處理含噪信號(hào)的小波基函數(shù)，選擇分解層數(shù)為5層。

4 參數(shù)調(diào)節(jié)

為了更好地去噪，采用了模糊控制算法[10～13]，計(jì)算信噪比差值動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)新閾值函數(shù)中的可調(diào)節(jié)參數(shù)a,b,c的值，算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，實(shí)時(shí)性強(qiáng)，具體流程如圖3所示。

圖3 由信噪比差值選擇參數(shù)值流程

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及試驗(yàn)測(cè)試，得到參數(shù)a，b，c模糊控制規(guī)則如表1所示。

表1 參數(shù)模糊控制規(guī)則表

5 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

實(shí)驗(yàn)采用Matlab軟件，選取用于測(cè)試小波去噪效果的典型測(cè)試數(shù)據(jù)Droppler，Bumps信號(hào)，對(duì)其加入SNR=10 dB的高斯白噪聲，分別用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)以及新閾值函數(shù)進(jìn)行仿真。Droppler信號(hào)去噪后的波形如圖 4所示，Bumps信號(hào)去噪后的波形如圖5所示。

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和所得數(shù)據(jù)可知：

1)含噪的Droppler和Bumps信號(hào)經(jīng)硬閾值函數(shù)去噪后，波形仍有振蕩；經(jīng)軟閾值函數(shù)去噪后，波形比較平滑；新閾值函數(shù)處理后的波形更加平滑，沒(méi)有附加振蕩。同時(shí)由信噪比和均方誤差指標(biāo)可知，新閾值函數(shù)較傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)提高了信噪比SNR，并且均方誤差MSE明顯減小,如表2。

2)新閾值函數(shù)在信號(hào)去噪過(guò)程中，結(jié)合模糊控制算法，根據(jù)每一時(shí)刻的信噪比差值，對(duì)新閾值函數(shù)參數(shù)a，b，c進(jìn)行了動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，去噪效果良好。

圖4 Droppler信號(hào)去噪后結(jié)果

圖5 Bumps信號(hào)去噪后結(jié)果

6 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合模糊控制算法，根據(jù)信噪比差值，實(shí)時(shí)、動(dòng)態(tài)、合適地選擇新閾值函數(shù)中的參數(shù)。仿真結(jié)果表明：相比于硬、軟閾值函數(shù)，新閾值函數(shù)進(jìn)一步提高了去噪信號(hào)的信噪比，減小了均方誤差，獲得了較好的去噪效果。

表2 各閾值函數(shù)對(duì)Droppler和Bumps信號(hào)去噪后的信噪比和均方差數(shù)據(jù)

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Waveletthresholddenoisingalgorithmbasedonnewthresholdfunction*

WANG Shi-li1, YANG Biao1,2

(1.FacultyofInformationEngineeringandAutomation,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China;2.KeyLaboratoryofUnconventionalMetallurgy,MinistryofEducation,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China)

A new threshold function is constructed to overcome shortcomings of constant deviation between the estimated wavelet coefficients and the decomposed wavelet coefficients in the discontinuous of hard threshold function and soft threshold function.At the same time,in order to enhance the denoising effect,use fuzzy control algorithm to adjust the parameters of the new threshold function in real time and dynamic.The simulation results show that the new threshold function has a good effect on removal of noise,and the signal to noise ratio and the root mean square error are significantly improved compared with the traditional threshold method.

threshold; de-noising; threshold function; fuzzy control

10.13873/J.1000—9787(2017)10—0144—03

2016—10—18

昆明理工大學(xué)引進(jìn)人才科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(KKSY201503006)

TN 911.7

A

1000—9787(2017)10—0144—03

王世禮(1991-),男,碩士研究生，研究方向?yàn)槎辔锢韴?chǎng)耦合分析及數(shù)值計(jì)算，E—mail：1335325647@qq.com。楊 彪，男，通訊作者，副教授，研究生導(dǎo)師，從事冶金多物理場(chǎng)耦合分析及數(shù)值計(jì)算、多源饋能效能評(píng)估、特種場(chǎng)冶金智能控制等方面的研究工作，E—mail:ybiaocn@163.com。