王 芳

“等可能條件下的概率”易錯(cuò)點(diǎn)

王 芳

概率問(wèn)題在每年中考中都占有不可忽略的地位，但是不少同學(xué)在計(jì)算概率時(shí)常會(huì)犯一些錯(cuò)誤，導(dǎo)致失分，令人痛心.下面就同學(xué)們?cè)诟怕蕟?wèn)題中出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤舉例加以分析.

易錯(cuò)點(diǎn)1 對(duì)等可能性理解不透徹

例1 判斷下列各試驗(yàn)的結(jié)果哪些具有等可能性.

（1）拋擲一枚均勻的正方體骰子，面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果；

（2）拋擲一顆圖釘，頂尖朝上和朝下的結(jié)果；

（3）一只不透明的袋中裝有3個(gè)紅球和5個(gè)藍(lán)球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，出現(xiàn)紅球和藍(lán)球的結(jié)果.

【錯(cuò)解】（1）（2）（3）的試驗(yàn)結(jié)果都具有等可能性.

【正解】（1）的試驗(yàn)結(jié)果具有等可能性，（2）（3）兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性.

【錯(cuò)解辨析】拋擲一枚均勻的正方體骰子，面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)和偶數(shù)各有3種等可能的結(jié)果，所以試驗(yàn)（1）的結(jié)果具有等可能性.因?yàn)閳D釘不均勻，在拋擲中釘尖朝上和朝下的機(jī)會(huì)不均等，所以試驗(yàn)（2）的結(jié)果不具有等可能性.錯(cuò)解認(rèn)為拋擲的圖釘只有釘尖朝上或朝下兩種結(jié)果，所以試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性.從一只裝有3個(gè)紅球和5個(gè)藍(lán)球的袋子中任意摸出一個(gè)球有8種等可能的結(jié)果，而從中摸出紅球和藍(lán)球的結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)不均等，所以這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果不具有等可能性.錯(cuò)解認(rèn)為袋中有兩種顏色的球，所以摸到每種顏色的球的機(jī)會(huì)是均等的，所以這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性.

易錯(cuò)點(diǎn)2 求概率時(shí)忽略等可能條件

例2 已知甲袋中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球，1個(gè)白球，從甲、乙兩袋中各摸出一個(gè)球，摸出的兩個(gè)球都是紅球的概率是多少？（兩種球只有顏色不同.）

【錯(cuò)解】用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果如下圖所示.從樹(shù)狀圖可以看出一共有4種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)球都是紅球的結(jié)果有1種，所以摸出的兩個(gè)球都是紅球的概率為

【正解】分別用白、紅1、紅2表示甲袋中的3個(gè)球，用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果如下圖所示，從樹(shù)狀圖可以看出一共有6種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)球都是紅球的結(jié)果有2種，所以摸出的兩個(gè)球都是紅球的概率為

【錯(cuò)解辨析】甲袋中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，故摸出紅球和白球的可能性不相同.錯(cuò)解認(rèn)為只有兩種顏色的球，摸出紅球和白球的可能性相同，從而造成解題錯(cuò)誤.應(yīng)將甲袋中的兩個(gè)紅球編號(hào)，編號(hào)為紅1、紅2，這樣摸出白球、紅球1、紅球2才是等可能的.利用表格或樹(shù)狀圖求概率直觀形象，但是有時(shí)由于考慮問(wèn)題不全面，常會(huì)出現(xiàn)遺漏，造成解題錯(cuò)誤，因此在列表或畫樹(shù)狀圖時(shí)，一定要全面考慮，將所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都列出來(lái)，做到不重不漏.

易錯(cuò)點(diǎn)3 審題不清

例3 不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個(gè)，黃球有1個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是白球的概率為

（1）試求袋中藍(lán)球的個(gè)數(shù)；

（2）第一次任意摸一個(gè)球（不放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表法，求兩次摸到的球都是白球的概率.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的解，所以藍(lán)球有1個(gè).（2）畫樹(shù)狀圖如圖所示.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的解，所以藍(lán)球有1個(gè).（2）畫樹(shù)狀圖如圖所示.故兩次摸到的球都是白球的概率

【錯(cuò)解辨析】題目中明確要求“第一次任意摸一個(gè)球（不放回）”就意味著第二次不可能摸到第一次已摸出的球.所以認(rèn)真審題是解題的關(guān)鍵，忽略任意一個(gè)小的細(xì)節(jié)都會(huì)造成整個(gè)題目的錯(cuò)解.

小試牛刀

1.如圖，電路圖上有四個(gè)開(kāi)關(guān)A、B、C、D和一個(gè)燈泡，閉合開(kāi)關(guān)D或同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)A、B、C都可使燈泡發(fā)光.

（1）任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為多少？

（2）任意閉合其中兩個(gè)開(kāi)關(guān)，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求出小燈泡發(fā)光的概率.

2（.2015·株洲）從2，3，4，5，6中任意選兩個(gè)數(shù)，記作a和b，那么點(diǎn)（a，b）在函數(shù)圖像上的概率是多少？

3.（2015·荊門）在排球訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人相互傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球（記作為第一次傳球），則經(jīng)過(guò)三次傳球后，球仍回到甲手中的概率是多少？

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)第二中學(xué)）