陳 學(xué)

“三數(shù)兩差”中的典型問題分析

陳 學(xué)

在“數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度”這一章中我們主要學(xué)習(xí)了“三數(shù)”和“兩差”，即體現(xiàn)數(shù)據(jù)集中趨勢的“三數(shù)”——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散程度的“兩差”——極差、方差.

一、平均數(shù)

平均數(shù)分為算數(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù).

平均數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征的數(shù)字，平均數(shù)的大小與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)都相關(guān).它是一組數(shù)據(jù)的“重心”.

例1 節(jié)約用水、保護(hù)水資源，是全社會共同的責(zé)任，某校開展“節(jié)約每一滴水”活動，為了解一個(gè)月以來節(jié)約用水情況，從九年級的500名同學(xué)中選出20名同學(xué)統(tǒng)計(jì)了解各自家庭一個(gè)月的節(jié)水情況，見下表：

請你估計(jì)這500名同學(xué)的家庭一個(gè)月節(jié)約用水的總量大約是____.

【分析】根據(jù)表格可求得所選出的20名同學(xué)平均每家一個(gè)月的節(jié)水量：（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），所以500名家庭一個(gè)月節(jié)約用水的總量大約為500×0.325=162.5（m3）.

【答案】162.5m3.

（1）當(dāng)f1=f2=…=fk=1時(shí)，即k=n時(shí)，加權(quán)平均數(shù)公式就是平均數(shù)公式.

（2）各數(shù)據(jù)的權(quán)改變，加權(quán)平均數(shù)也隨之改變.

同學(xué)們不妨改變題中的數(shù)據(jù)試一試.

二、中位數(shù)

一般地，當(dāng)將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或正中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

例2 一組數(shù)據(jù)27，30，29，28，30的中位數(shù)是____.

【分析】把這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為27，28，29，30，30，最中間的數(shù)為29，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29.

【答案】29.

例3 一組數(shù)據(jù)4，3，6，9，6，5的中位數(shù)是____.

【分析】把這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為3，4，5，6，6，9，最中間的兩個(gè)數(shù)5和6的平均數(shù)為5.5，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5.5.

【答案】5.5.

【點(diǎn)評】（1）求中位數(shù)時(shí)，數(shù)據(jù)必須按序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）中位數(shù)不一定是已知數(shù)據(jù)中的數(shù)（如例3，中位數(shù)是5.5，但不是原數(shù)據(jù)中的數(shù)）.

三、眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能有一個(gè)，也可能不止一個(gè).

例4 某排球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如下表所示：

求該隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù).

【分析】由眾數(shù)定義可知，數(shù)據(jù)19出現(xiàn)4次，次數(shù)最多，所以該隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)為19歲.

【點(diǎn)評】眾數(shù)是“數(shù)”出來的，只要理解相關(guān)概念，問題不難解決.

四、極差

一組數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差稱為極差，它能體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動的范圍.

例5 在演奏比賽中,某班8名學(xué)生成績分別為80，80，85，90，90，90，90，95，則這8名學(xué)生成績的極差是多少？

【分析】根據(jù)極差的定義，找出最大數(shù)與最小數(shù)即可求出極差為15.

五、方差

方差也是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量，它是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù).在許多實(shí)際問題中，研究方差有著重要意義.

例6 某校八年級學(xué)生開展踢毽子比賽活動，每班派5名學(xué)生參加.按團(tuán)體總分排列名次，在規(guī)定時(shí)間每人踢100個(gè)以上（含100個(gè)）為優(yōu)秀.下表是成績最好的甲班和乙班5名學(xué)生的比賽數(shù)據(jù)（單位：個(gè)），經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)兩班總分相等，此時(shí)有學(xué)生建議，可通過考查數(shù)據(jù)中的其他信息作為參考.請你回答下列問題：

（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)填寫下表：

（2）根據(jù)以上信息，你認(rèn)為應(yīng)該把冠軍獎狀發(fā)給哪一個(gè)班級?簡述理由.

【分析】（1）甲班優(yōu)秀人數(shù)為3人，乙班優(yōu)秀人數(shù)為2人，除以總數(shù)即得優(yōu)秀率；將數(shù)據(jù)分別從小到大排列，即可得中位數(shù)；方差是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù).

（2）理解各數(shù)據(jù)表達(dá)的意義即可解答.

【答案】

（1）

（2）應(yīng)該把冠軍獎狀發(fā)給甲班.

因?yàn)閮砂嗟钠骄窒嗤装嗟膬?yōu)秀率比乙班高，比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)也比乙班大，同時(shí)甲班比賽數(shù)據(jù)的方差比乙班小，說明甲班的成績比較穩(wěn)定.

綜合分析，甲班的成績好，所以應(yīng)該把冠軍獎狀發(fā)給甲班.

【點(diǎn)評】方差是衡量一組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的重要因素，是測算數(shù)值離散程度的重要方法.

六、“三數(shù)”“兩差”異同

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)和中位數(shù)只有一個(gè)，而眾數(shù)可能有幾個(gè)；極差、方差都是描述數(shù)據(jù)離散程度的量.

平均數(shù)的計(jì)算要用到所有的數(shù)據(jù)，它能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中較為常用,但它受極端值的影響較大.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往是人們關(guān)注的一個(gè)量，它不受極端值的影響，這是它的一個(gè)優(yōu)勢.中位數(shù)只需要少量計(jì)算，不受極端值的影響，在有些情況下這是一個(gè)優(yōu)點(diǎn).極差能夠體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的波動范圍.方差是衡量一組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的重要因素.在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體情況，選擇適當(dāng)?shù)牧縼矸治?

（作者單位：江蘇省宿遷市泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）