楊笑

【摘要】高考中概率問題越來越凸現(xiàn)出它的重要位置，成為高考命題的一個新視角，主要是18或19題，應(yīng)用意識強，背景豐富。人教版數(shù)學(xué)必修三的古典概型與幾何概型是教學(xué)中的重點內(nèi)容，也是高考的熱點。教育教學(xué)中概率問題中的等可能性是我們研究古典概型與幾何概型的基礎(chǔ)與關(guān)鍵。

【關(guān)鍵詞】概率；古典概型；幾何概型；等可能性

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）07-0188-02

古典概型與幾何概型是教學(xué)中的重點內(nèi)容。而明確概率問題中的等可能性是我們研究古典概型與幾何概型的基礎(chǔ)與關(guān)鍵。當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r，其相應(yīng)隨機事件發(fā)生的概率通常也是不同的。不能準(zhǔn)確的判斷問題中等可能性會使我們的解題失去方向，使判斷失誤從而得出錯誤的結(jié)果。筆者將從下面幾個例子來說明如何準(zhǔn)確把握“等可能性”。

·在古典概型教學(xué)中

·決策中的公平性

現(xiàn)實生活中，有時會碰到難以取舍、難以抉擇的問題，對于這種問題很多時

候采用抽簽的方法來解決。而在具體抽簽過程中，有人認為中簽的機會不等，這與抽簽的順序有關(guān)；有人則認為這跟抽簽的順序無關(guān)。到底誰是誰非，下面以例題說明。

例1：某單位組織一次出國學(xué)習(xí)的活動，某科室有6名成員，只有一個名額，每個人都很想?yún)⒓?，無奈之下，采用抽簽的方式?jīng)Q定誰去參加活動。6張同樣卡片，只有一張上面寫有“參加活動”的字樣，其余均為空白。放在一起、洗勻，讓6個人依次抽取，計算一下每人中簽的概率。

解析：記表示“第個人抽到‘參加活動卡片”的概率（）。

第1個人抽到“參加活動”卡片的概率，若第2個人抽到“參加活動”卡片，那第1個人一定沒有抽到，第1個人沒有抽到“參加活動”卡片的概率為，則。

同理，要想第3個人抽到“參加活動”卡片，則第1、2個人都沒抽到，則。

同理，，即6個人抽簽，每個人中簽的概率相等。

正是由于抽簽中不管是第幾次抽取，每次抽中的概率都相等，從而確保了公平、公正的原則，所以在實際生活中應(yīng)用非常多，包括一些重大的比賽中也都利用抽簽法來決定出場順序、對陣形式等。在數(shù)學(xué)中，也有很多類似于抽簽法原理的問題，如摸球問題等。以下例說明。

例2：一個口袋中有a只黑球，b只白球，它們大小相同編號不同，現(xiàn)在把球隨機地一只一只摸出來，則第k次摸出的球是黑球的概率是

解析：由上例同理可知，每次摸出任何球的可能性都是相同的。所以不論是第幾次摸出黑球，其概率都是相同的，它都與第一次摸出黑球的概率相同，即為。

·抓住關(guān)鍵仔細審題

例3：有紅、黃、藍三種顏色的小旗各3

面，任取其中3面掛于一根旗桿上，求：

（1）三面旗子全是紅色的概率；

（2）恰有二面旗子是紅色的概率。

解法1：

（1）共有種著色方法，三面旗子全是紅色的概率；

（2）恰有二面旗子是紅色的概率為。

解法2：掛第1、2、3面小旗時分別有9、8、7種不同的結(jié)果，

故由樹狀圖易知“任取其中3面掛于一根旗桿上”包含的基本事件共有個。

（1）記“三面旗子全是紅色”為事件A，則A包含的事件數(shù)為個，所以；

（2）記“恰有二面旗子是紅色”為事件B，則B包含的事件數(shù)確定如下（先取后掛）：“恰有二面旗子是紅色”包含的結(jié)果數(shù)為；“取出的3面小旗子掛于旗桿上”有6中不同的掛法，故事件B包含種不同結(jié)果，所以。

評析：題設(shè)“任取其中3面”之中包含的等可能性是指：每次取旗時，每面旗子被取到的可能性相等。由此并不能得出每次取三面小旗時，每種搭配被取到的可能性相等，如（黃，黃，黃），（紅，黃，藍）發(fā)生的概率分別為，故解法2確。

·在幾何概型的教學(xué)中

1、準(zhǔn)確區(qū)分幾何概型的類型

例4：直角三角形ABC中，，在斜邊AB上任取一點P，

求AP小于AC的概率。

解析：在AB上任取AM=AC，當(dāng)點P在線段AM內(nèi)時，有AP小于AC。這里應(yīng)選取長度為測度，得其概率

變形：直角三角形ABC中，，過直角頂點C在內(nèi)部任做一條射線CP，與線段AB相交于點P，求AP小于AC的概率。

解析：在AB上任取AM=AC，過C點的射線在內(nèi)旋轉(zhuǎn)，與AB交于點P，則問題轉(zhuǎn)化為求的概率。這里應(yīng)選取角度為測度，得其概率。

評析：在利用幾何概型的概率公式求解其概率時，幾何“測度”可以是長度、面積、體積、角度等，其中對于幾何度量為長度、面積、體積時的等可能性，主要體現(xiàn)在點落在區(qū)域Ω上任一位置都是等可能的，而對于角度而言，則是過角的頂點的一條射線落在 的區(qū)域（事實也是角）任一位置是等可能的。因此，對于背景相似的問題，一定要認真推敲，注意區(qū)別。

例5：用橡皮泥做成一個直徑為6cm的小球，假如橡皮泥中

混入一個很小的沙礫，求這個沙礫距球心不小于1cm的概率。

解法1：記“沙礫距球心不小于1cm”為事件A，球心為O，

沙礫位置為M，則事件A發(fā)生就是OM≥1成立。因為球的半徑為3cm，而3-OM≤2，所以。

解法2：設(shè)“沙礫距球心不小于1cm”為事件A，球心為O，

沙礫位置為M，則事件A發(fā)生就是OM≥1成立。因為，，所以，故沙礫距離球心不小于1cm的概率為。

評析：本題的等可能性為：沙礫在球內(nèi)的三維區(qū)域內(nèi)任一位

置的可能性相等，而不是在某條半徑上任一位（下轉(zhuǎn)192頁）（上接188頁）置的可能性相等，故本題應(yīng)用體積測度來解題。所以解法1錯誤，解法2正確。

明確問題中的等可能性是我們運用兩種概型中的概率公式解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵，平時學(xué)習(xí)要深刻理解有關(guān)公式的內(nèi)涵與應(yīng)用前提，而不要盲目到套用，這樣才能讓我們從似是而非的盲區(qū)中走出來，提高我們分析問題解決問題的能力。

參考文獻

[1]朱成萬.標(biāo)準(zhǔn).教材.課堂：中學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容結(jié)構(gòu)與建構(gòu)[M].北京：中國經(jīng)濟出版社，2015.6.

[2]高慧明.高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律與教學(xué)策略[M].福州：福建教育出版社，2016.3.endprint