王 濤,張洪波,王 征,湯國(guó)建

(1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410073;2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 研發(fā)中心,北京 100076)

遠(yuǎn)程彈道式飛行器機(jī)動(dòng)制導(dǎo)方法

王 濤1,張洪波1,王 征2,湯國(guó)建1

(1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410073;2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 研發(fā)中心,北京 100076)

以一種遠(yuǎn)程彈道式飛行器為研究對(duì)象,研究了彈道落點(diǎn)可以覆蓋大面積區(qū)域的機(jī)動(dòng)彈道設(shè)計(jì)及制導(dǎo)方法。采用蘭伯特定理設(shè)計(jì)機(jī)動(dòng)彈道,并采用迭代的方法對(duì)地球非球形攝動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。在考慮發(fā)動(dòng)機(jī)性能的基礎(chǔ)上,采用速度增益制導(dǎo)算法對(duì)飛行器進(jìn)行關(guān)機(jī)制導(dǎo)。為了保證再入點(diǎn)的高精度要求,提出了一種彈道修正制導(dǎo)算法,制導(dǎo)過(guò)程分為橫向制導(dǎo)和縱向制導(dǎo),橫向制導(dǎo)采取相平面法,縱向制導(dǎo)采用一種解析的閉路制導(dǎo)算法。仿真結(jié)果表明,該文方法能夠使飛行器較好地實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程機(jī)動(dòng)飛行,具有較好的魯棒性。

彈道設(shè)計(jì);機(jī)動(dòng);制導(dǎo);增益速度

Abstract:Taking large-range ballistic vehicle as research object,the maneuver scheme and guidance law making the fall-points of the vehicle cover a large area were studied.Lambert theory was used to design the maneuver trajectories,and the non-spherical perturbation of the earth on trajectories was compensated by iterative method.Considering the performance of engine performance,the velocity-gain guidance method was designed to determine the shut-off time of the engine.To improve the terminal precision,a correction guidance method was proposed,and the guidance process was divided into horizontal guidance and vertical guidance.The horizontal guidance is based on the phase plane while the vertical guidance is based on an analytical closed-loop guidance-law.The simulation results indicate that the proposed guidance law is effective and robust.

Keywords:trajectory design;maneuver;guidance;gain-velocity

彈道式飛行器在國(guó)防領(lǐng)域中發(fā)揮著不可替代的作用。為了提高飛行器的生存能力,飛行器機(jī)動(dòng)發(fā)射技術(shù)與多頭分導(dǎo)、機(jī)動(dòng)再入末制導(dǎo)技術(shù)的結(jié)合使用是未來(lái)發(fā)展的必然趨勢(shì)。

彈道式飛行器的制導(dǎo)方法主要分為攝動(dòng)制導(dǎo)和顯式制導(dǎo)兩大類(lèi)[1]。從V-2導(dǎo)彈發(fā)展至今日的洲際導(dǎo)彈,導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度提高了2個(gè)數(shù)量級(jí)。顯式制導(dǎo)逐漸取代了攝動(dòng)制導(dǎo),使制導(dǎo)精度能夠達(dá)到百米左右[2]。文獻(xiàn)[3]提出了預(yù)測(cè)閉路制導(dǎo)方法,采用數(shù)值方法預(yù)測(cè)目標(biāo)點(diǎn)偏差,并對(duì)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行修正,根據(jù)修正后的目標(biāo)點(diǎn)設(shè)計(jì)需要速度。文獻(xiàn)[4]基于蘭伯特定理設(shè)計(jì)閉路制導(dǎo)方法,為了提高制導(dǎo)精度,根據(jù)地球非球形攝動(dòng)構(gòu)造了虛擬目標(biāo)點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]為了消除閉路制導(dǎo)算法在關(guān)機(jī)點(diǎn)附近的不穩(wěn)定影響,給出了一種以目標(biāo)瞬時(shí)方位角為基準(zhǔn)的閉路制導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[6]研究了一種具有機(jī)動(dòng)性能的彈道導(dǎo)彈,設(shè)計(jì)了滿(mǎn)足再入點(diǎn)約束條件的機(jī)動(dòng)彈道,并研究了相應(yīng)的關(guān)機(jī)制導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[7]在對(duì)狀態(tài)量縮減的基礎(chǔ)上,利用偽譜法實(shí)現(xiàn)了彈道的快速重構(gòu),并將重構(gòu)結(jié)果實(shí)時(shí)反饋更新制導(dǎo)指令,提高了彈道的魯棒性。文獻(xiàn)[8]針對(duì)沒(méi)有末端修正裝置的導(dǎo)彈,設(shè)計(jì)了一種基于彈道傾角的制導(dǎo)方法,采用蘭伯特定理實(shí)時(shí)生成滿(mǎn)足彈道傾角約束的彈道,并調(diào)整制導(dǎo)指令進(jìn)行跟蹤。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到彈道機(jī)動(dòng)飛行器的初制導(dǎo)和中制導(dǎo)中,改善了制導(dǎo)律的性能,然而需要大量的離線(xiàn)工作對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。

本文針對(duì)一種彈道式飛行器開(kāi)展研究,飛行器的制導(dǎo)過(guò)程分為4個(gè)階段。從飛行器發(fā)射到飛出大氣層之前,進(jìn)行主動(dòng)段制導(dǎo)控制。飛行器飛出大氣層后,對(duì)彈頭進(jìn)行機(jī)動(dòng)制導(dǎo),使其能夠覆蓋一定的范圍。為了消除發(fā)動(dòng)機(jī)后效誤差、攝動(dòng)因素的影響,需要進(jìn)行中段彈道修正制導(dǎo),保證高精度的再入條件。飛行器再入大氣層后進(jìn)入末制導(dǎo)段。本文針對(duì)彈頭機(jī)動(dòng)制導(dǎo)和中段彈道修正制導(dǎo)進(jìn)行研究,給出了一種基于蘭伯特定理的機(jī)動(dòng)彈道設(shè)計(jì)方法、基于增益速度的關(guān)機(jī)制導(dǎo)方法以及一種滿(mǎn)足再入點(diǎn)高精度約束的彈道修正制導(dǎo)方法,為彈道式飛行器提供一種可靠的制導(dǎo)方案。

1 機(jī)動(dòng)彈道設(shè)計(jì)

本部分為離線(xiàn)工作。彈道設(shè)計(jì)問(wèn)題可以描述為已知當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的邊值問(wèn)題,如圖1所示。在邊值問(wèn)題中,已知兩點(diǎn)P1和P2的位置及兩點(diǎn)之間的飛行時(shí)間,確定飛行軌道的問(wèn)題稱(chēng)為蘭伯特問(wèn)題。已知蘭伯特問(wèn)題的描述如圖1所示,圖中,O為中心天體地球,r1,r2為P1,P2兩點(diǎn)處的地心距,c為弦長(zhǎng),Δf為r1與r2的夾角。

蘭伯特定理指出,圓錐曲線(xiàn)通過(guò)空間兩定點(diǎn)的飛行時(shí)間Δt僅與曲線(xiàn)的半長(zhǎng)軸a、兩點(diǎn)與引力中心的距離和r1+r2及弦長(zhǎng)c有關(guān),即

(1)

式中:μ為地球引力常數(shù);t1,t2分別為飛行器飛行至P1,P2處的時(shí)間,Δt=t2-t1。為了求解以上問(wèn)題,作出以下變換,令

s=(r1+r2+c)/2,

式中:tm為對(duì)應(yīng)最小能量橢圓的飛行時(shí)間,0<β<α≤π,-π<η<π,可以求得:

(2)

通過(guò)變換,飛行時(shí)間可以表示為

(3)

式中:Δf可表示為P1和P2的近地點(diǎn)角度之差。

(4)

由于L(η)是η的單調(diào)函數(shù),方程L(η)=0存在唯一解。轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸a、半通徑p與η的關(guān)系如下:

(5)

(6)

求出軌道半長(zhǎng)軸和半通徑后,可以進(jìn)一步求出偏心率e和初始點(diǎn)的近地點(diǎn)角f1。需要速度v1,R的徑向分量v1,Rr和周向分量v1,Rf分別為

(7)

已知飛行器的初始點(diǎn)速度為v1,由式(7)可以得到第1次機(jī)動(dòng)速度:

Δv1=v1,R-v1

(8)

然而,在實(shí)際過(guò)程中,由于地球非球形引力項(xiàng)的影響,采用上述方法求解變軌沖量往往會(huì)帶來(lái)很大的偏差。偏差修正的基本思想是:首先利用蘭伯特定理確定一條從起始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的彈道,預(yù)報(bào)出彈道的終點(diǎn),并計(jì)算終點(diǎn)偏差。然后把偏差補(bǔ)償?shù)斤w行終端,再由補(bǔ)償后的飛行終端反推出所需要的調(diào)整速度。如圖2所示,圖中,D為當(dāng)前時(shí)刻的位置,v0為當(dāng)前時(shí)刻速度,B為目標(biāo)點(diǎn)位置。

①根據(jù)當(dāng)前位置點(diǎn)D、目標(biāo)點(diǎn)B及飛行時(shí)間Δt,在二體運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下,由蘭伯特定理設(shè)計(jì)彈道L0,并求出L0在D點(diǎn)的需要速度v1,R;

②考慮攝動(dòng)因素的影響,進(jìn)行彈道預(yù)報(bào),預(yù)報(bào)方法可以采用數(shù)值積分方法(用于離線(xiàn)彈道設(shè)計(jì)),也可以采用解析的平均根數(shù)方法(用于在線(xiàn)制導(dǎo)算法),求出攝動(dòng)彈道Ls及終點(diǎn)Bs;

③攝動(dòng)彈道的終點(diǎn)Bs與目標(biāo)點(diǎn)B的偏差為BsB,將此偏差補(bǔ)償?shù)侥繕?biāo)點(diǎn),得到修正的目標(biāo)點(diǎn)Bf,BfB=-BsB;

對(duì)于再入點(diǎn),假設(shè)只對(duì)速度傾角進(jìn)行約束,對(duì)速度大小不做限制,因此第2次機(jī)動(dòng)速度Δv2主要用來(lái)滿(mǎn)足速度傾角的要求,可以在速度的垂直方向施加:

(9)

式中:θ2為終端速度傾角,θR為需要的速度傾角。θ2的表達(dá)式為

(10)

式中:f2為目標(biāo)點(diǎn)的近地點(diǎn)角。

軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間Δts可以通過(guò)優(yōu)化方法確定,保證能量最省:

J=|Δv1|+|Δv2|

(11)

優(yōu)化算法采用遺傳算法,保證全局最優(yōu)性。由于只有一個(gè)優(yōu)化變量,很快就能找到最優(yōu)解Δtopt。

如果飛行時(shí)間Δts取得合適,僅在Δv1的作用下就能使目標(biāo)點(diǎn)滿(mǎn)足速度傾角的要求,此時(shí),Δv2=0。對(duì)于這種情況,存在以下方程組:

(12)

求解上述方程組可以得到:

(13)

求解方程(13),可以得到目標(biāo)點(diǎn)的近地點(diǎn)角f2,進(jìn)一步確定轉(zhuǎn)移彈道:

(14)

最后由方程(7)求出需要機(jī)動(dòng)沖量。

2 關(guān)機(jī)制導(dǎo)方法

本部分為在線(xiàn)工作?？紤]到發(fā)動(dòng)機(jī)不能提供瞬時(shí)的機(jī)動(dòng)沖量,需要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律確定發(fā)動(dòng)機(jī)推力加速度aT和開(kāi)、關(guān)機(jī)時(shí)間。關(guān)機(jī)制導(dǎo)采用速度增益制導(dǎo)方法。速度增益制導(dǎo)是一種基于需要速度的顯式制導(dǎo)方法,需要速度通過(guò)第1節(jié)的方法求解,從當(dāng)前位置飛行到目標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間為

Δt=Δt0,opt-t

(15)

式中:Δt0,opt為初始時(shí)刻的最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間,是一個(gè)常數(shù),通過(guò)第1節(jié)離線(xiàn)優(yōu)化求出;t為飛行器已飛行的時(shí)間。為了提高計(jì)算速度,彈道預(yù)報(bào)采用平均根數(shù)法。定義增益速度:

vg=vR-v

(16)

式中:vR,v分別表示飛行器的需要速度與當(dāng)前實(shí)際飛行速度,制導(dǎo)的目的就是使vg逐步達(dá)到0。

為獲得發(fā)動(dòng)機(jī)的最佳推力方向,對(duì)式(16)求導(dǎo):

(17)

式中:g為重力加速度。定義b=dvR/dt-g,代入式(17)可得:

(18)

確定aT的原則是要求dvg/dt能有效地消除vg,這樣aT應(yīng)滿(mǎn)足如下必要條件:

(19)

將式(18)代入式(19),則有

aT·eg>b·eg

(20)

式中:eg為vg的單位矢量。引入?yún)?shù)γ,aT應(yīng)滿(mǎn)足:

(γb-aT)×eg=0

(21)

由式(21)表示的幾何關(guān)系,可以得到aT的表達(dá)式:

aT=γb-{γ(b·eg)-[|aT|2+
γ2(b·eg)2-γ2|b|2]0.5}eg

(22)

式中:γ為一可調(diào)系數(shù),其取值范圍為

(23)

式中:|aT|為常數(shù)。γ的取值決定了aT的方向,當(dāng)γ=0時(shí),推力方向與增益速度方向一致;當(dāng)γ=1時(shí),推力方向使dvg/dt與vg方向相反。γ的選取原則是使燃料消耗最小,即

①對(duì)于大推力發(fā)動(dòng)機(jī),一般有|aT|?|b|,最佳的γ取值應(yīng)該在1附近,γ可取為1;

②對(duì)于小推力發(fā)動(dòng)機(jī),aT與b相差不大,最佳的γ取值應(yīng)該在0附近,γ可取為0;

③當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力介于上述兩者之間時(shí),γ的最佳取值應(yīng)該在區(qū)間[0,1]中。

3 再入點(diǎn)高精度制導(dǎo)方法

為了保證再入點(diǎn)的精度,在自由段末尾處對(duì)彈道進(jìn)行修正制導(dǎo)。制導(dǎo)方法采用一種閉路制導(dǎo)方法,但該方法難以保證航向約束,所以同時(shí)采用相平面方法對(duì)橫向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制。如果時(shí)間充足,可采取分段制導(dǎo)策略。先修正橫向誤差,當(dāng)橫向誤差達(dá)到一定精度時(shí),切換到縱向制導(dǎo)階段?？紤]到非球形引力和大氣等攝動(dòng)因素對(duì)彈道面的影響比較小,且剩余飛行時(shí)間較短,終端的橫向誤差很小。如圖3所示,弧段①代表橫向制導(dǎo)部分,主要消除橫向攝動(dòng)偏差;弧段②代表縱向制導(dǎo)部分,主要用來(lái)消除縱向偏差并滿(mǎn)足終端速度傾角要求。

1)相平面制導(dǎo)方案。

相平面控制是常用的一種控制模式。當(dāng)前發(fā)動(dòng)機(jī)大多是開(kāi)關(guān)型的,控制量|aT|近似于常值,相平面控制方法是實(shí)現(xiàn)這種系統(tǒng)的一種最優(yōu)方式。

圖4包含4條開(kāi)、關(guān)機(jī)曲線(xiàn),將相平面劃分為4個(gè)區(qū)域,其中區(qū)域①為發(fā)動(dòng)機(jī)正開(kāi)區(qū)域,區(qū)域③為發(fā)動(dòng)機(jī)負(fù)開(kāi)區(qū)域,區(qū)域②和區(qū)域④是發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)區(qū)域。

發(fā)動(dòng)機(jī)的開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)方程如下。

式中:aT為推力加速度,一個(gè)周期內(nèi)可認(rèn)為是常數(shù)。K為控制參數(shù),通過(guò)調(diào)節(jié)K使控制效果達(dá)到滿(mǎn)意。

2)閉路制導(dǎo)關(guān)機(jī)方案。

根據(jù)二體軌道邊值理論,給定平面軌道內(nèi)的任意4個(gè)獨(dú)立的約束,可以唯一地確定出一條軌道。已知終端點(diǎn)處的再入速度傾角θ2、地心距r2和當(dāng)前點(diǎn)的地心距r1,在這3個(gè)已知變量的基礎(chǔ)上,設(shè)置Δf,設(shè)計(jì)閉路制導(dǎo)方案。

如圖5所示,在任一時(shí)刻,由于當(dāng)前地心距r1和目標(biāo)點(diǎn)地心距r2已知,要求再入點(diǎn)處的速度傾角為θ2及再入段的航程角為Δf。

首先推導(dǎo)始末點(diǎn)速度傾角的關(guān)系。將兩端點(diǎn)處的速度矢量沿徑向與周向分解,由方程(7)可知,兩端的徑向速度vr1,vr2之和為

(24)

式中:L為軌道面的動(dòng)量矩。將方程(7)的周向速度表達(dá)式代入方程(24),得:

(25)

可知vr1+vr2與vf1-vf2成比例。L=r1vf1,而對(duì)徑向速度有:

(26)

故

(27)

根據(jù)方程(25)及動(dòng)量矩的計(jì)算公式,有:

(28)

將方程(27)代入方程(28)即可得θ1與θ2的關(guān)系式:

(29)

根據(jù)式(29),可以由r1,r2,θ2和Δf確定出當(dāng)前時(shí)刻期望的速度傾角θ1。

根據(jù)θ2,可以確定需要軌道的半通徑pR:

(30)

式中:pm為最小能量橢圓對(duì)應(yīng)的半通徑,即

(32)

由此即可得到當(dāng)前時(shí)刻的增益速度:

vg=vR-v

(33)令發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向與vg的方向一致,直到|vg|→0時(shí),發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī),末端制導(dǎo)段結(jié)束。

4 機(jī)動(dòng)策略及制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)仿真分析

對(duì)本文的制導(dǎo)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證,地球引力模型采用EGM08模型,引力位考慮到第8階。飛行器的質(zhì)量為500 kg,主發(fā)動(dòng)機(jī)推力為2 000 N,比沖為2 800 s。飛行器的初始狀態(tài)在J2000坐標(biāo)系給出,如表1所示;終端約束條件如表2所示。主發(fā)動(dòng)機(jī)推力較大,增益速度制導(dǎo)參數(shù)γ取1。為了展示飛行器的機(jī)動(dòng)性能,分別使目標(biāo)點(diǎn)橫向偏移±400 km,縱向偏移±3 500 km。為了驗(yàn)證方法的魯棒性,進(jìn)行200次打靶仿真。每次仿真的初始狀態(tài)誤差和導(dǎo)航誤差從正態(tài)分布模型中抽樣,正態(tài)分布的3倍均方差(3σ)如表3所示。發(fā)動(dòng)機(jī)推力誤差和初始質(zhì)量誤差也服從正態(tài)分布,對(duì)應(yīng)的3σ分別占標(biāo)稱(chēng)值的5%和3%。

表1 飛行器的初始狀態(tài)

表2 終端約束

表3 打靶仿真誤差

圖6給出了J2000坐標(biāo)系中的5條仿真彈道。從圖中可以看出,在制導(dǎo)的作用下,5條彈道都能精確地飛向目標(biāo)點(diǎn),落點(diǎn)可縱向覆蓋±3 500 km,橫向覆蓋±400 km。

對(duì)目標(biāo)點(diǎn)橫向偏移+400 km的彈道進(jìn)行打靶仿真。圖7給出了200條彈道的地面軌跡,其中,圖7(a)為全程彈道的經(jīng)緯度,圖7(b)為飛行器接近終點(diǎn)的經(jīng)緯度局部放大圖;圖中,λ,φ分別表示經(jīng)度和緯度。由于彈道射程較長(zhǎng),彈道跨越180°經(jīng)度線(xiàn)。在接近終點(diǎn)時(shí),200條地面軌跡逐漸收斂。

圖8中,圖8(a)為全程彈道的航向角ψ的曲線(xiàn),圖8(b)為末端航向角的局部放大圖。彈道的航向角發(fā)生了2次跳變,第1次跳變?cè)诔跏紩r(shí)刻,此時(shí)飛行器通過(guò)機(jī)動(dòng)改變飛行器航向角,使其瞄準(zhǔn)橫向移動(dòng)+400 km的目標(biāo);第2次跳變?cè)陲w行末端,在相平面方法的控制下,航向角誤差校正過(guò)度,然后逐漸縮小,最終消除了飛行過(guò)程中誤差項(xiàng)對(duì)航向的影響。

圖9中,圖9(a)為全程彈道的速度傾角θ的曲線(xiàn),圖9(b)為末端速度傾角的局部放大圖。速度傾角逐漸減小到-21°,在接近終端時(shí),縱向制導(dǎo)發(fā)揮作用,速度傾角誤差逐漸縮小。

圖10給出了飛行器的終端位置誤差。仿真中,動(dòng)力學(xué)積分以高度為截止條件,所以位置誤差只體現(xiàn)在經(jīng)緯度上,落點(diǎn)半徑小于600 m。落點(diǎn)分布與制導(dǎo)方法的判斷條件有關(guān),通過(guò)改變判斷條件可略微提高精度,但燃料消耗會(huì)增加。

圖11和圖12給出了200次打靶仿真末端速度傾角誤差Δθf(wàn)和末端速度vf的統(tǒng)計(jì)圖。縱坐標(biāo)n為仿真次數(shù),終端速度和速度傾角速度分布比較集中,傾角存在微小的常值偏差,速度散布半徑為25 m。

5 結(jié)論

本文針對(duì)遠(yuǎn)航程彈道式飛行器開(kāi)展研究,設(shè)計(jì)了彈道機(jī)動(dòng)方案及制導(dǎo)方法,為遠(yuǎn)程戰(zhàn)略導(dǎo)彈、高空大范圍機(jī)動(dòng)飛行器等提供一種可靠的飛行方案,為新一類(lèi)對(duì)地打擊武器的研究提供參考。主要結(jié)論如下:

①利用蘭伯特定理設(shè)計(jì)的機(jī)動(dòng)彈道能夠滿(mǎn)足終端約束,并具有一定的優(yōu)化空間。進(jìn)一步,采用地球非球形攝動(dòng)力補(bǔ)償措施對(duì)標(biāo)準(zhǔn)彈道進(jìn)行修正。

②基于速度增益制導(dǎo)原理設(shè)計(jì)了發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)機(jī)制導(dǎo)方案。采用解析的平均根數(shù)法預(yù)報(bào)落點(diǎn),不僅能夠考慮非球形的影響,而且具備在線(xiàn)制導(dǎo)的快速性。

③將中段彈道修正問(wèn)題分為縱向修正和橫向修正。縱向修正采用一種解析的閉路制導(dǎo)算法,計(jì)算量較小,能夠保證終端速度傾角的要求。橫向修正采用相平面法,有效地消除了橫向位置和速度偏差。

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ManeuverStrategyandGuidanceLawofLarge-rangeBallisticVehicle

WANG Tao1,ZHANG Hong-bo1,WANG Zheng2,TANG Guo-jian1

(1.College of Aerospace Science and Engineering,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China; 2.Research & Development Center,China Academy of Launch Vehicle Technology,Beijing 100076,China)

2017-02-11

王濤(1989- ),男,博士研究生,研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力學(xué)與控制。E-mail:wangtao_smile@126.com。

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1004-499X(2017)03-0007-07