徐百匯，高 嵬

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無線電能傳輸裝置空心線圈間的互感計算

徐百匯1，高 嵬2

（1.海軍東海艦隊裝備部，浙江寧波315122；2. 海軍工程大學電氣工程學院, 武漢430033）

無線電能傳輸系統(tǒng)中，線圈間的分隔距離以及不對中，使得系統(tǒng)的最大效率得不到保證。本文基于一個更加有效和普適的模型，重新推導了用于評估圓形線圈間互感的數(shù)學模型，并適用于存在及不存在不對中情況的兩種條件。同時，文中給出了利用MATLAB軟件得出的計算結果。這些結果為后期無線電能傳輸系統(tǒng)中線圈的設計、計算積累了理論和計算基礎。關鍵詞：無線電能傳輸 線圈 互感

0 引言

無線電能傳輸系統(tǒng)能夠實現(xiàn)電能經(jīng)由線圈，以高頻電磁場作為媒介傳輸?shù)诫姎庠O備[1–3]，但由于線圈本身的距離和不對中等因素影響，往往無法實現(xiàn)電能傳輸效率的最大化。

基于線圈是否對中的條件計算線圈間的互感是研究線圈互感問題的基本途徑[1–6]?；邴溈怂鬼f定律、諾依曼定律、畢-薩定律以及磁矢量方法等的應用，文獻[3-7]給出了很多種互感計算模型。這些模型以解析或半解析的形式，通過橢圓積分的第一、二或第三種形式給出，即霍伊曼-藍布達方程、貝塞爾方程和拉格朗日方程[6-10]。盡管如此，一個更加先進和相關度更高的模型已經(jīng)在[6,7]文獻中推導得出，該模型對評估不對中線圈的互感大有幫助。

本文的目的在于，在是否考慮同軸位置的情況下，利用對于文獻[6,7]中進行修改后更加有效和普適的模型，重新梳理推導出用于評估兩線圈間互感的數(shù)學模型。同時，并非像文獻[7,10]中僅僅給出計算結果，本文中的結果通過MATLAB以圖形化的形式給出。最后，計算結果與文獻[7,10]中的結果進行比較，相關錯誤進行了糾正，結果進行了修正。

1 互感計算模型

在文獻[6]中，該文作者推導出一種更加有效和普適的模型，用以計算兩個不同軸的單股圓形線圈間的互感（參見式（1）和圖（1））。而式（1）中給出的模型是基于諾依曼積分方法的應用得出的。為了證實該模型的正確性，文獻[10]的作者利用磁矢量方法得出了另外一個互感模型（參見文獻[10]之式（20））。然而，文獻[7]的作者使用與文獻[10]的作者所采用的同樣方法，通過詳細的推導過程，還原了文獻[6]作者的推導結論[7]。

(1)

，

，

其中μ0為真空磁導率，R和R分別為初級、次級線圈的半徑，為橫向位移，為線圈物理幾何學的形狀系數(shù)，為線圈中心間的分隔距離，為線圈間的角位移，k為一變量，參數(shù)()為其函數(shù)，為次級線圈任意點的集成角，,和為無量綱參數(shù)，()和()分別為第一類和第二類全橢圓積分。

2 用于互感計算的數(shù)學模型的再推導

在式（1）中，初級和次級線圈的匝數(shù)并未給出，這一點非常重要。因此，需要基于文獻[7]中給出的例子考慮匝數(shù)，從而給出重新推導的如下的模型。

2.1情形1：沒有不對中

圖2給出了無不對中的情況（即θ=0以及d=0），因此，單股圓形空心線圈的互感數(shù)學模型可表示為：

應該說，這種表達式只是（1）式的一個特殊情況，從圖2的復雜程度也可明顯得出結論。一般來說，我們更傾向于采用這一種線圈布置方式。

2.2情形2：只有橫向不對中

圖3給出了只有橫向不對中的情況（即θ = 0），此時單股圓形空心線圈的互感數(shù)學模型可表示為：

2.3情形3：只有角度不對中

圖4給出了只有角度不對中的情況（即= 0），此時單股圓形空心線圈的互感數(shù)學模型可表示為：

其他參數(shù)的定義與（1）相同。

2.4情形4：橫向和角度均不對中

圖1給出了兩種位移同時存在的情況，即考慮初級和次級繞組匝數(shù)，此時單股圓形空心線圈的互感數(shù)學模型可表示為：

其參數(shù)的定義均與（1）相同。

3計算模型結果分析

圓形空心線圈互感的計算結果如圖5-圖9所示，其邊界條件為考慮及不考慮橫向不對中和角度不對中。利用MATLAB軟件重新推導的模型如式（2）-式（5）所示，另外，所有的圖形結果為圖2-圖5，而數(shù)據(jù)結果可參見表1。圖5中展示的結果為文獻[7,10]中的數(shù)據(jù)計算結果（見表1），其主要原因在于這兩篇文獻中的例子只考慮了橫向不對中，即雖然線圈間的分隔位移（即=0,0.05 m和0.1 m）在文中均有考慮，但此兩篇文獻作者重點只關注=0的情況，其他情況并未進行討論。

圖5 橫向不對中時互感與橫向不對中量的關系

文獻[7]的結果表明，從=0到=15.5 mm（即次級線圈在初級線圈之內(nèi)）的范圍內(nèi)，互感從0.15 mH增長到018 mH。這一結果與該文中的結論一致（參見圖5和表1）。但是，與文獻[10]的結果相比卻有很多不同。此外，從=69.5 mm到1000 mm（即次級線圈在初級線圈之外），文獻[7]的結果表明，對于更大的值（從=200 mm到1000 mm），互感會出現(xiàn)負值，但最終趨于零。這一結果與本文的圖5和表1的結果非常吻合。而且這一結論是符合電磁學理論的，原因在于次級線圈交鏈的磁力線在初級線圈的外側改變了方向[6-8]。但在文獻[10]中，當位于外側的次級線圈的尺寸比初級線圈的尺寸小很多時，互感趨近于零的速度變慢，同時不會出現(xiàn)負值，這一點與理論不符。因此，文獻[7]的結論是正確的，而文獻[10]中的式（20）結論是錯誤的。

這一研究表明，隨著線圈分隔距離和位移的增大，線圈互感是減小的（見圖5-圖9）。因此，應該通過增大初級線圈內(nèi)交流電流的頻率來實現(xiàn)互感值的增大，同時線圈的相關部分應使用電容和鐵氧體磁芯進行補償。

4 結論

本文對考慮及不考慮不對中條件時兩線圈間互感的數(shù)學模型進行了重新推導，同時利用MATLAB進行了仿真，將所得結果與之前相關文獻結果進行比對，驗證和澄清了相關結論，為下一步開展線圈互感的設計、計算進行了有益的探索和積累。

圖6 角度不對中時互感與線圈分隔距離的關系

圖7 無不對中時互感與線圈分隔距離關系

圖8 不對中時互感與橫向不對中量的關系（c=0）

圖9 不對中時互感與橫向不對中量的關系（c=0.2）

圖10 不對中時互感與角度不對中量的關系

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Calculation of Mutual Inductance of Air-cored Coils in a Wireless Power Transfer System

Xu Baihui1, Gao Wei2

(1.Armament Department of East China Sea Fleet of PLA Navy, Ningbo 315122, Zhejiang, China; 2.Electrical Engineering School of NUE, Wuhan 430033, China)

In the wireless power transfer system, the coil separation distance and misalignment, maximum power transfer is not guaranteed. Based on a more efficient and general model available in the literature, rederived mathematical models for evaluating the mutual inductance between circular coils with and without lateral and angular misalignment are presented. Rather than presenting results numerically, the computed results are graphically implemented using MATLAB codes. The results are presented to establish a basement for designing and calculating the mutual inductance in WPT system.

wireless power transfer (WPT); coil; mutual inductance

TN806

A

1003-4862（2017）01-0035-05

2016-11-15

徐百匯（1965-），男，碩士，高級工程師。研究方向：艦船裝備管理。Email:depkin@163.com