張翔引，朱曉東，唐友喜

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一種降低OFDM誤碼率及立方度量值的凸優(yōu)化算法

張翔引，朱曉東，唐友喜

(電子科技大學通信抗干擾技術(shù)國家級重點實驗室 成都 611731)

相比于功率峰均比(PAPR)，立方度量能夠更加準確地預測功放的功率回退量，因此被認為是更有效的衡量正交頻分復用(OFDM)信號包絡變化的度量。為了提高功放效率，常用優(yōu)化方法是直接最小化信號的立方度量值。然而，這樣會引入嚴重的帶內(nèi)失真，造成系統(tǒng)誤碼率性能的惡化。該文提出了一種在立方度量值約束下最小化系統(tǒng)帶內(nèi)失真的凸優(yōu)化模型，并設計了內(nèi)點法定制方案求解此優(yōu)化問題。仿真結(jié)果顯示該算法相比現(xiàn)有優(yōu)化算法能夠顯著提高系統(tǒng)誤碼率及立方度量性能。

誤碼率; 凸優(yōu)化算法; 立方度量; OFDM系統(tǒng); 功率峰均比

OFDM技術(shù)由于頻譜利用率高、能夠有效對抗頻率選擇性衰落等優(yōu)點，已被多種無線通信標準采用[1]。然而，OFDM調(diào)制信號具有很大的包絡變化范圍，經(jīng)過非線性功率放大器后會產(chǎn)生嚴重的帶內(nèi)失真和帶外輻射，造成誤碼率(BER)性能惡化和鄰道干擾。為了滿足通信標準中嚴格限定的性能指標，通常需要對功放進行功率回退，但這樣會造成功放效率低下。

常用的提高功放效率的方法是降低OFDM信號的包絡起伏以減少功率回退量。PAPR是使用最廣泛的描述OFDM信號包絡變化的度量[2]。PAPR通過信號的峰值功率來預測信號經(jīng)過功放后的非線性失真狀況。最近，立方度量(CM)引起了廣泛關(guān)注[3-5]。與PAPR只關(guān)注信號的峰值功率不同，CM衡量的是影響信號失真的主要因素——三階非線性失真[6]。因此CM被認為是比PAPR更準確的信號度量方式，并已被第三代通信系統(tǒng)標準組織采用作為確定功放功率回退量的準則[7]。

到目前為止，多種技術(shù)被提出用來降低OFDM信號的PAPR和CM[1-5,8-13]。這些技術(shù)大體可以歸納為無失真技術(shù)和基于失真的技術(shù)兩大類：無失真技術(shù)，如部分傳輸序列[9]和選擇性映射[10]，通常需要發(fā)送邊帶信息并在接收端借助邊帶信息對數(shù)據(jù)符號進行恢復；而基于失真的技術(shù)，如限幅濾波[5,11]和壓縮擴展變換[12]，則不需要發(fā)送邊帶信息，且具有顯著的包絡降低性能。文獻[13]和文獻[8]分別將降低OFDM信號的PAPR和CM建模成凸優(yōu)化問題，即在滿足系統(tǒng)最大允許的誤差矢量幅度(error vector magnitude, EVM)約束下最小化信號的PAPR和CM，并分別根據(jù)優(yōu)化模型設計內(nèi)點法定制方案求解相應的優(yōu)化問題。優(yōu)化后EVM不超過最大允許，可保證接收端信號滿足系統(tǒng)的BER性能要求[13-14]。然而，為獲得最優(yōu)的包絡降低性能(或最大功放效率)，文獻[8]及文獻[13]中的算法優(yōu)化后EVM值總是接近，從而導致系統(tǒng)BER性能得不到進一步的改善。另一方面，在實際通信系統(tǒng)中，為滿足通信標準嚴格限定的性能要求，功率回退量必須嚴格按照信號的CM值來執(zhí)行[6-7]。換言之，若要保證功率效率不低于某一水平，信號的CM值一定不能超過某一門限。

本文提出了一種新的降低OFDM系統(tǒng)BER及CM值的優(yōu)化模型，并設計內(nèi)點法定制方案對此優(yōu)化問題求解。該算法通過引入失真限制信號CM值不超過預先設立的門限來保證功率效率，并優(yōu)化失真以進一步改善系統(tǒng)的BER性能。蒙特卡洛仿真證實了算法的有效性。在實際系統(tǒng)中只須根據(jù)系統(tǒng)性能需求設立適當?shù)腃M門限。本算法相比于文獻[8]及[13]在BER及CM性能上均有顯著提高。

1 信號度量

(2)

PAPR是傳統(tǒng)的信號波動性度量方法，經(jīng)常用來確定輸入信號的功率回退量。對于輸入信號，PAPR定義為[1-3]：

文獻[6]提出CM用來預測滿足失真要求所需的功率回退量。對于輸入信號，CM定義為：

PAPR是通過信號的峰值功率來確定所需的回退量。CM值由信號的三階失真功率決定，與信號經(jīng)過功放后的非線性失真具有更好的相關(guān)性。因此，CM能夠更加準確的預測功率回退量。

2 優(yōu)化模型

通信標準中對帶外輻射及帶內(nèi)失真有嚴格限定。優(yōu)化過程中通常用空閑子載波滿足頻譜遮罩的要求來限制帶外輻射，用數(shù)據(jù)子載波的EVM來量化帶內(nèi)失真[8,13-14]。為簡化優(yōu)化模型，本文將帶外輻射假設為零。但值得一提的是，本文提出的優(yōu)化算法只需加上空載波頻譜遮罩的約束條件便能很容易推廣到需要限制帶外失真的情況。

為保證功率效率，算法中設立CM門限以確保優(yōu)化后信號的CM值不超過此門限。因為CM定義中和均為常數(shù)，只需限制優(yōu)化后信號的RCM值，即：

本文算法思想為：引入失真限制信號的CM值不超過設立的門限值，同時最小化信號EVM值以獲得此失真條件下的最優(yōu)BER性能。優(yōu)化模型為：

(8)

(9)

然而，RCM約束不等式(10)是非凸的[8]。要實現(xiàn)式(10)不等式約束，可首先保證RCM公式的分母不減少，即優(yōu)化后信號的功率不降低：

展開式(11)可得：

(12)

(14)

基于以上分析，優(yōu)化模型可重新描述為：

(16)

(17)

(19)

3 凸優(yōu)化算法

對于式(15)~式(19)所描述的凸優(yōu)化問題，可以定制內(nèi)點法求解。內(nèi)點法基本步驟可參見文獻[15]。

首先，根據(jù)凸優(yōu)化算法要求將復向量及復矩陣表示為等效的實向量及實矩陣。例如，復列向量擴展成等效的實列向量為：

(21)

3.1 定制內(nèi)點法

內(nèi)點法流程如圖1所示，具體計算步驟如下：

1) 初始化

為滿足式(17)中的EVM約束，基于式(22)，令：

式中，1.05是通過仿真得到的經(jīng)驗值。

2) 計算約束松弛量

對于約束條件式(17)～式(19)，可得約束松弛量為：

(25)

(26)

在每一次的迭代過程中，必須保證式(24)~式(26)的數(shù)值恒為正數(shù)。

3) 計算更新向量

牛頓下降法因其收斂速率快而經(jīng)常被用來求解凸優(yōu)化問題[15]。若牛頓下降方向為，則根據(jù)文獻[13]有：

(28)

(29)

(30)

式中，

(32)

(33)

(35)

(37)

(38)

4) 計算更新步長

為使算法加快收斂速率，更新步長應在保證所有約束條件嚴格可行的原則上越大越好。

求解式(40)可得：

(41)

求解式(42)可得：

(43)

可收緊不等式，有：

(45)

求解可得：

(47)

顯然，此更新步長可保證式(44)嚴格可行。

基于以上分析，滿足所有約束條件的最大可行步長為：

為確保算法收斂速率和式(24)～式(26)中所有障礙函數(shù)值恒為正數(shù)，可選取步長經(jīng)驗值：

(49)

5) 更新變量

根據(jù)以下兩式更新變量：

(51)

6) 判別算法是否收斂：若算法收斂，算法終止；否則，返回步驟2)，開始新的迭代。判別依據(jù)可以通過設立收斂半徑或設立最大迭代次數(shù)實現(xiàn)[15]。

3.2 算法復雜性

計算復雜度通常通過分析算法所需的浮點運算(加、減、乘、除)次數(shù)來評估[8,13,15]。優(yōu)化算法復雜度由迭代次數(shù)及每次迭代中的運算量決定。本算法每次迭代中需要計算牛頓下降方向與更新步長。根據(jù)式(29)，計算梯度向量需要次實運算，可表示其復雜度為。計算矩陣、和復雜度分別為、和。因此計算Hessian矩陣復雜度為。最后根據(jù)式(28)使用Cholesky分解可求得牛頓下降方向，此計算復雜度為[15]。步長計算中，和復雜度均為。本定制內(nèi)點法收斂性良好，可在10次迭代內(nèi)獲得全局最優(yōu)解。

4 仿真及結(jié)果分析

本文使用蒙特卡洛仿真評估算法性能。 OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)設為，調(diào)制方式采用正交相移鍵控(quadrature phase shift keying, QPSK)，過采樣因子。在仿真中，非線性功率放大器的輸入輸出關(guān)系表示為三階多項式模型[16]：

4.1 算法性能分析

表1比較了本文算法和文獻[5]中下降限幅濾波算法優(yōu)化后信號在得到相同RCM值時的情況。本文算法設定RCM門限，優(yōu)化后信號的值為6 dB；下降限幅濾波算法中通過調(diào)整限幅率參數(shù)使得優(yōu)化后信號的值同樣為6 dB。從隨機選取的6幀信號的優(yōu)化結(jié)果可以看出，本文算法優(yōu)化后信號的值遠低于下降限幅濾波算法，證明了算法優(yōu)化EVM的有效性。

表1 本文算法及文獻[5]算法優(yōu)化后信號EVM比較

4.2 本文算法與PAPR及CM優(yōu)化算法的性能比較

圖3是本文算法、文獻[13]中的PAPR優(yōu)化算法及文獻[8]中的CM優(yōu)化算法的RCM降低性能比較。CM和PARA算法中設定為5%，本文算法中設定RCM門限。如圖3所示，在CCDF為處，本文算法較CM算法RCM降低了約4.86 dB，較PAPR算法降低了約5.08 dB。

圖4是加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise, AWGN)信道下不同算法的BER性能比較。公平起見，仿真中所有算法優(yōu)化后信號的平均功率均歸一化為1。如前文所述，PAPR優(yōu)化算法及CM優(yōu)化算法化后信號EVM值總是接近系統(tǒng)允許的，因此二者有著近似的BER性能。相反，本算法在CM門限約束下最小化引入的失真，可嚴格限制信號CM值的同時，進一步改善BER性能。如圖4所示，相比于CM和PARA算法，本算法在BER為時性能增益為1.8 dB。

5 結(jié)束語

本文提出了一種新的降低OFDM系統(tǒng)BER及CM值的凸優(yōu)化模型，在滿足信號CM不超過預設門限值的約束下最小化系統(tǒng)帶內(nèi)失真。針對此優(yōu)化問題設計了內(nèi)點法定制方案，詳細討論了算法中初始點選擇、更新向量、更新步長等計算細節(jié)?；诒舅惴?，只須根據(jù)實際系統(tǒng)的性能需求設置立方度量門限值，即可在保證功率效率的同時進一步改善系統(tǒng)BER性能。

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編 輯 葉 芳

A Convex Optimization Algorithm for Reducing the Ber and Cubic Metric in OFDM Systems

ZHANG Xiang-yin, ZHU Xiao-dong, and TANG You-xi

(National Key Laboratory of Science and Technology on Communications, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

Since cubic metric (CM) can more accurately predict the power de-rating of power amplifier (PA), it is recognized as a better metric to characterize the envelope fluctuations of orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) signals than peak-to-average power ratio (PAPR).To improve the PA efficiency, a common scheme is minimizing the CM value of signals. However, this aggravates the in-band distortion, resulting in bit error ratio (BER) degradation of systems. This paper formulates the problem as an in-band distortion optimization subject to CM constraint, and a customized interior-point algorithm is developed to solve the optimization problem. Simulation results show that the proposed algorithm provides better BER and CM-reduction performance than existing optimization schemes.

bit error ratio; convex optimization algorithm; cubic metric; OFDM system; peak-to- average power ratio

TN92

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.01.004

2015-06-06；

2016-03-21

國家自然科學基金(61101034, 61271164, 61471108)；國家重大專項(2014ZX03003001-002)；863項目(2014AA01A704)

張翔引(1983-)，男，博士，主要從事通信系統(tǒng)非線性信號處理方面的研究.