夏瀚笙，沈 峘，王 瑩，劉敦強(qiáng)

(南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院， 南京 210016)

三維數(shù)字圖像相關(guān)法的匹配策略和應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算

夏瀚笙，沈 峘，王 瑩，劉敦強(qiáng)

(南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院， 南京 210016)

針對(duì)在三維數(shù)字圖像相關(guān)法的三維重建過程中存在著兩種不同的匹配策略，利用三維仿真散斑圖模擬變形，分析研究二者在不同場(chǎng)景下應(yīng)用的品質(zhì)?，F(xiàn)有的三維應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算有直接對(duì)三維位移場(chǎng)計(jì)算和對(duì)位移場(chǎng)投影后再進(jìn)行計(jì)算兩種方法，這兩種方法存在忽略局部特征、未去除噪聲的缺陷。為了得到精度較高的應(yīng)變場(chǎng)，采用基于最小二乘擬合的微單元體應(yīng)變計(jì)算方法。仿真分析結(jié)果表明：利用該計(jì)算方法求得的應(yīng)變場(chǎng)精度明顯提高。

三維數(shù)字圖像相關(guān)法；雙目視覺；匹配策略；三維應(yīng)變場(chǎng)

Abstract: In three-dimensional Digital Image Correlation (DIC), there are two different matching strategies in the process of three-dimensional reconstruction. This paper summarizes the application of these two matching strategies in different scenarios by using the three-dimensional simulation speckle maps to simulate the deformation. There are two methods to calculate the three-dimensional displacement field and to calculate the displacement field directly. The two methods have the disadvantages of ignoring the local feature and removing the noise. In order to obtain the strain field with high precision, the strain calculation method of the micro unit body based on the least squares fitting is used in the calculation of three-dimensional strain fields. The Simulation analysis results show that the strain field precision obtained by using this strain calculation method is reliable.

Keywords: three-dimensional DIC; binocular stereo vision; match strategy; three-dimensional strain computation

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和相機(jī)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，數(shù)字圖像相關(guān)法(DIC)應(yīng)運(yùn)而生[1]。與傳統(tǒng)的激光干涉原理測(cè)量法相比，數(shù)字圖像相關(guān)法具有設(shè)備簡(jiǎn)單、非接觸式、全場(chǎng)測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字圖像相關(guān)法在二維測(cè)量[2](即單目視覺)中已相對(duì)成熟，但平面應(yīng)變測(cè)量在實(shí)際工程應(yīng)用中有較大的局限性，二維數(shù)字圖像相關(guān)法僅適用于平面變形測(cè)量，測(cè)量過程需要相機(jī)光心與被測(cè)件表面垂直，且對(duì)離面位移敏感[3]。近年來，三維數(shù)字圖像相關(guān)法(3D-DIC)的相關(guān)研究成為數(shù)字圖像相關(guān)法領(lǐng)域內(nèi)的熱點(diǎn)。三維數(shù)字圖像相關(guān)法[4]是隨著雙目視覺[5]發(fā)展而廣泛應(yīng)用的。該方法利用雙目視覺來測(cè)量三維表面應(yīng)變，且對(duì)相機(jī)的位置沒有太高的要求，能克服二維數(shù)字圖像相關(guān)法無法測(cè)量離面位移的缺陷。

三維數(shù)字圖像相關(guān)法主要包括相機(jī)標(biāo)定、圖像匹配、三維重建以及三維位移、應(yīng)變計(jì)算等過程。眾多學(xué)者在三維數(shù)字圖像相關(guān)法的立體匹配策略和應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算精度方面提出了許多行之有效的方法。在立體匹配方面，Helm等[6]在小平面假設(shè)條件下通過搜索兩幅圖像子區(qū)相關(guān)系數(shù)最大值的候選空間平面參數(shù)完成匹配任務(wù)，并通過鋁板拉伸試驗(yàn)進(jìn)行了分析驗(yàn)證。潘兵等[7]提出以左相機(jī)采集的第1張圖像作為參考圖像，該圖既是左相機(jī)匹配序列的參考圖像，也是右相機(jī)匹配系列的參考圖像；Tang Z Z等[8]提出以左相機(jī)采集的一系列圖像作為參考圖像，對(duì)每個(gè)左右相機(jī)采集對(duì)應(yīng)的兩張圖像之間做匹配計(jì)算，然后利用相機(jī)標(biāo)定參數(shù)三維重建。本文就上述兩種匹配策略在不同場(chǎng)景下的適用性進(jìn)行分析研究。在應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算方面，Lu H等[9]引入二階形函數(shù)進(jìn)行物體表面變形的描述，提高非均勻變形位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算精度，提高位移計(jì)算精度。Sun Y等[10]分析匹配子區(qū)大小對(duì)位移場(chǎng)精度的影響。2003年，Schreier[11]首次直接采用二階形函數(shù)擬合左右相機(jī)所采集圖像之間的變形，說明形函數(shù)擬合變形的方法優(yōu)于基于小平面假設(shè)的投影求解方法。2006年，Siebert T[12]分析三維數(shù)字圖像相關(guān)法中標(biāo)定所產(chǎn)生誤差的影響，其計(jì)算的位移場(chǎng)誤差在0.02 pixel以內(nèi)，應(yīng)變誤差在500 με左右，證明位移量在50 pixel以內(nèi)，位移場(chǎng)測(cè)量誤差呈線性增加，故建議增加徑向畸變模型來減小位移場(chǎng)的測(cè)量誤差。2011年，Helfrick等[13]對(duì)比有限元仿真結(jié)果和數(shù)字圖像相關(guān)法的計(jì)算結(jié)果，說明三維數(shù)字圖像相關(guān)法的準(zhǔn)確性得到驗(yàn)證，證明三維數(shù)字圖像相關(guān)法結(jié)果和有限元結(jié)果相符合。清華大學(xué)的潘兵在散斑質(zhì)量評(píng)價(jià)[14]中提出基于最小二乘擬合[15]的全場(chǎng)應(yīng)變計(jì)算方法，減小位移場(chǎng)引起的粗大誤差，并且提出應(yīng)變場(chǎng)降噪的策略[16]。在三維應(yīng)變計(jì)算過程[17-18]中，直接采用三維位移場(chǎng)通過最小二乘法擬合方法計(jì)算應(yīng)變場(chǎng)，非均勻變形的細(xì)節(jié)信息將被平滑。高越[19]在計(jì)算三維應(yīng)變時(shí)先將位移場(chǎng)進(jìn)行投影，然后進(jìn)行柯西應(yīng)變計(jì)算，位移場(chǎng)未進(jìn)行平滑處理，應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算過程會(huì)將位移場(chǎng)噪聲惡意放大。

本文針對(duì)三維數(shù)字圖像相關(guān)法中的立體匹配策略，分析在大變形和小變形兩種情形下的適用性。為提升三維數(shù)字圖像相關(guān)法應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算精度，提出將微單元體投影到擬合平面轉(zhuǎn)化成二維應(yīng)變場(chǎng)，結(jié)合局部最小二乘擬合計(jì)算三維表面應(yīng)變的方法。

1 三維數(shù)字圖像相關(guān)法的關(guān)鍵技術(shù)

1.1 雙目視覺模型

計(jì)算機(jī)雙目視覺技術(shù)屬于光學(xué)測(cè)量中的一種被動(dòng)式測(cè)量方法，利用兩個(gè)相機(jī)從不同的視角觀察同一物體，獲取在不同視角下的圖像，然后根據(jù)圖像間的匹配關(guān)系，利用三角測(cè)量原理計(jì)算出像素間的偏移量，從而獲取物體三維信息。雙目視覺在建立三維模型的過程中，需要利用坐標(biāo)系來描述模型中測(cè)量點(diǎn)的位置。圖1表示了雙目視覺系統(tǒng)中多個(gè)坐標(biāo)系系統(tǒng)。o-uv為圖像像素坐標(biāo)系，o-XuYv為圖像物理坐標(biāo)系，Ocl-xclycl、Ocr-xcrycr分別為左、右相機(jī)坐標(biāo)系，Ow-XwYwZw為世界坐標(biāo)系。物體上點(diǎn)P(xw,yw,zw)對(duì)應(yīng)左、右相機(jī)拍攝圖像上點(diǎn)P1、P2。由P1、P2的圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)結(jié)合相機(jī)的內(nèi)、外參數(shù)，即可求出P的世界坐標(biāo)(xw,yw,zw)。

圖1 雙目視覺系統(tǒng)坐標(biāo)系

1.2 相機(jī)標(biāo)定

本文采用張正友[20]的平面標(biāo)定法，相機(jī)模型運(yùn)用傳統(tǒng)的針孔成像模型，公式如下：

(1)

式中：s為任意的比例系數(shù);R、t分別為從世界坐標(biāo)系到攝像機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，即R和t為相機(jī)的外部參數(shù)，A為相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)。

實(shí)際相機(jī)鏡頭的加工制造誤差以及安裝誤差會(huì)導(dǎo)致鏡頭畸變，因此簡(jiǎn)單的針孔模型無法準(zhǔn)確地描述鏡頭成像關(guān)系。當(dāng)只考慮徑向畸變時(shí)，利用Tsai[21]兩步標(biāo)定法：

δx=(u-u0)[k1r2+k2r4]

δy=(v-v0)[k1r2+k2r4]

(2)

其中:k1,k2分別為1階、2階徑向畸變系數(shù)；r為像素點(diǎn)到主點(diǎn)(u,v)的距離。

2 三維重建匹配策略研究

2.1 匹配策略

3D-DIC采用雙目視覺技術(shù)，匹配過程涉及自匹配和互匹配的問題。三維重建階段中存在兩種匹配策略，一種是左相機(jī)所采集的系列圖像之間的匹配；另一種是左相機(jī)和右相機(jī)所采集的圖像之間的匹配。

圖2(a)策略1中，以左相機(jī)采集的第一張圖像作為參考圖像，第一張圖像既是左相機(jī)匹配序列的參考圖像，也是右相機(jī)匹配系列的參考圖像。此策略即為潘兵[7]所使用的計(jì)算策略。圖2(b)策略2中，在左相機(jī)采集的圖像匹配過程中，以左相機(jī)采集的第一幅圖像為參考圖像。在左、右相機(jī)匹配的過程中，是以左相機(jī)采集的一系列圖像作為參考圖像，左、右相機(jī)采集對(duì)應(yīng)的每?jī)蓮垐D像之間做匹配計(jì)算，然后利用相機(jī)標(biāo)定參數(shù)三維重建。此策略即為西安交通大學(xué)[8]所使用的策略。

2.2 仿真分析

仿真分析硬件配置采用Intel(R) Core(TM) i7-6700 CPU，內(nèi)存16G。采用Matlab編程軟件。

采用文獻(xiàn)[22]中的三維仿真模型，圖像為隨機(jī)生成的散斑圖像，分辨率為700×700 pixels，散斑顆粒數(shù)為19 600，散斑顆粒半徑為3 pixel。假設(shè)物體是一個(gè)ZW=1 200 mm的平面。其中相機(jī)的內(nèi)、外參數(shù)為：

在圖像匹配計(jì)算中采用的網(wǎng)格點(diǎn)間距為10 pixel，圖像匹配半徑15 pixel，牛頓迭代最大收斂次數(shù)20次。

圖2 兩種匹配策略

2.2.1 平移測(cè)量

沿x向生成間隔為0.05pixel的平移圖像共100張，在三維空間里對(duì)應(yīng)的實(shí)際位移為0～0.6 mm，間隔為0.006 mm。仿真分析結(jié)果如圖3所示。

圖3 策略1和策略2在小變形情況下的測(cè)量誤差

如圖3所示，在位移量較小的情況下，策略1精度高于策略2。這是由于在小變形的情況下，策略1采用參考圖像是用左相機(jī)圖像的第一張圖像和右相機(jī)圖像進(jìn)行匹配，其視差和變形量較??；而方策略2中，只有第一張圖像和第二張圖像的匹配，沒有引進(jìn)計(jì)算點(diǎn)的誤差，在后續(xù)的計(jì)算中，因?yàn)樽笙鄼C(jī)圖像作為參考圖像，參與匹配的點(diǎn)要求是整像素的，此時(shí)在選取計(jì)算點(diǎn)時(shí)就有取整的步驟，此時(shí)就會(huì)引起誤差增加。

2.2.2 旋轉(zhuǎn)分析

采用仿真圖為30°的散斑圖，其中計(jì)算點(diǎn)為504個(gè)，網(wǎng)格間距為10 pixel，計(jì)算子區(qū)半徑為15 pixel。根據(jù)仿真分析結(jié)果可知：在圖像旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，匹配策略1有130個(gè)點(diǎn)計(jì)算不收斂，且收斂點(diǎn)的位置也不合理。而經(jīng)過計(jì)算，匹配策略2中所有的初值估計(jì)點(diǎn)都收斂，即使在30°旋轉(zhuǎn)時(shí)，也可以經(jīng)過去除異常點(diǎn)得到比較理想的數(shù)據(jù)。

因此，策略1在大旋轉(zhuǎn)的情況下不適合用做立體匹配。主要原因在于：參考圖像采用的是左相機(jī)第一張圖像，旋轉(zhuǎn)角度越大，參考圖像和目標(biāo)圖像的差異越大。其中，既包括本身的變形誤差，還包括雙目相機(jī)的視差，因此導(dǎo)致收斂狀況差。旋轉(zhuǎn)仿真分析中，策略1在旋轉(zhuǎn)30°時(shí)有較大誤差，因此不做計(jì)算。在三維重建結(jié)果誤差圖上可以明顯看出：策略1不適用于變形較大的立體匹配過程；而策略2因?yàn)椴捎脤?duì)應(yīng)的左、右相機(jī)做匹配，在進(jìn)行左、右相機(jī)匹配分析時(shí)，相機(jī)的視差較小，因此可以完全迭代收斂，適用于大旋轉(zhuǎn)大位移的計(jì)算情況。

圖4 旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，策略1和策略2的匹配計(jì)算對(duì)比

圖5 兩種策略三維重建結(jié)果

3 三維應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算研究

3.1 微單元體投影定理

彈性體的變形一般用微六面體單元表述。對(duì)于本文關(guān)注的小變形問題，為簡(jiǎn)化分析，將微單元體分別投影到oxy,oyz,ozx平面，如圖6所示。

圖6 微單元體

圖6中：MA、MB、MC變形前分別為x、y、z坐標(biāo)軸平行的棱邊；MA′、MB′、MC′為MA、MB、MC變形后對(duì)應(yīng)的棱邊。分別用εx、εy、εz表示正應(yīng)變，γxy、γyz、γzx表示切應(yīng)變，則有

(3)

本文的應(yīng)變計(jì)算針對(duì)物體表面的應(yīng)變狀態(tài)，oyz、ozx平面上的應(yīng)變量相對(duì)于oxy面上的應(yīng)變量很小，可以忽略不計(jì)。通過研究oxy面上的投影來分析物體表面的三維應(yīng)變狀態(tài)。

設(shè)ma、mb分別為MA、MB的投影，m′a′、m′b′分別為M′A′、M′B′的投影。微單元體的棱邊長(zhǎng)為dx、dy、dz，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)、u(x,y,z)、v(x,y,z)分別表示M點(diǎn)x,y方向的位移分量。則A點(diǎn)的位移為u(x+dx,y,z)，v(x+dx,y,z)；B點(diǎn)的位移為u(x,y+dy,z)，v(x,y+dy,z)。用泰勒級(jí)數(shù)形式將A、B兩點(diǎn)的位移展開，并且略去2階以上的小量，則A、B點(diǎn)的位移分別為：

(4)

(5)

(6)

同理

(7)

由此可以計(jì)算出彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的微線段的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變。若微線段伸長(zhǎng)，則正應(yīng)變?chǔ)舩、εy、εz為正，縮短則為負(fù)。

圖7 微單元體在oxy面上的投影

3.2 微單元體最小二乘擬合應(yīng)變法

最小二乘擬合方法計(jì)算應(yīng)變即在計(jì)算應(yīng)變時(shí)采用最小二乘擬合的計(jì)算方法求解形函數(shù)的過程。通常位移場(chǎng)數(shù)據(jù)包含系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差，數(shù)字圖像相關(guān)法直接計(jì)算的位移場(chǎng)是有誤差的，若直接對(duì)位移場(chǎng)進(jìn)行差分應(yīng)變計(jì)算會(huì)放大誤差。最小二乘擬合的過程會(huì)對(duì)位移場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理[18]，計(jì)算示意圖如圖8所示。

圖8中，藍(lán)色標(biāo)記點(diǎn)是匹配計(jì)算得到的位移場(chǎng)，紅色點(diǎn)是大小為(2M+1)×(2M+1)的計(jì)算窗口。窗口的中心點(diǎn)即要計(jì)算的網(wǎng)格點(diǎn)，其余點(diǎn)只做輔助計(jì)算。窗口在位移場(chǎng)中的步長(zhǎng)為1pixel，對(duì)二者重合部分進(jìn)行擬合計(jì)算。假設(shè)形函數(shù)采用1階形函數(shù)[15]，那么用二元一次函數(shù)進(jìn)行擬合：

(8)

式中：u和v為位移場(chǎng)；x、y的變化范圍均為[-m,m]；a0,…,b2為擬合系數(shù)，與應(yīng)變場(chǎng)之間的關(guān)系是

(9)

求解出擬合方程的系數(shù)，即可得到應(yīng)變值。

圖8 局部最小二乘法應(yīng)變計(jì)算示意圖

在局部擬合過程中，擬合方程的矩陣形式如下：

(10)

其中只有6個(gè)系數(shù)為未知量，可利用最小二乘擬合方法解出系數(shù)值。

3.3 仿真分析

參考圖像為隨機(jī)生成的散斑圖像，分辨率為700 pixel×700 pixel，散斑顆粒數(shù)為19 600，散斑顆粒半徑為3pixel。假設(shè)物體是一個(gè)ZW=1 200 mm的平面。相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)為：

3.3.1 均勻變形仿真分析

本實(shí)驗(yàn)的散斑圖沿x方向應(yīng)變?yōu)? 000 με，此應(yīng)變計(jì)算的區(qū)域半徑為20 pixel。

如圖9所示，x方向的位移場(chǎng)是一個(gè)平滑的斜面，應(yīng)變場(chǎng)的真值為2 000 με，而實(shí)際計(jì)算得到的應(yīng)變場(chǎng)圍繞2 000 με上下波動(dòng)，x方向的應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算結(jié)果為1 960 με，方差為58 με。y方向的位移場(chǎng)為0.5 μm以內(nèi)，應(yīng)變場(chǎng)的均值為50 με。

3.3.2 沿x方向呈sin應(yīng)變仿真分析

利用反向映射法生成沿x方向非均勻變形圖，x方向的位移場(chǎng)符合sin分布，即v=Asin(2πx/T)，A=0.12 mm，T=200，則其應(yīng)變的表達(dá)式為

ε=2πA/Tcos(2πx/T)

(11)

計(jì)算得到的位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)如圖10所示。

圖9 最小二乘擬合法

圖10 最小二乘擬合位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)

4 結(jié)束語

仿真分析結(jié)果表明：對(duì)于三維重建中的兩種匹配策略，在小變形情況下，匹配策略1優(yōu)于匹配策略2；在大變形情況下，匹配策略2優(yōu)于匹配策略1。

利用均勻應(yīng)變和非均勻應(yīng)變的三維仿真圖，證明本文提出的三維結(jié)構(gòu)表面應(yīng)變的計(jì)算方法提高了應(yīng)變計(jì)算的精度。

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(責(zé)任編輯陳 艷)

StudyonStereoMatchingStrategyand3-DStrainComputationinThree-DimensionalDigitalImageCorrelation

XIA Hansheng， SHEN Huan， WANG Ying， LIU Dunqiang

(College of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

2017-05-03

航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20120952022)

夏瀚笙(1993—)，安徽蕪湖人，碩士研究生，主要從事計(jì)算機(jī)視覺、深度學(xué)習(xí)在人臉識(shí)別檢測(cè)方面的研究，E-mail：hanson_cha@163.com；通訊作者 沈峘，男，博士，主要從事圖像分析與檢測(cè)技術(shù)研究，E-mail:huan_shen@nuaa.edu.cn。

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10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.018

TP391;O348

A

1674-8425(2017)09-0110-09