王一帆， 孫建強(qiáng)， 陳宵瑋

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 海南 ?？?570228)

非線性四階薛定諤方程的高階保能量方法

王一帆， 孫建強(qiáng)， 陳宵瑋

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 海南 ?？?570228)

利用四階平均向量場方法和擬譜方法構(gòu)造非線性四階薛定諤方程的高階保能量格式，并用構(gòu)造的高階保能量格式數(shù)值模擬方程孤立波的演化行為.結(jié)果表明:新的格式具有很好的穩(wěn)定性，可以很好地模擬孤立波的演化行為，同時(shí),保持了方程的離散能量守恒特性.

平均向量場方法； 高階保能量方法； 非線性四階薛定諤方程; 譜方法

Abstract： The fourth order energy preserving scheme for the nonlinear fourth-order Schr?dinger equation is obtained by applying the fourth order average vector field method and the Fourier pseudo spectral method. The new fourth order energy preserving scheme is applied to simulate the solitary wave behaviors of the equation. Results show that the new scheme has nice stability and can well simulate the solitary wave evolution behaviors, moreover, it preserves the discrete energy conservation.

Keywords： average vector field method; energy-preserving method; nonlinear fourth-order Schr?dinger equation； spectral method

在已有文獻(xiàn)中，許多學(xué)者構(gòu)造了非線性四階薛定諤方程的不同數(shù)值算法.Kong等[1]基于分步數(shù)值方法和多辛龍格-庫塔方法的思想，設(shè)計(jì)了一種新的多辛積分因子，即分步多辛(SSMS)方法.黃浪揚(yáng)[2]構(gòu)造了非線性四階薛定諤方程的半顯式多辛擬譜格式.這些格式在長時(shí)間精確數(shù)值模擬非線性四階薛定諤方程的演化中具有重要的意義，但只能近似地保持方程的能量.近年來，有學(xué)者提出在時(shí)間方向上具有二階精度的平均向量場方法，能保持微分方程固有能量守恒特性.二階平均向量場方法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于計(jì)算能量守恒的偏微分方程中[3-5]，并取得了很好的數(shù)值結(jié)果.如Quispel等[6]提出了具有高階精度的平均向量場方法.本文利用四階平均向量場方法和擬譜方法構(gòu)造非線性四階薛定諤方程的高階保能量格式，并利用高階保能量格式數(shù)值模擬非線性四階薛定諤方程孤立波的演化行為.

1 非線性四階薛定諤方程

考慮強(qiáng)激光光束傳輸過程中四階色散項(xiàng)在具有克爾非線性的松散介質(zhì)中的影響，文獻(xiàn)[7-9]建立了四階薛定諤方程，即

如果考慮外部受限的勢能，則方程(1)為受限制的非線性四階薛定諤方程.文中研究的非線性四階薛定諤方程為

式(2)～(4)中：u0(x)為一個(gè)指定的復(fù)值函數(shù)；g(x)為繞原點(diǎn)的波函數(shù).方程在研究動(dòng)態(tài)玻色-愛因斯坦凝集態(tài)、非線性光學(xué)之類的問題中具有重要的應(yīng)用.方程(2)在有限區(qū)域內(nèi)具有能量守恒特性[10]，即

2 非線性四階薛定諤方程的高階保能量格式

下面給出非線性四階薛定諤方程的離散格式.在實(shí)際計(jì)算中，只能給出方程在有限區(qū)域內(nèi)的數(shù)值解.根據(jù)文獻(xiàn)[1,10],取方程空間求解區(qū)域?yàn)閇0,2π].

設(shè)u(x,t)=p(x,t)+q(x,t)i，方程(2)可表示為

方程(6),(7)可以轉(zhuǎn)化為無窮維哈密爾頓系統(tǒng),即

式(8)中:z=(p,q)T,哈密爾頓函數(shù)為

利用擬譜方法在空間方向離散非線性四階薛定諤方程(8),空間積分區(qū)間Ω=[0,2π],L=2π，將Ω分為N等分，h=L/N為空間步長，N為一個(gè)正偶數(shù).

空間置配點(diǎn)xj=a+hj,j=0,…,N-1.令pj為p(x,t)在配置點(diǎn)xj處的近似值.定義

SN={gj(x);-N/2≤j≤N/2-1}

其中:cl=1(|l|≠N/2)；c-N/2=cN/2=2；μ=2π/L.對任意p(x,t)∈C0(Ω)，定義的插值算子IN[11]為

(x).

正交的三角插值算子IN在置配點(diǎn)xj滿足

INp(xj,t)=p(xj,t),j=0,…,N-1.

假設(shè)P=(p0,p1,…,pN-1)T，定義

稱Dk為k階微分矩陣.通過計(jì)算可以得到

D1,D2分別是一階和二階譜矩陣,即

利用二階微分矩陣D2近似二階偏導(dǎo)算子?xx，可以得到方程(6),(7)的半離散擬譜格式，即

式(10)，(11)中:A=(D2)2；j=0,1,…,N-1.式(10)，(11)可以表示為有限維哈密爾頓系統(tǒng)，即

用四階平均向量場方法離散哈密爾頓系統(tǒng)(12)，可得方程(2)的高階保能量格式為

式(13)可以被表示為矩陣向量形式，即

式(15),(16)等價(jià)于

式(14)可以表示為

A(τ,h)Un+1=B(τ,h)Un+τF(Un+1,Un),n=1,2,….

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證高階保能量格式(14)的保能量守恒特性，定義相對能量誤差為

3.1數(shù)值模擬1

選擇α=6，β=150，g(x)=sin2x，取方程(2)的初值條件為

周期L=2π,取時(shí)間步長τ=0.000 1，空間置配點(diǎn)N=20.非線性四階薛定諤方程在t=2時(shí)刻的實(shí)部的數(shù)值解Re(μ)和虛部的數(shù)值解Im(μ),如圖1所示.方程在t∈[0,2]內(nèi)的相對能量誤差RE，如圖2所示.圖2中：能量誤差達(dá)到機(jī)器精度，可忽略.由圖1，2可知：高階保能量格式(14)可以很好地模擬方程孤立波的演化行為，且精確地保持了方程的離散能量守恒特性.

(a) 實(shí)部 (b) 虛部 圖1 孤立波在t=2時(shí)的實(shí)部和虛部的數(shù)值解 圖2 孤立波在t∈[0,2]內(nèi)的相對能量誤差變化Fig.1 Numerical solution of solitary wave at t=2 Fig.2 Relative energy errors of solitary wave at t∈[0,2]

3.2數(shù)值模擬2

取α=1,β=1,g(x)=cos2x，取方程(2)初值條件為

u(x,0)=exp(iπ/6)cosx.

L=2π,取時(shí)間步長τ=0.000 01，空間置配點(diǎn)N=20.方程在t=1時(shí)刻的實(shí)部和虛部的數(shù)值解,如圖3所示.方程在t∈[0,1]內(nèi)的相對能量誤差，如圖4所示.圖4中：能量誤差小，同樣可忽略.因此，高階保能量格式有好的計(jì)算精度，并且同樣可以精確保持方程的離散能量守恒特性.

(a) 實(shí)部 (b) 虛部圖3 孤立波在t=1時(shí)實(shí)部和虛部的數(shù)值解 圖4 孤立波在t∈[0,1]內(nèi)的相對能量誤差變化Fig.3 Numerical solution of solitary wave at t=1 Fig.4 Relative energy errors of solitary wave at t∈[0,1]

4 結(jié)束語

基于四階平均向量場方法,構(gòu)造了非線性四階薛定諤方程的高階保能量格式.利用構(gòu)造的高階保能量格式數(shù)值模擬方程孤立波的演化并分析格式的相對能量誤差變化.數(shù)值結(jié)果表明：高階保能量格式可以精確地模擬非線性四階薛定諤方程孤立波的實(shí)部和虛部的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，能精確地保持方程的的離散能量守恒特性.在保非線性四階薛定諤方程的能量守恒特性方面，文中的格式具有優(yōu)越性.

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(責(zé)任編輯： 錢筠英文審校： 黃心中)

HighOrderEnergyPreservingMethodforNonlinearFourth-OrderSchr?dingerEquation

WANG Yifan, SUN Jianqiang, CHEN Xiaowei

(College of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

10.11830/ISSN.1000-5013.201611037

2016-11-12

孫建強(qiáng)(1971-)，男，教授，博士，主要從事微分方程數(shù)值解法的研究.E-mail:sunjq123@qq.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11561018)； 海南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(114003).

O 241.5

A

1000-5013(2017)05-0742-05