曹璞源，邱海軍，胡 勝，楊冬冬

(1. 西安市地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測站，陜西 西安 710007；2. 西北大學(xué) 城市與環(huán)境學(xué)院，陜西 西安 710127；3. 西北大學(xué) 地表系統(tǒng)與災(zāi)害研究院，陜西 西安 710127)

區(qū)域崩塌和滑坡規(guī)模參數(shù)頻率分布研究
——以秦巴山地寧強(qiáng)縣為例*

曹璞源1，邱海軍2,3，胡 勝2,3，楊冬冬2,3

(1. 西安市地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測站，陜西 西安 710007；2. 西北大學(xué) 城市與環(huán)境學(xué)院，陜西 西安 710127；3. 西北大學(xué) 地表系統(tǒng)與災(zāi)害研究院，陜西 西安 710127)

基于假設(shè)提出崩塌和滑坡災(zāi)害長、寬和厚等規(guī)模參數(shù)頻率分布呈負(fù)指數(shù)關(guān)系，并通過變換負(fù)指數(shù)關(guān)系提出面積和體積等規(guī)模參數(shù)頻率分布簡單而有效的計算公式。以秦巴山區(qū)寧強(qiáng)縣為例，對所提出的公式進(jìn)行驗證。結(jié)果表明：①特大型和巨型滑坡、崩塌在控制滑坡、崩塌總面積和總體積中起著重要的作用；②崩塌、滑坡規(guī)模參數(shù)(長、寬和厚)頻率分布符合更簡單的指數(shù)關(guān)系，且用指數(shù)關(guān)系擬合的規(guī)模參數(shù)頻率曲線不會產(chǎn)生“偏轉(zhuǎn)效應(yīng)”， 地質(zhì)災(zāi)害參數(shù)不僅符合對數(shù)正態(tài)分布(Normal)，而且符合對數(shù)韋伯(Weibull)和Logistic分布；③對于崩塌和滑坡面積與體積規(guī)模參數(shù)，其實質(zhì)是長、寬和厚等參數(shù)的平方級和立方級，因此，對于其規(guī)模參數(shù)頻率分布求解的一個簡單的方法是對面積和體積開平方根和立方根后再用指數(shù)分布對其擬合，事實證明其確實呈現(xiàn)一種指數(shù)分布；④文中所提出的規(guī)模參數(shù)頻率負(fù)指數(shù)分布，簡捷而有效，便于推廣應(yīng)用。

頻率分布；規(guī)模參數(shù)；區(qū)域崩塌；滑坡；陜西寧強(qiáng)

在災(zāi)害學(xué)研究領(lǐng)域，地質(zhì)災(zāi)害規(guī)模參數(shù)的頻率分布往往具有一定的規(guī)律性。尤其是區(qū)域崩塌和滑坡的規(guī)模參數(shù)頻率分布曲線對于正確估算任意規(guī)模崩塌和滑坡發(fā)生的概率非常必要，特別是探索一種簡捷而有效的分布方程，對于其推廣和應(yīng)用顯得尤為重要[1]。國內(nèi)外眾多地質(zhì)災(zāi)害案例研究表明崩塌、滑坡災(zāi)害的面積、體積與其數(shù)量呈冪律關(guān)系，當(dāng)這些災(zāi)害的體積和面積增大時，它們的數(shù)量卻急劇減少。也有研究證明當(dāng)這些災(zāi)害規(guī)模較小時，崩塌、滑坡在雙對數(shù)曲線上會出現(xiàn)“偏轉(zhuǎn)效應(yīng)”，許多研究者也給出了原因解釋[2-6]。當(dāng)然，一些國外研究者力圖采用分布曲線來擬合它們的關(guān)系，如Malamud等發(fā)現(xiàn)截斷反伽馬(Truncated Inverse Gamma)分布可以很好地描述滑坡面積概率函數(shù)[7]；Stark and Hovius認(rèn)為double Pareto概率分布可以更好的表征新西蘭和臺灣地區(qū)滑坡面積的概率密度函數(shù)[8]。而國內(nèi)這方面的研究較少，只有許強(qiáng)[9]、姚令侃[10]、戴福初[11]等人探索性地研究了規(guī)模參數(shù)頻率的冪指數(shù)關(guān)系。邱海軍等發(fā)現(xiàn)用冪函數(shù)擬合(即雙對數(shù)坐標(biāo)下)的確會出現(xiàn)“偏轉(zhuǎn)效應(yīng)”，必須用分段函數(shù)才能擬合[12]。

綜上，對于規(guī)模參數(shù)頻率分布的研究主要集中于面積和體積的頻率分布，并且在規(guī)模較小時“偏轉(zhuǎn)”嚴(yán)重，擬合效果很不理想。目前還沒有學(xué)者研究長、寬和厚的規(guī)模參數(shù)頻率分布，而事實上，面積是長和寬參數(shù)的平方級，體積是長、寬和厚參數(shù)的平方和立方級。顯然，這毫無疑問地增加了崩塌、滑坡規(guī)模參數(shù)頻率分布曲線的彎曲程度，客觀上也增加了擬合難度系數(shù)，“偏轉(zhuǎn)效應(yīng)”現(xiàn)象由此而生。

眾所周知，越是重大的事件其發(fā)生的頻率和次數(shù)反而越低，著名古登堡-里查德(Gutenberg-Richter)關(guān)系就符合這一規(guī)律[13]，即地震震級越大，發(fā)生次數(shù)越少，具體來說，震級m與>m的地震頻數(shù)N滿足LogN(>m)=a-bm的數(shù)學(xué)關(guān)系。相似地，崩塌、滑坡的發(fā)生是自然和人類活動共同作用的結(jié)果[14]，它們的頻率分布是否也滿足特定的關(guān)系呢？這是本文將要解決的科學(xué)問題。

本文以崩塌、滑坡的長、寬和厚基本規(guī)模參數(shù)為基礎(chǔ)，分析其規(guī)模參數(shù)頻率的分布特征，并假設(shè)長、寬和厚等基本規(guī)模參數(shù)的頻率分布符合最簡單的指數(shù)分布。而面積、體積參數(shù)分別是長、寬和厚等基本規(guī)模參數(shù)的平方級和立方級，因此，本文又假設(shè)面積和體積的平方根和立方根分別符合指數(shù)分布。最后通過秦巴山區(qū)區(qū)域崩塌和滑坡進(jìn)行驗證。

1 研究區(qū)概況

寧強(qiáng)縣地處秦巴山區(qū)，位于陜西省漢中市西南角，地理坐標(biāo)在105°21′10″～106°35′18″E、32°37′06″～33°12′42″N之間(圖1)，國土面積3 246.8 km2，總?cè)丝?3.96 萬人。這里山高谷深、地形起伏大，屬于北亞熱帶濕潤性季風(fēng)氣候，降雨充沛。由于受新構(gòu)造運(yùn)動影響，寧強(qiáng)縣地質(zhì)環(huán)境十分復(fù)雜，深大斷裂發(fā)育，地質(zhì)災(zāi)害(如崩塌、滑坡、泥石流、地面塌陷等)頻發(fā)，是陜西省地質(zhì)災(zāi)害重災(zāi)縣。崩塌、滑坡災(zāi)害約占地質(zhì)災(zāi)害總數(shù)的97%，以滑坡為主。

圖1 研究區(qū)位置與地質(zhì)災(zāi)害分布

2 數(shù)據(jù)來源與方法

2.1 數(shù)據(jù)來源

地質(zhì)災(zāi)害數(shù)據(jù)一部分來源于寧強(qiáng)縣國土局，一部分來源于室內(nèi)遙感解譯和野外災(zāi)害調(diào)查。最終將二者整合，建立了寧強(qiáng)縣地質(zhì)災(zāi)害數(shù)據(jù)庫，詳細(xì)記錄了地質(zhì)災(zāi)害的地理位置、數(shù)量多少、分布情況、規(guī)模大小等數(shù)據(jù)，研究區(qū)共有滑坡329個，崩塌48個(圖1)。

2.2 研究方法

崩塌和滑坡的長、寬和厚是描述崩塌和滑坡規(guī)模的最基本參數(shù)，類比地震學(xué)中著名的古登堡-里查德(Gutenberg-Richter)定律，提出崩塌和滑坡長、寬和厚等規(guī)模參數(shù)的指數(shù)分布公式：

lnN=aM+b。

(1)

式中：M為崩塌和滑坡某一規(guī)模參數(shù)，N為大于或等于該規(guī)模參數(shù)的崩塌和滑坡個數(shù)。

筆者以往的研究已經(jīng)證實，寧強(qiáng)縣滑坡和崩塌規(guī)模參數(shù)之間存在著冪律相依性。即規(guī)模參數(shù)體積、面積與長和寬等參數(shù)之間符合冪函數(shù)關(guān)系，在已知其中任何一個參數(shù)的情況下都可以通過冪函數(shù)求出其它參數(shù)[12]。與之類似，面積與體積都能通過一次或二次求冪函數(shù)還原到長、寬和厚等參數(shù)形式上，從而使其符合上述公式。但是，為了使公式更加簡捷，對面積(體積)求平方根(立方根)之后，其規(guī)模-頻率分布也符合負(fù)指數(shù)分布。

面積規(guī)模參數(shù)頻率分布：

(2)

體積規(guī)模參數(shù)頻率分布：

(3)

3 崩塌和滑坡規(guī)模參數(shù)頻率分布分析

3.1 區(qū)域崩塌和滑坡規(guī)模參數(shù)概述

利用寧強(qiáng)縣地質(zhì)災(zāi)害編錄數(shù)據(jù)庫進(jìn)行統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)(如圖2和圖3)，特大型和巨型滑坡、崩塌在控制地質(zhì)災(zāi)害的總面積和總體積中扮演著重要角色[15-16]。最大的1個滑坡就可以占到所有滑坡總面積的6.16%，滑坡總體積的26.08%；而最大的15個滑坡就占到總面積的35.6%和總體積的54%(圖2)。同樣，占總數(shù)僅2%的1個最大崩塌卻占到崩塌總面積的15%和總體積的30%；而占總數(shù)僅10.4%的最大5個崩塌卻占到崩塌總面積的55%和總體積的74%(圖3)。

3.2 規(guī)模參數(shù)頻率分布實例驗證

3.2.1 崩塌和滑坡長、寬和厚頻率分布

為了檢驗崩塌、滑坡的長、寬和厚等規(guī)模參數(shù)是否真正服從指數(shù)分布，我們以秦巴山區(qū)寧強(qiáng)縣的329處滑坡和48處崩塌為樣本，對上述假設(shè)進(jìn)行驗證。寧強(qiáng)縣地質(zhì)災(zāi)害的長、寬和厚參數(shù)在半對數(shù)坐標(biāo)系中表現(xiàn)出負(fù)指數(shù)的分布規(guī)律。從圖4、圖5和圖6不難看出在該坐標(biāo)系下，崩塌、滑坡的長、寬和厚與累計頻率的確表現(xiàn)為指數(shù)分布趨勢。通過最小二乘法擬合，可以擬合出最佳方程：

滑坡長與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

lnN=-0.0091M+0.1373，(R2=0.9806，P<0.05)。

(4)

崩塌長與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

lnN=-0.0332M+0.1235，(R2=0.9792，P<0.05)。

(5)

滑坡寬與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

lnN=-0.0088M+0.0743，(R2=0.9795，P<0.05)。

(6)

崩塌寬與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

lnN=-0.0142M-0.1856，(R2=0.9604，P<0.05)。

(7)

滑坡厚與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

lnN=-0.3679M+0.6604，(R2=0.9461，P<0.05)。

(8)

崩塌厚與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

lnN=-0.0176M-0.0366，(R2=0.9446，P<0.05)。

(9)

3.2.2 崩塌、滑坡的面積與體積頻率分布

對崩塌、滑坡的面積(體積)求平方根(立方根)后，再用指數(shù)分布對其擬合可以求解出它們規(guī)模參數(shù)的頻率分布(圖7、圖8)。

圖7、圖8表明滑坡、崩塌災(zāi)害面積(體積)的平方根(立方根)與累計頻率的確也滿足負(fù)指數(shù)分布。

圖2 滑坡面積(左)與體積(右)累計圖

圖3 崩塌面積(左)與體積(右)累計圖

圖5 滑坡(左)和崩塌(右)的寬與頻率的關(guān)系圖

圖6 滑坡(左)和崩塌(右)的厚與頻率的關(guān)系圖

圖7 滑坡(左)和崩塌(右)的面積平方根和頻率關(guān)系圖

圖8 滑坡(左)和崩塌(右)的體積立方根和頻率關(guān)系圖

滑坡面積與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

(10)

崩塌面積與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

(11)

滑坡體積與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

(12)

崩塌體積與頻率關(guān)系最佳擬合方程為：

(13)

本文對面積和體積頻率分布曲線經(jīng)過簡單的取其平方根和立方根就可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布形式，簡捷而有效，便于推廣和應(yīng)用。同時，對于特定的區(qū)域a是一個定值，那么a值就可以作為反映這一地區(qū)崩塌和滑坡災(zāi)害規(guī)模和強(qiáng)度的一個值，或者說可以作為這一地區(qū)崩塌和滑坡災(zāi)害的宏觀表征。

3.3 崩塌、滑坡頻率與強(qiáng)度的關(guān)系

對于頻率與強(qiáng)度的關(guān)系，相關(guān)研究表明雖然截斷逆伽馬(truncated inverse gamma)分布和double Pareto概率分布在一定情況下能夠較好地模擬出崩塌、滑坡面積或者體積規(guī)模[12]。然而，這兩個分布牽扯太多的參數(shù)(有些參數(shù)很難獲取)，故在某種程度上阻礙了其應(yīng)用和推廣。為了檢驗寧強(qiáng)縣崩塌、滑坡面積與體積對數(shù)是否符合正態(tài)分布，我們引入統(tǒng)計學(xué)中常用的對數(shù)正態(tài)分布，Q-Q圖則是常用的檢驗?zāi)Ｐ?。Q-Q圖(圖9)分析表明寧強(qiáng)縣崩塌、滑坡面積與體積對數(shù)完全符合對數(shù)正態(tài)性，證明了地質(zhì)災(zāi)害的面積和體積參數(shù)具有對數(shù)正態(tài)分布的特征。通過正態(tài)分布檢驗后，就能輕松實現(xiàn)正態(tài)(Normal)、韋伯(Weibull)和Logistic分布的擬合，結(jié)果如圖10。

圖9 崩塌、滑坡面積與體積對數(shù)Q-Q圖

圖10 崩塌、滑坡面積與體積對數(shù)分布圖

4 結(jié)論與討論

崩塌和滑坡規(guī)模-頻率分布曲線有助于我們科學(xué)認(rèn)識崩塌、滑坡等地質(zhì)災(zāi)害的分布規(guī)律。本文基于最大熵原理首次在理論上推導(dǎo)出崩塌、滑坡災(zāi)害的長、寬和厚等規(guī)模參數(shù)頻率負(fù)指數(shù)分布特征，給出了計算公式，在此基礎(chǔ)上，通過對崩塌、滑坡災(zāi)害的長、寬和厚等規(guī)模參數(shù)頻率負(fù)指數(shù)分布公式的修正，給出了面積與體積的規(guī)模參數(shù)頻率分布公式，以秦巴山區(qū)寧強(qiáng)縣為例，對所提出的公式進(jìn)行驗證，結(jié)果表明：

(2)對于特定的區(qū)域系數(shù)a是一個定值，那么a值就可以作為反映這一地區(qū)崩塌和滑坡災(zāi)害規(guī)模和強(qiáng)度的一個值，或者說可以作為這一地區(qū)崩塌和滑坡災(zāi)害的宏觀表征。崩塌、滑坡面積與體積對數(shù)不僅符合對數(shù)正態(tài)分布(Normal)，而且符合對數(shù)韋伯(Weibull)和Logistic分布。

(3)本文推導(dǎo)的規(guī)模參數(shù)頻率分布曲線方程方法雖然簡單，但卻十分有效，對于揭示崩塌和滑坡頻率分布的本質(zhì)有著重要的意義，也便于推廣應(yīng)用。

為了進(jìn)一步驗證公式的正確性，在未來的研究中，我們將以其他區(qū)域崩塌和滑坡為例再次進(jìn)行驗證。同時以沙堆模型進(jìn)行模擬，測量其長、寬、厚、周長、面積和體積等一系列參數(shù)，證明其自組織臨界性，并驗證其是否符合本文提出的簡捷而有效的公式。

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Abstract:On the assumption that size distribution of landslide and collapse about length, width, and thickness fit negative exponential distribution, this paper put forward the formula about them. Further through modifying the formula of size distribution of length, width and thickness, the paper put forward the formula of size distribution of area and volume. At last, taking Ningqiang County as an example to verify the formula. The result showed that:①Very large and giant landslide and collapse play an important role in controlling their area and volume; ②The frequency distribution of collapse and landslide's scale parameters conforms to a exponential function, and the curve fitted by exponential function does not generate deflection effect. Geological hazard parameters not only conforms to logarithmic Normal distribution (Normal), but conforms to logarithmic Weibull and Logistic distribution. ③For the size parameters of area and volume of landslide, its essence is the parameters such as length, width, and thickness of square and cube, therefore, a simple way to solve the size distribution of the area and volume was fitted after open square root and cube root distribution. It showed that they meet negative exponential distribution, and the fitting effect is good. ④Negative exponential distribution of scale parameter frequency that we proposed is so simple and effective that it is convenient for popularization and application.

Key words:frequency distribution; size distribution; regional collapse; landslide; Ningqiang; Shaanxi

Research on Scale Parameter Frequency Distribution of Regional Collapse and Landslide in Ningqiang County

CAO Puyuan1, QIU Haijun2, 3, HU Sheng2, 3and YANG Dongdong2, 3

(1.MunicipalGeologicEnvironmentMonitoringStationofXi’an,Xi’an710007,China; 2.CollegeofUrbanandEnvironmentalScience,NorthwestUniversity,Xi’an710127,China;3.InstituteofEarthSurfaceSystemandHazards,NorthwestUniversity,Xi’an710127,China)

曹璞源，邱海軍，胡勝，等. 區(qū)域崩塌和滑坡規(guī)模參數(shù)頻率分布研究——以秦巴山地寧強(qiáng)縣為例[J]. 災(zāi)害學(xué)，2017，32(4)：126-131. [CAO Puyuan, QIU Haijun, HU Sheng,et al. Research on Scale Parameter Frequency Distribution of Regional Collapse and Landslide in Ningqiang County[J]. Journal of Catastrophology，2017，32(4)：126-131.

10.3969/j.issn.1000-811X.2017.04.022.]

X43；P694

A

1000-811X(2017)04-0126-06

2017-02-27

2017-05-05

中國科學(xué)院國際合作局對外合作重點項目(131551KYSB20160002)；國家自然科學(xué)基金資助項目(41401602)；陜西省自然科學(xué)基金(2014JQ2-4021)；西北大學(xué)研究生自主創(chuàng)新項目(YZZ15011)

曹璞源(1985-)，男，陜西西安人，助理工程師，從事地質(zhì)災(zāi)害防治與防治研究. Email:76567956@qq.com

邱海軍(1983-)，男，陜西神木人，博士，副教授，從事災(zāi)害和土地利用研究.Email:rgbitxpl@163.com

10.3969/j.issn.1000-811X.2017.04.022