楊雁雁

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

投資活動中風(fēng)險偏好的度量與研究

楊雁雁

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

投資者的活動離不開人的主觀感受與對風(fēng)險的偏好，本文首先從馮諾依曼的可測效用公理出發(fā)，引用期望效應(yīng)函數(shù)來描述有風(fēng)險偏好的投資人的投資效用，并從定常風(fēng)險和非定常風(fēng)險偏好的角度給出期望效用函數(shù)計算方法與風(fēng)險偏好的度量.其次從風(fēng)險價值度角度，利用不同風(fēng)險偏好者對風(fēng)險與收益關(guān)注度的不同，給出了VAR(CVAR)模型下的風(fēng)險偏好度量.最后由投資心理和偏好心理的復(fù)雜性，通過預(yù)設(shè)風(fēng)險偏好性質(zhì)來度量風(fēng)險偏好，以增加靈活性與實(shí)用性.

期望效用；風(fēng)險偏好；VAR理論；預(yù)設(shè)風(fēng)險偏好性質(zhì)

1 引言

隨著中國金融業(yè)的發(fā)展，投資人在追求利潤最大化的同時，不可避免要考慮風(fēng)險因素.對相同的經(jīng)濟(jì)結(jié)果，投資者看重的是相對結(jié)果而不是絕對結(jié)果[1].在做決策時，必然在考慮收益的同時也要考慮風(fēng)險損失，即收益與損失的聯(lián)合效用.風(fēng)險偏好者實(shí)施冒險的經(jīng)濟(jì)行為，風(fēng)險規(guī)避者施行保守的經(jīng)濟(jì)決策.如何衡量這種風(fēng)險偏好，使投資者在一定風(fēng)險偏好下做出最理性決策是研究者需要研究的.

風(fēng)險偏好的度量很重要，只有充分度量投資者的風(fēng)險偏好，金融機(jī)構(gòu)才能根據(jù)投資者的風(fēng)險偏好設(shè)計相應(yīng)的理財產(chǎn)品，增加理財產(chǎn)品的銷量；實(shí)業(yè)公司才可以根據(jù)自己的風(fēng)險偏好確定與其相一致的經(jīng)營策略，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)運(yùn)營效用最大化；投資者才可以根據(jù)自己的風(fēng)險偏好，通過效用函數(shù)的構(gòu)建，對自己的經(jīng)濟(jì)行為及時預(yù)警，防止不利經(jīng)濟(jì)決策的出現(xiàn).然而現(xiàn)有研究對風(fēng)險偏好的度量尚無系統(tǒng)化的闡述，即使在涉及投資問題時提及風(fēng)險偏好，也僅作為條件判斷的切入點(diǎn)，缺乏模型化的描述.本文從主流的研究投資活動的理論出發(fā)，對風(fēng)險偏好進(jìn)行度量和研究.研究投資活動的主流方法有馬克維茨的均值方差理論，馮諾依曼的期望效用函數(shù)理論和風(fēng)險價值度理論.馬克維茨的均值方差理論要求一定收益下風(fēng)險最小，并不能有效衡量投資者風(fēng)險偏好的差異性，它實(shí)際上是附加了條件的期望效用函數(shù)最大化問題.

風(fēng)險偏好作為一種偏好，是投資者對投資結(jié)果中收益和風(fēng)險聯(lián)合效用主觀滿意度的選擇.本文從馮諾依曼的涉及偏好的四條公理出發(fā)，引入風(fēng)險偏好的概念，再根據(jù)可測效用公理引出的期望效用函數(shù)，來描述風(fēng)險中性者、風(fēng)險厭惡者、風(fēng)險愛好者的度量問題.然而可測效用公理只給出抽象的期望效用函數(shù)概念，并沒有給出具體的區(qū)分不同風(fēng)險偏好的效用函數(shù).本文從風(fēng)險偏好隨財富水平不變和變化兩個角度來求解度量風(fēng)險偏好的期望效用函數(shù)，并發(fā)現(xiàn)在具體的求解過程中，賭博當(dāng)量的確定非常重要，本文通過一個例子來說明具體的期望效用函數(shù)的求解方法.考慮到人對當(dāng)前的感受要強(qiáng)于對未來的感受,投資者把高于一定數(shù)值的收益不看成風(fēng)險，而把低于一定數(shù)值的收益看成風(fēng)險，本文從VAR(CVAR)理論出發(fā)來描述風(fēng)險,通過不同風(fēng)險偏好者對收益和風(fēng)險的關(guān)注程度的不同，來構(gòu)建相應(yīng)的度量風(fēng)險偏好的效用函數(shù).最后由于投資心理和偏好心理的復(fù)雜性，通過預(yù)設(shè)偏好性質(zhì)來度量風(fēng)險偏好，以增加靈活性與實(shí)用性.

對于風(fēng)險偏好的度量，前人已做了相應(yīng)的工作.馮諾依曼-摩根斯特恩在投資活動和經(jīng)濟(jì)行為中給出了涉及偏好的可測效用公理[2].劉宗謙[3]等給出了期望效用存在性的證明.姜青舫[4]對定常風(fēng)險效用函數(shù)的導(dǎo)出給出了證明.徐緒松[5]從期望效用最大化的角度研究了損失規(guī)避下的投資組合問題.許民利[6]等通過條件價值建立相應(yīng)的偏好決策模型.

2 期望效用函數(shù)下的風(fēng)險偏好度量

理性投資者追求的是收益最大化，然投資活動的收益伴隨著風(fēng)險，投資者對風(fēng)險的厭惡程度直接影響其經(jīng)濟(jì)決策，如何衡量這種風(fēng)險偏好，從而在一定風(fēng)險偏好程度下作出最理性的決策，即一定風(fēng)險偏好下收益最大化，是我們研究的問題.這里有兩點(diǎn)需要明確，一是風(fēng)險偏好，二是收益最大化.我們把收益與風(fēng)險的聯(lián)合作用對投資者主觀滿意度的影響稱為效用，在不確定條件下我們用期望效用來描述收益與風(fēng)險的聯(lián)合作用.

2.1 風(fēng)險偏好的定義與期望效用函數(shù)的描述

假設(shè)把投資的收益看成一種“商品”或“價值”.定義“未定價值空間”?，它是由“確定價值空間”的向量x,y等形成形如L={(x,y,p)|0≤p≤1}的組和更高層次的組?={(L1,L2,p)|0≤p≤1}所形成的集合.其中(x,y,p)表示取x的概率為p，取y的概率為1-p.在?上定義一種偏好關(guān)系?，滿足馮諾依曼-摩根斯特恩四條公理，其具體描述如下：

公理 1 (i)x?x；

(ii)如果 x?y，y?z則 x?z；

(iii)x?y和y?x至少有一個成立；

公理 2 (i)x=(x,y,1)；

公理3 對于?x,y,z∈?，{p∈[0,1]|(x,y,p)?z}和p∈[0,1]|z?(x,y,p)}都是閉集.

公理 4 如果 x～y,?p∈[0,1]和 z∈?，(x,zp)～(y,z,p).

其中符號～表示無差異量，從偏好的角度來說，x～y表示價值相等的量，也叫賭博當(dāng)量.記(x,p,y)～τ，不同風(fēng)險偏好所取的τ值不同.當(dāng)E(x,p,y)=τ時，稱該經(jīng)濟(jì)活動者為風(fēng)險中性者，當(dāng)E(x,p,y)＜τ時，該經(jīng)濟(jì)活動者為風(fēng)險追求者；當(dāng)E(x,p,y)＞τ時，該經(jīng)濟(jì)活動者為風(fēng)險厭惡者.更一般的我們可以由期望效用函數(shù)描述這三種風(fēng)險偏好，事實(shí)上有以下結(jié)論：如果(?,?)滿足上述四條公理，則在?上存在惟一的期望效用函數(shù) u，滿足：x?y，且僅當(dāng) u(x)≥u(y),u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y).

上述結(jié)論的證明可以參考文獻(xiàn)[3]，接下來我們通過期望效用函數(shù)來具體度量風(fēng)險偏好.假設(shè)x表示發(fā)生風(fēng)險事件的收益，y表示未發(fā)生風(fēng)險事件的收益，p表示發(fā)生風(fēng)險事件的概率，構(gòu)造L={(x,y,p)|0≤p≤1}.由投資人的風(fēng)險偏好決定的期望效用函數(shù)為u(x)，投資者對(x,y,p)這一風(fēng)險事件所包含的風(fēng)險態(tài)度可由u(px+(1-p)y)=u(x,y,p)的比較來刻畫，如果有

成立，那么稱該經(jīng)濟(jì)活動者為風(fēng)險中性者；

如果有

成立，稱該經(jīng)濟(jì)活動者為風(fēng)險厭惡者；如果有

成立，稱該經(jīng)濟(jì)活動者為風(fēng)險愛好者.

2.2 風(fēng)險偏好的期望效用函數(shù)度量

當(dāng)財富水平的變化不改變風(fēng)險偏好時，即滿足(x,p,y)～τ?(x,p,y)+ω～τ+ω時，我們稱其為定常風(fēng)險偏好，對上式兩端同時帶入期望效用函數(shù)中運(yùn)算可得

若u(x)在R上不恒為零、嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)可微，則按加法定理可以證明，當(dāng)投資者為風(fēng)險中性時，投資者的效用函數(shù)為u(x)=bx+d，當(dāng)投資者為風(fēng)險偏好或風(fēng)險厭惡時，其期望效用函數(shù)u(x)=(ebcx-1)/c+d.具體的證明可以詳見文獻(xiàn)[4].

對u(x)取二階導(dǎo)數(shù)，可得u(x)"=b2cebcx，當(dāng)c＞0時，此時u(x)"＞0，對應(yīng)的投資者為風(fēng)險厭惡者，其風(fēng)險厭惡程度-bc.當(dāng)c＜0時，此時u(x)"＞0，對應(yīng)的投資者為風(fēng)險偏好者，其風(fēng)險厭惡程度-bc.

假設(shè)x0表示發(fā)生風(fēng)險事件的收益，y0表示未發(fā)生損失事件后的收益，發(fā)生損失時的概率為1/2，為簡便起見，令u(x0)=0，u(y0)=1.假設(shè)投資者的賭博當(dāng)量(x0,y0,1/2)～τ，令 z(x)=(x-x0)/(y-y0)，且 z(τ0)=1/4，聯(lián)立 u(x0)=0，u(y0)=1，(x0,y0,1/2)～τ0可得其期望效用函數(shù)為u(x)=1.7841(1-e-0.8221(x-x0)/(y0-x0))，是風(fēng)險厭惡的情況，其厭惡程度為0.8221/(y0-x0).

當(dāng)財富水平改變風(fēng)險偏好時，我們稱其為非定常風(fēng)險偏好，顯然這在現(xiàn)實(shí)中更加普遍.若所取時間段很短，且在這個時間段內(nèi)沒有發(fā)生最嚴(yán)重的損失事件，可以假設(shè)財富變化對風(fēng)險偏好的變化的影響不顯著，我們?nèi)匀豢梢圆捎蒙鲜龆ǔｏL(fēng)險偏好的結(jié)論，其關(guān)鍵是對投資者賭博當(dāng)量的測試，例如在當(dāng)前財富水平下，賭博當(dāng)量為(1,0,1/3)～1/2，u(x0)=0，u(y0)=1，所求得的期望效用函數(shù)是在當(dāng)前財富水平下，很小時間段內(nèi)的期望效用函數(shù),對應(yīng)的是風(fēng)險追求的情況，其風(fēng)險厭惡程度為-1.3863/(y0-x0).

3 VAR(CVAR)模型下的風(fēng)險偏好度量

考慮到投資者對損失的敏感性，投資者僅把低于一定數(shù)值的收益看成風(fēng)險，我們把收益區(qū)間進(jìn)行分割，分為高盈利部分和低盈利部分，這里的低盈利部分就是投資者認(rèn)為的風(fēng)險損失部分，是投資者不希望出現(xiàn)的.高盈利部分是投資者認(rèn)為的收益部分，是投資者所追求的.高盈利部分發(fā)生的概率為β，低盈利部分為1-β.接下來我們從CVAR模型和VAR模型來對不同風(fēng)險偏好進(jìn)行度量和研究.

風(fēng)險規(guī)避者不僅關(guān)注自身利潤，更關(guān)注風(fēng)險損失情況，用CvaR衡量大于某一損失水平部分的損失期望.在給定的容忍損失水平下，風(fēng)險規(guī)避者要求在這一損失水平下利潤值的期望最大，即損失發(fā)生時其利潤部分的期望值最大.給定某一置信水平β，β∈(0,1)，π表示收益情況，

其中Z1-β是概率為1-β時對應(yīng)的分位數(shù).CvaR為利潤水平低于VaR的利潤期望，則

當(dāng)投資者為風(fēng)險規(guī)避者時，其更關(guān)注風(fēng)險損失部分的收益，目標(biāo)函數(shù)為max{CvaRβπ}.當(dāng)投資者為風(fēng)險偏好者時，風(fēng)險偏好者更關(guān)注高盈利部分的收益，即在β置信水平上，風(fēng)險偏好者要求利潤值不低于Z1-β的收益期望最大.風(fēng)險偏好投資者的決策模型為：

不同風(fēng)險偏好者對高收益部分與低收益部分關(guān)注程度也不同.為了準(zhǔn)確度量風(fēng)險偏好，假設(shè)高收益部分的占比為λ，收益期望記為E1，低收益部分占比為(1-λ)，收益期望記為E2.假設(shè)收益的密度函數(shù)為f(x)，則

風(fēng)險偏好可以通過函數(shù)λE1(1-λ)E2來度量，當(dāng)λ=1/2時，表示對風(fēng)險和收益持相同的關(guān)注度，為風(fēng)險中性.當(dāng)λ＞1/2時，表示更關(guān)注收益部分，為風(fēng)險追求者，且λ越大其風(fēng)險厭惡程度越低.當(dāng)λ＜1/2時，表示更關(guān)注風(fēng)險損失部分，為風(fēng)險厭惡者，且λ越小其風(fēng)險厭惡程度越高.

4 設(shè)定偏好性質(zhì)的風(fēng)險偏好度量

除了從期望效用函數(shù)和風(fēng)險價值度的角度來度量風(fēng)險偏好，投資者還可以根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定風(fēng)險偏好的性質(zhì)來度量風(fēng)險偏好.假設(shè)投資者更加關(guān)注安全性和期望收益，設(shè)As是投資者能容忍的收益底線，從投資者的心理感受出發(fā)，用變量的實(shí)際值小于As來表示風(fēng)險，即X≤As，當(dāng)X＞As時表示資金安全，未來收益不低于As的概率為Ps，用p來衡量對安全性指標(biāo)的重視程度.則投資者的風(fēng)險偏好可以由效用函數(shù)u(x)=PSpE(x)(1-p)來度量.p值越大表明越重視安全性.

設(shè)收益X對應(yīng)的概率密度函數(shù)為f(x)，則有

其中As與p由投資者的偏好性質(zhì)預(yù)先設(shè)定.在這種風(fēng)險偏好度量方法中，投資者根據(jù)歷史數(shù)據(jù)得出收益的分布情況，并求出收益的概率密度函數(shù)，As是投資者容忍的收益底線，p值的確定可以由投資者過往的投資決策結(jié)合當(dāng)下的風(fēng)險偏好情況得出，主觀性強(qiáng).

類似的，在預(yù)設(shè)風(fēng)險偏好性質(zhì)的度量中，投資者可以根據(jù)自己的風(fēng)險厭惡程度，通過預(yù)設(shè)δ值調(diào)整收益率來度量風(fēng)險，δ表示對風(fēng)險重視程度.如果投資者對風(fēng)險厭惡程度重，則設(shè)置δ＜1,反之，對債券的長期價值比較樂觀，為減少對風(fēng)險的敏感度，則設(shè)置δ＜1.通過風(fēng)險偏好的不同而調(diào)整的收益率z可以表示成如下形式:

a表示投資者平均收益率，X為實(shí)際收益率，ε表示決策者對收益率波動誤差的估計，在實(shí)踐中一般假設(shè)ε服從正態(tài)分布.δ取值大小由投資者的風(fēng)險偏好程度預(yù)先設(shè)定，b的設(shè)置是為了確保δ的取值關(guān)注的是風(fēng)險造成的損失，而不會同時放大收益，造成誤判.

在設(shè)定風(fēng)險偏好性質(zhì)的風(fēng)險偏好度量中，參數(shù)的選取完全由投資者的風(fēng)險厭惡程度決定，且度量風(fēng)險偏好的效用函數(shù)不是唯一的，它由投資者的實(shí)際需要和風(fēng)險偏好的性質(zhì)共同決定.與期望效用函數(shù)和條件在險價值法度量風(fēng)險偏好的方法相比更加靈活且操作性更強(qiáng)，但由于其主觀性更強(qiáng)且誤差更大，在不需要對風(fēng)險偏好精確度量的情況下可以作為度量風(fēng)險偏好的重要補(bǔ)充.

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2017-06-11