賀 丹，楊子豪

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽(yáng) 110136)

考慮尺度依賴(lài)的平面正交各向異性功能梯度Mindlin板靜彎曲模型

賀 丹，楊子豪

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽(yáng) 110136)

基于各向異性修正偶應(yīng)力理論建立了能夠考慮尺度依賴(lài)的平面正交各向異性功能梯度板靜彎曲模型。模型中引入兩個(gè)正交材料尺度參數(shù)，因此能夠分別描述正交方向上不同程度的尺度效應(yīng)?；谔摴υ硗茖?dǎo)了平衡方程和邊界條件，并以受雙向正弦載荷作用的簡(jiǎn)支板為例分析了尺度效應(yīng)對(duì)板彎曲撓度產(chǎn)生的影響。算例結(jié)果表明：基于模型得到的板彎曲撓度總是小于傳統(tǒng)一階剪切板理論給出的結(jié)果，即捕捉到了尺度效應(yīng)；尺度效應(yīng)在尺度參數(shù)與幾何尺寸接近時(shí)顯著，而在幾何尺寸遠(yuǎn)大于尺度參數(shù)時(shí)消失；此外，功能梯度變化指數(shù)和板跨厚比也會(huì)對(duì)尺度效應(yīng)產(chǎn)生一定影響。

修正偶應(yīng)力理論；功能梯度材料；正交各向異性；尺度效應(yīng)；材料尺度參數(shù)

功能梯度材料是由兩種或兩種以上組份材料混合制備的先進(jìn)復(fù)合材料。與傳統(tǒng)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)相比，功能梯度材料因其具有沿梯度方向連續(xù)變化的力學(xué)性能有效避免了傳統(tǒng)層合結(jié)構(gòu)中由層間應(yīng)力不連續(xù)導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)脫層失效，從而被廣泛應(yīng)用到實(shí)際工程領(lǐng)域，其中就包括微米/納米量級(jí)的裝置和系統(tǒng)，如：薄膜[1-2]、原子力顯微鏡[3]、微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)[4]、納機(jī)電系統(tǒng)(NEMS)[5]以及生物傳感裝置[6]。

當(dāng)材料進(jìn)入到微尺度領(lǐng)域，其力學(xué)性能往往表現(xiàn)出較宏觀狀態(tài)更高的剛度，這種現(xiàn)象被稱(chēng)為材料力學(xué)行為的尺度效應(yīng)[7-8]。傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)理論由于缺乏描述微觀結(jié)構(gòu)特性的方法而無(wú)法對(duì)尺度效應(yīng)做出合理的解釋。非傳統(tǒng)廣義連續(xù)介質(zhì)理論，如：應(yīng)變梯度理論[9]和偶應(yīng)力理論[10-11]則通過(guò)引入材料尺度參數(shù)(MLSPs)而具備了這種能夠描述尺度效應(yīng)的能力。其中，偶應(yīng)力理論可以被視為應(yīng)變梯度理論的一種特殊形式，但包含更少的MLSP。由于這些參數(shù)都只能通過(guò)復(fù)雜的試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行測(cè)定，因此包含更少尺度參數(shù)的理論在工程應(yīng)用的便利上更具優(yōu)勢(shì)。

Yang等[12]在傳統(tǒng)偶應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上提出了一種只含有一個(gè)MLSP的修正偶應(yīng)力理論，該理論被廣泛應(yīng)用到微尺度功能梯度梁/板力學(xué)性能的分析中[13-15]。值得注意的是，修正偶應(yīng)力理論是一種各向同性理論，而少數(shù)學(xué)者[16-17]通過(guò)該理論建模各向異性結(jié)構(gòu)則意味著在保留材料宏觀各向異性的同時(shí)忽略了微觀各向異性。為了能夠建立微尺度下層合板/梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型,陳萬(wàn)吉[18]提出了一種適用于各向異性材料的新修正偶應(yīng)力理論，并基于該理論開(kāi)展了一系列對(duì)微尺度層合梁/板彎曲[19]、振動(dòng)[20]、穩(wěn)定[21]等問(wèn)題的研究。在該理論中，分別表征纖維和基體的兩個(gè)MLSPs被引入到本構(gòu)方程中并最終忽略了基體MLSP，而這種忽略較小尺度參數(shù)的做法顯然不適用于各方向上微觀結(jié)構(gòu)差異較小的正交各向異性功能梯度材料。

本文首次嘗試在一階剪切板理論的基礎(chǔ)上，將正交各向異性功能梯度板拓展至微觀尺度，建立能夠描述尺度效應(yīng)的平面正交各向異性功能梯度板靜彎曲模型。模型中引入兩個(gè)沿正交方向用于描繪微觀結(jié)構(gòu)特性的材料尺度參數(shù),使其在考慮材料宏觀各向異性的同時(shí)也把微觀各向異性考慮在內(nèi)，由此具備了分別描述由尺度效應(yīng)帶來(lái)的兩個(gè)正交方向上不同程度的板彎曲剛度增強(qiáng)的能力。

1 新修正偶應(yīng)力理論

由陳萬(wàn)吉[18]提出的新修正偶應(yīng)力理論將各向同性修正偶應(yīng)力理論[12]推廣至各向異性領(lǐng)域。在該理論中，應(yīng)變張量的定義與傳統(tǒng)理論相同，曲率張量則被重新定義為

χij=ωi,j

(1)

其中：ui為平動(dòng)位移；ωi=eijkuk,j/2為轉(zhuǎn)動(dòng)位移；由式(1)可以清楚地看到應(yīng)變張量εij是對(duì)稱(chēng)的，而曲率張量χij是非對(duì)稱(chēng)的。本構(gòu)關(guān)系定義為

σij=Cijklεkl

(2)

式(2)中：σij和mij是對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力張量與偶應(yīng)力張量；Cijkl為剛度矩陣系數(shù)；Gi(i=1,2,3)為各向異性材料不同方向上的剪切模量；i(i=1,2)則為兩個(gè)正交方向上用于描繪材料微觀結(jié)構(gòu)特性的MLSPs(修正偶應(yīng)力理論中其數(shù)量唯一)。

2 考慮尺度依賴(lài)的平面正交各向異性功能梯度板

由兩種功能梯度組份材料構(gòu)成的平面正交各向異性功能梯度矩形板的幾何尺寸，坐標(biāo)系的建立如圖1所示。其中：a為板的長(zhǎng)度，b為寬度，h為板的總厚度。

圖1 平面正交各向異性功能梯度板的幾何尺寸和坐標(biāo)系

2.1 幾何方程

本文模型采用一階剪切變形Mindlin板理論，即將板的位移表示為

u(x,y,z)=u0(x,y)+zθx(x,y)

v(x,y,z)=v0(x,y)+zθy(x,y)

w(x,y)=w(x,y)

(3)

其中：u，v，w分別為板任意一點(diǎn)沿x軸，y軸和z軸方向上的位移；u0，v0為板幾何形心面上一點(diǎn)沿x軸和y軸方向上的位移；θx和θy分別為繞x軸和y軸的截面轉(zhuǎn)角。將式(3)代入到式(1)中，得到板的應(yīng)變分量

(4)

板的轉(zhuǎn)動(dòng)位移可由表達(dá)式θi=eijkuk,j/2及式(3)得到

(5)

其中：ωz=0假定[22]被用來(lái)簡(jiǎn)化公式和減少計(jì)算量而不會(huì)造成任何誤差。將式(3)代入到式(1)中可以得到板的非零曲率分量

(6)

2.2 本構(gòu)關(guān)系

對(duì)于如圖1所示的正交各向異性功能梯度微板，假設(shè)其宏觀材料屬性(如：彈性模量、剪切模量)沿厚度方向遵循式(7)中的冪指數(shù)形式[23]連續(xù)變化

(7)

其中：r為功能梯度變化指數(shù)；h為梁的高度，z為梁內(nèi)一點(diǎn)距梁幾何形心面的距離；角標(biāo)t、b分別代表功能梯度梁的頂端和底部；E1、E2、G12、G13、G23分別為正交各向異性材料不同方向上的彈性模量和剪切模量。

由式(2)可知：各向異性修正偶應(yīng)力理論下的正交各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系可以表示為

σ=Cε

(8)

其中：

σ=[σx,σy,τxy,τxz,τyz,mx,my,mxy,myx]T，

ε=[εx,εy,γxy,γxz,γyz,χx,χy,χxy,χyx]T,C為忽略橫法向應(yīng)力的剛度矩陣。

(9)

其中：Ci(z)(i=11,12,21,22,44,55,66)為宏觀狀態(tài)下與應(yīng)力-應(yīng)變有關(guān)的彈性矩陣系數(shù)；1(z)，2(z)則為兩個(gè)正交方向上與微觀狀態(tài)下偶應(yīng)力-曲率有關(guān)的MLSPs。對(duì)于功能梯度板來(lái)說(shuō)，這些系數(shù)均為沿板厚度方向坐標(biāo)z的函數(shù)，而這些系數(shù)與工程彈性常數(shù)之間的關(guān)系，可在相關(guān)文獻(xiàn)[24]中獲得。

3 基于虛功原理的平衡方程和邊界條件

通過(guò)虛功原理來(lái)推導(dǎo)平面正交各向異性功能梯度微板的平衡方程和邊界條件。該原理可以表述為

δU-δW=0

(10)

其中：基于新修正偶應(yīng)力理論的虛應(yīng)變能δU可以表示為

δU=?V(σxδεx+σyδεy+τxyδγxy+τxzδγxz+

τyzδγyz+mxδχx+myδχy+mxyδχxy+myxδχyx)dV

(11)

式(11)中：V為整個(gè)板區(qū)域。虛外力功δW為

(12)

(13)

將式(11)和(12)代入式(10)中得到用內(nèi)力表示的平衡方程及邊界條件

+q=0

(14)

式(14)中與傳統(tǒng)合力、合力距以及偶應(yīng)力力矩相關(guān)的符號(hào)定義為：

(NxMxNyMyNxyMxyQxzQyzYxYyYxyYyx)=

其中：Ks為橫向剪切修正系數(shù)。邊界條件為

(15)

式(15)中：nx，ny為板邊界外法線方向余弦。

4 算例分析

采用如圖2所示的受雙向正弦載荷作用的功能梯度簡(jiǎn)支板。其中，板的宏觀材料屬性在沿板厚度方向遵循式(7)中的冪指數(shù)形式連續(xù)變化。同時(shí)，假設(shè)板的微觀屬性(MLSPs)及泊松比沿板厚度方向保持不變。雙向正弦載荷q=q0sin(πx/a)sin(πy/b)。

圖2 受雙向正弦載荷作用的功能梯度簡(jiǎn)支板

簡(jiǎn)支板的邊界條件為

x=0,a:v0=w=?w/?y=θy=φy=Nx=Mx=Yyx=0

y=0,b:u0=w=?w/?x=θx=φx=Ny=My=Yxy=0

(16)

滿(mǎn)足所有邊界條件的位移試函數(shù)將取為

(17)

將式(17)代入到平衡方程(14)中，便可以得到位移試函數(shù)中的未知系數(shù){U,V,W,Θx,Θy}，從而獲得完整板位移表達(dá)式。簡(jiǎn)支板的工程彈性常數(shù)以及橫向剪切修正系數(shù)如表1所示。

表1 微尺度平面正交各向異性功能梯度梁的彈性模量及工程常數(shù)

4.1 功能梯度微板中的尺度效應(yīng)

本節(jié)主要研究多組跨厚比下功能梯度方板中的尺度效應(yīng)對(duì)板彎曲撓度產(chǎn)生的影響。其中，與參考文獻(xiàn)[25]一致的無(wú)量綱處理為

(18)

當(dāng)板跨厚比取不同值時(shí)，尺度效應(yīng)對(duì)功能梯度微板彎曲撓度產(chǎn)生的影響如圖3所示。圖3中，橫坐標(biāo)分別為兩個(gè)正交方向上的MLSPs與板厚度h的比值；縱坐標(biāo)為無(wú)量綱撓度。功能梯度變化指數(shù)r在本算例中取值為3。

由圖3可知：當(dāng)功能梯度微板的幾何形狀保持不變(a/2h=constant)時(shí)，基于本文模型所預(yù)測(cè)的無(wú)量綱撓度總是小于基于傳統(tǒng)一階剪切變形板理論得到的結(jié)果。此時(shí)，簡(jiǎn)支板表現(xiàn)出較宏觀狀態(tài)下更高的抗彎剛度，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)所謂的“尺度效應(yīng)”；尺度效應(yīng)會(huì)在MLSPs與板幾何尺寸接近時(shí)更加明顯，而在幾何尺寸遠(yuǎn)大于MLSPs時(shí)消失。這種趨勢(shì)與微彎曲試驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象一致，因此可以證明本文模型能夠有效地捕捉和反映尺度效應(yīng)，而這是傳統(tǒng)板理論無(wú)法做到的。此外，由尺度效應(yīng)引起的板彎曲剛度增強(qiáng)在兩個(gè)正交方向上程度不一。這種由微觀各向異性導(dǎo)致的現(xiàn)象最終被引入兩個(gè)MLSPs的本文模型解釋?zhuān)瑥浹a(bǔ)了以往各向同性偶應(yīng)力理論模型的不足。

4.2 板跨厚比對(duì)尺度效應(yīng)產(chǎn)生的影響

圖3 MLSPs取不同值時(shí)功能梯度微板的全局響應(yīng)

由圖4可知：基于本文模型得到的在板y=b/2處的彎曲撓度均小于基于傳統(tǒng)一階剪切板理論得到的結(jié)果；當(dāng)MLSPs一定時(shí)，二者間的差值隨著功能梯度微板跨厚比的增加而逐漸變大。由此可以推斷：當(dāng)板跨厚比較小，模型較厚時(shí)，尺度效應(yīng)消失。

圖4 不同板理論下，功能梯度微板在y=b/2處彎曲撓度對(duì)比圖

4.3 功能梯度變化指數(shù)對(duì)尺度效應(yīng)產(chǎn)生的影響

當(dāng)微板MLSPs及幾何形狀保持不變時(shí)，功能梯度變化指數(shù)r對(duì)尺度效應(yīng)的影響如圖5所示。圖5中，橫坐標(biāo)為功能梯度變化指數(shù)；縱坐標(biāo)為基于本文模型(p)得到的簡(jiǎn)支板無(wú)量綱撓度與傳統(tǒng)一階剪切變形理論(c)結(jié)果的比值，其值越小，尺度效應(yīng)越明顯。

由圖5可知：當(dāng)簡(jiǎn)支板幾何形狀和MLSPs保持不變時(shí)，不同板理論下簡(jiǎn)支板無(wú)量綱撓度的比值隨著功能梯度變化指數(shù)的增加先是明顯減小。在達(dá)到最小值后，隨著r值的繼續(xù)增大，比值緩慢增加，簡(jiǎn)支板表現(xiàn)出的尺度效應(yīng)逐漸減弱，但并不會(huì)消失，而是逐漸收斂于某一特定值。同時(shí)，通過(guò)對(duì)比圖5中板跨厚比取不同值的3條曲線可以發(fā)現(xiàn)，隨著板跨厚比的減小，尺度效應(yīng)逐漸減弱，驗(yàn)證了算例4.2中得到的結(jié)論。

5 結(jié)論

(1)本文在各向異性修正偶應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上建立了能夠描述尺度效應(yīng)的功能梯度微板靜彎曲模型。模型中引入了兩個(gè)沿著正交方向上的材料尺度參數(shù)，因此能夠分別描述兩個(gè)正交方向上由尺度效應(yīng)帶來(lái)的不同程度的板彎曲剛度增強(qiáng)。

(2) 基于本文模型得到的簡(jiǎn)支板無(wú)量綱撓度總是小于傳統(tǒng)一階剪切變形板理論給出的結(jié)果。此時(shí)微板表現(xiàn)出較宏觀狀態(tài)下更高的抗彎剛度，即捕捉到尺度效應(yīng)。

(3) 當(dāng)板跨厚比保持不變時(shí)，尺度效應(yīng)在MLSPs與板幾何尺寸接近時(shí)顯著，而在幾何尺寸遠(yuǎn)大于MLSPs時(shí)消失；當(dāng)MLSPs保持不變，尺度效應(yīng)隨板跨厚比的增加而逐漸增強(qiáng)。當(dāng)板跨厚比較小，模型較厚時(shí)，尺度效應(yīng)消失。

(4) 功能梯度變化指數(shù)對(duì)尺度效應(yīng)也有一定的影響，這種影響與功能梯度材料具體的變化形式有關(guān)，其相關(guān)結(jié)論可以為今后關(guān)于功能梯度夾心微梁/板的研究分析提供參考。

[1] FU Y,DU H,HUANG W,et al.TiNi-based thin films in MEMS applications:a review[J].Sensors & Actuators A Physical，2004,112(2-3):395-408.

[2] FU Y,DU H,ZHANG S.Functionally graded TiN/TiNi shape memory alloy films[J].Materials Letters,2003,57(20):2995-2999.

[3] RAHAEIFARD M,KAHROBAIYAN M H,AHMADIAN M T.Sensitivity analysis of atomic force microscope cantilever made of functionally graded materials[Z].San Diego.USA:American Society of Mechanical Engineers,2009539-544.

[4] WITVROUW A,MEHTA A.The use of functionally graded poly-SiGe layers for MEMS applications[C].Trans Tech Publ,2005.

[5] LEE Z,OPHUS C,FISCHER L M,et al.Metallic NEMS components fabricated from nanocomposite Al-Mo films[J].Nanotechnology,2006,17(12):3063-3070.

[6] SHAAT M,ABDELKEFI A.Modeling of mechanical resonators used for nanocrystalline materials characterization and disease diagnosis of HIVs[J].Springer-Verlag,2016,22(2):305-318.

[7] FLECK N A,MULLER G M,ASHBY M F,et al.Strain gradient plasticity:Theory and experiment[J].Acta Metallurgica Et Materialia,1994,42(2):475-487.

[8] ST?LKEN J S,EVANS A G.A microbend test method for measuring the plasticity length scale[J].Acta Materialia,1998,46(14):5109-5115.

[9] MINDLIN R D.Micro-structure in linear elasticity[J].Archive for Rational Mechanics & Analysis,1964,16(1):51-78.

[10]TOUPIN R A.Elastic materials with couple-stresses[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1962,11(1):385-414.

[11]MINDLIN R D,TIERSTEN H F.Effects of couple-stresses in linear elasticity[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1962,11(1):415-448.

[12]YANG F,CHONG A C M,LAM D C C,et al.Couple stress based strain gradient theory for elasticity[J].International Journal of Solids and Structures,2002,39(10):2731-2743.

[13]PARK S K,GAO X L.Bernoulli-Euler beam model based on a modified couple stress theory[J].Journal of Micromechanics and Microengineering,2006,16(11):2355.

[14]MA H M,GAO X L,REDDY J N.A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,2008,56(12):3379-3391.

[15]TSIATAS G C.A new Kirchhoff plate model based on a modified couple stress theory[J].International Journal of Solids & Structures,2009,46(13):2757-2764.

[16]TSIATAS G C,YIOTIS A J.A microstructure-dependent orthotropic plate model based on a modified couple stress theory[J].Recent Developments in Boundary Element Methods,A Volume to Honour Professor John T.Katsikadelis,2011,46(13):2757-2764.

[17]GUO J,CHEN J,PAN E.Size-dependent behavior of functionally graded anisotropic composite plates[J].International Journal of Engineering Science,2016,106:110-124.

[18]CHEN W,LI X.A new modified couple stress theory for anisotropic elasticity and microscale laminated Kirchhoff plate model[J].Archive of Applied Mechanics,2014,84(3):323-341.

[19]CHEN W,LI L,XU M.A modified couple stress model for bending analysis of composite laminated beams with first order shear deformation[J].Composite Structures,2011,93(11):2723-2732.

[20]CHEN W,LI X.Size-dependent free vibration analysis of composite laminated Timoshenko beam based on new modified couple stress theory[J].Archive of Applied Mechanics,2013,83(3):431-444.

[21]李莉，陳萬(wàn)吉，鄭楠.修正偶應(yīng)力理論層合薄板穩(wěn)定性模型及尺度效應(yīng)[J].工程力學(xué),2013(5):1-7.

[22]YANG S,CHEN W.On hypotheses of composite laminated plates based on new modified couple stress theory[J].Composite Structures,2015,133:46-53.

[23]ASGHARI M,RAHAEIFARD M,KAHROBAIYAN M H,et al.The modified couple stress functionally graded Timoshenko beam formulation[J].Materials & Design,2011,32(3):1435-1443.

[24]矯桂瓊，賈普榮.復(fù)合材料力學(xué)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.

[25]IURLARO L,GHERLONE M,SCIUVA M D.Bending and free vibration analysis of functionally graded sandwich plates using the Refined Zigzag Theory[J].Journal of Sandwich Structures & Materials,2014,81(5):641.

(責(zé)任編輯：吳萍 英文審校：趙歡)

Staticbendingmodelofsize-dependentplaneorthotropicfunctionallygradedMindlinplate

HE Dan，YANG Zi-hao

(Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

A static bending model of size-dependent plane orthotropic functionally graded plate was proposed based on an anisotropic modified couple stress theory.The model included two orthogonal material length scale parameters,and thus can describe separately effects with different scale in orthogonal directions.The equilibrium equations and boundary conditions were deduced by the virtual work principle.The effects of scale effect on bending deflections were analyzed for a simply supported plate with a double sinusoidal load.Numerical results indicated that the scale effect was depicted well,and deflections calculated by the present model were smaller than those from the classical one.The scale effect was obvious as the geometry size approached the material length scale parameters,but it disappeared when the geometry size was much higher than those parameters.In addition,both grading index and span-to-thickness ratio have specific impacts on the scale effect.

modified couple stress theory;functionally graded material;orthotropic;scale effect;material length scale parameter

2017-05-12

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào):11572204,11572081)

賀丹(1979-),遼寧沈陽(yáng)人,副教授,博士,主要研究方向:微細(xì)觀復(fù)合材料力學(xué)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化,E-mail:Danhe@sau.edu.cn。

2095-1248(2017)04-0041-07

TB330.1

： A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.04.005