王振+++尤蘭

【基金項(xiàng)目】鹽城工學(xué)院人才引進(jìn)項(xiàng)目（XKR2011022）。

【中圖分類號(hào)】O151.22-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）35-0003-02

行列式和矩陣是線性代數(shù)中最先介紹的兩個(gè)基本概念，貫穿整個(gè)線性代數(shù)課程。但部分同學(xué)在學(xué)完了線性代數(shù)之后，對(duì)它們的符號(hào)、性質(zhì)及應(yīng)用卻依然沒(méi)有搞清楚，往往混淆。多年來(lái)已有一些作者對(duì)這一對(duì)概念進(jìn)行分析，但由于這兩個(gè)概念在線性代數(shù)的每個(gè)部分都需要用到，所以詳細(xì)地、多角度地分清這兩個(gè)基本概念，對(duì)學(xué)好、用好線性代數(shù)這門(mén)課程非常必要。文獻(xiàn)[1，2]對(duì)這行列式與矩陣從概念與性質(zhì)角度已做了部分辨析，下面筆者擬從概念、運(yùn)算、化簡(jiǎn)、應(yīng)用四個(gè)方面對(duì)這兩個(gè)概念進(jìn)行剖析，給出它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，串起線性代數(shù)中大部分內(nèi)容，希望能對(duì)線性代數(shù)的教與學(xué)提供一個(gè)參考。

1.概念的比較

1.1行列式與矩陣概念的區(qū)別

由行列式和矩陣的定義可知，雖然行列式與矩陣表面上都是將一些數(shù)按行按列排成數(shù)表，再在兩邊加上一個(gè)符號(hào)的形式，但這兩個(gè)概念是完全不同的。

首先，兩邊所加的符號(hào)不同：行列式兩邊用豎線“||”，而矩陣兩邊用圓括弧 “（ ）”或方括弧“”[ ]。其次，形狀不同：行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，但矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以不相等。再次，意義不同：n階行列式是由n個(gè)數(shù)a（1≤i，j≤n）按規(guī)定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)，而m行n列矩陣是由m×n個(gè)數(shù)aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一個(gè)數(shù)表。

故兩個(gè)表面不一樣的行列式，它們的值卻可能相等；而兩個(gè)矩陣相等則要求必須是同型矩陣且相同位置元素相等，所以兩個(gè)不同型的零矩陣是不相等的。

1.2與行列式、矩陣相關(guān)的一些概念

當(dāng)A是方陣（行數(shù)=列數(shù)）時(shí)，有對(duì)應(yīng)的行列式|A|，稱為方陣A陣的行列式；當(dāng)A不是方陣時(shí)，沒(méi)有對(duì)應(yīng)的行列式。

在一般m×n矩陣A中，任取k行與k列（k≤m，k≤n），位于這些行列交叉處的k個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式。當(dāng)A是方陣時(shí)，由A的行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，其中余子式Mij均是將|A|中的第i行，第j列劃去所得到的n-1階行列式。

2.運(yùn)算的比較

將若干行列式（矩陣）按某種法則處理得到一個(gè)新的行列式（矩陣），稱為行列式（矩陣）的運(yùn)算.行列式與矩陣在同類運(yùn)算過(guò)程中所滿足的性質(zhì)并不相同。

2.1 轉(zhuǎn)置運(yùn)算

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，而矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣不一定相等。若A=A時(shí)，稱A為對(duì)稱矩陣，此時(shí)A一定是方陣。

2.2 數(shù)乘運(yùn)算

數(shù)與行列式相乘，等于用數(shù)乘以行列式的某一行（列）中所有元素；而數(shù)與矩陣相乘，等于用數(shù)乘以矩陣中的所有元素。當(dāng)矩陣A是n階方陣時(shí)，設(shè)λ為數(shù)，則。

2.3 加法運(yùn)算

若行列式的第i行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則行列式可以表示為兩個(gè)行列式之和，參見(jiàn)[3]中第一章第五節(jié)性質(zhì)5。而矩陣的加法是對(duì)兩個(gè)同型矩陣，將相同位置上的元素相加。若A，B為同階方陣，則|AB|=|A||B|

2.4 乘法運(yùn)算

兩個(gè)行列式相乘就是它們的值相乘，結(jié)果是一個(gè)數(shù)，并不是將行列式中的元素直接相乘得到一個(gè)新的行列式。而兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等，結(jié)果是一個(gè)新的矩陣。

2.5 交換兩行（列）

行列式交換兩行（列）行列式要變號(hào)；而矩陣交換兩行（列），前后兩個(gè)矩陣不一定相等，它們之間是等價(jià)的關(guān)系。

3.行列式化簡(jiǎn)為上（下）三角形行列式與矩陣化簡(jiǎn)為行階梯形（行最簡(jiǎn)形）矩陣的比較

無(wú)論是行列式還是矩陣，都有以下三種初等變換：交換第i，j兩行（列）；將第i行（列）乘以某個(gè)非零數(shù)k；將第j行（列）乘以某個(gè)數(shù)k加到第i行（列）上去。

利用這三種初等變換及相關(guān)性質(zhì)，可以將一個(gè)行列式化為一個(gè)上（下）三角形行列式，從而算得行列式的值；也可以將一個(gè)矩陣化為一個(gè)行階梯形矩陣或行最簡(jiǎn)形矩陣，從而求出相關(guān)問(wèn)題。這兩種化簡(jiǎn)的思路相同，但在具體化簡(jiǎn)過(guò)程中又要注意一下區(qū)別：在行列式化簡(jiǎn)過(guò)程中，可以僅使用行變換化簡(jiǎn)，但使用列變換也是允許的，且前后兩個(gè)行列式之間用“=”連接，表示前后始終要保持相等；而在矩陣的化簡(jiǎn)過(guò)程中，只允許使用行變換，且前后兩個(gè)矩陣之間用“～”或“→”連接，表示前后兩個(gè)矩陣僅是等價(jià)關(guān)系，一般并不相等。

例如，為了計(jì)算行列式的值，可以將D化為上三角形行列式如：，所以。而若要將矩陣化為行階梯形矩陣，可采用如下化簡(jiǎn)過(guò)程：

。

由于這兩個(gè)化簡(jiǎn)過(guò)程思路相同，而部分同學(xué)對(duì)行列式與矩陣又沒(méi)有搞清楚，因此在計(jì)算中就往往會(huì)將行列式與矩陣混淆，“=”與“～”混淆，最后得出錯(cuò)誤結(jié)果。

4.應(yīng)用的比較

在線性代數(shù)中，有許多問(wèn)題既可以借助于矩陣來(lái)解決，也可以用行列式來(lái)解決，學(xué)生往往對(duì)使用哪一種方法及如何使用搞不清楚。下面我們就來(lái)比較一下矩陣與行列式在這些問(wèn)題中用法的不同。

4.1 求矩陣的逆

給定一個(gè)方陣A，若|A|≠0，則A可逆，即存在一個(gè)矩陣B，使得AB=BA=E，稱B為A的逆矩陣，記作A。那么如何求A呢？我們有如下兩種方法。

（1）用伴隨矩陣求逆：先計(jì)算|A|的值，若|A|≠0，再計(jì)算|A|中每個(gè)元素的代數(shù)余子式，構(gòu)造伴隨矩陣A，由公式，即得A。

（2）用初等變換求逆：將（A，E）通過(guò)初等行變換化為（E，X），則A=X，若（A，E）不能化為形如（E，X）的矩陣，則說(shuō)明A不可逆。若將A與E放在一列，也可通過(guò)初等列變換求逆。endprint

因此用伴隨矩陣求逆需要計(jì)算一個(gè)n階行列式和n個(gè)n-1階行列式，計(jì)算量非常大，且易出錯(cuò)，往往只對(duì)一些特殊的矩陣（如階數(shù)≤3的矩陣）采用這種方法，而對(duì)一般的可逆矩陣用初等變換求逆就比較簡(jiǎn)便。

4.2 求矩陣的秩

給定一個(gè)矩陣A，若A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有的r+1階子式（如果存在的話）全等于0，則D稱為A的最高階非零子式，r稱為A的秩，記為R（A）。那么如何求矩陣的秩呢？

（1）初等變換法：利用若A與B等價(jià)，則R（A）=R（B），這個(gè)結(jié)論將矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變成行階梯形矩陣B，然后B中非零行的行數(shù)就是A的秩。

（2）定義法：由定義計(jì)算A中的子式的值，找出最高階非零子式，從而求出矩陣的秩。

因此求一般矩陣的秩往往使用初等變換法。僅對(duì)一些特殊矩陣，如含0較多的或階數(shù)較低的矩陣，考慮使用定義法。

4.3解線性方程組

給定一個(gè)n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組，解方程組是指先判斷方程組是否有解，然后若有解再求出通解，主要有以下兩種求解方法：

（1）矩陣法：對(duì)任一線性方程組，均可使用矩陣法解方程組，取增廣矩陣，對(duì)作初等行變換，化為行階梯形矩陣，比較R（B）與R。若R（B）

（2）行列式法：僅當(dāng)m=n且系數(shù)行列式時(shí)，方可使用行列式法。此時(shí)由克萊默法則知方程組有唯一解，其中是把系數(shù)行列式D中第i列的元素用代替后所得到的n階行列式。

注意，若m≠n或m=n但D=0，克萊默法則并不成立。

4.4判斷向量組的線性相關(guān)性

給定一個(gè)由m個(gè)n維列向量構(gòu)成的向量組，判斷該向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，我們也有兩種方法。

（1）矩陣法：對(duì)任一向量組，均可使用矩陣法判斷線性相關(guān)性。即構(gòu)造矩陣A=（），對(duì)A作初等行變換，化為行階梯形矩陣B，比較A的秩R（A）（即B中非零行的行數(shù)）與向量的個(gè)數(shù)m的大小。若R（A）

（2）行列式法：僅當(dāng)向量的個(gè)數(shù)m=向量的維數(shù)n時(shí)，方可使用行列式法來(lái)判斷向量組的線性相關(guān)性。此時(shí)構(gòu)造n階行列式，并計(jì)算|A|的值。若|A|=0，則向量組線性相關(guān)；若|A|≠0，則向量組線性無(wú)關(guān)。

4.5判斷向量是否可由向量組線性表示

給定向量組A：和向量，如果存在一組數(shù)，使，則稱向量能由向量組A線性表示。

由定義可知求向量由向量組A線性表示的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為線性方程組求解的問(wèn)題。而非齊次線性方程組求解的問(wèn)題我們?cè)谇懊?.3節(jié)已討論過(guò)。

4.6求矩陣的特征值與特征向量

設(shè)A是n階方陣，為了計(jì)算A的特征值與特征向量，需要先解出的全部解，這些解就是A的全部特征值。然后對(duì)每個(gè)特征值，求出的通解，其中全部非零解就是A的屬于特征值的特征向量。

在計(jì)算A的特征值與特征向量過(guò)程中，既需要計(jì)算行列式，也需要利用初等行變換解線性方程組。學(xué)生往往在這個(gè)地方將作為矩陣做初等行變換，或是將作為行列式來(lái)處理，從而引起錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)

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