王希超，劉 鋒，郭倩倩，曾連蓀

(上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海 201306)

M×M X信道與基本信道并存網(wǎng)絡(luò)的自由度

王希超，劉 鋒，郭倩倩，曾連蓀

(上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海 201306)

研究了在各節(jié)點(diǎn)已知全局信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)時，由M×MX信道(X Channel，XC)和基本信道構(gòu)成的并存網(wǎng)絡(luò)的自由度。此處基本信道涉及兩種類型：點(diǎn)對點(diǎn)信道(Point to Point， PTP)、M用戶廣播信道(Broadcast Channel，BC)。XC每個發(fā)送端給每個接收端發(fā)送期望消息，BC只給對應(yīng)接收端發(fā)送獨(dú)立消息。基于符號擴(kuò)展模型，通過分M個時隙討論，在每個時隙采用漸進(jìn)干擾對齊方案得到了M×MXC分別與上述兩種基本信道并存網(wǎng)絡(luò)的自由度下界。另一方面，該下界也被證明是自由度上界，故得出幾種并存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的自由度。

自由度；并存信道；符號擴(kuò)展；漸進(jìn)干擾對齊

0 引言

與單輸入單輸出系統(tǒng)相比，多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)系統(tǒng)[1-2]的容量有了很大的改善。根據(jù)自由度與信道容量公式C(SNR)=dlog(SNR)+o(log(SNR))可知，在高信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)下，o(log(SNR))是log(SNR)的高階無窮小，可以忽略，信道容量可用自由度近似線性表征。因此，可以通過研究自由度來替代研究信道容量，以規(guī)避從信息論本身出發(fā)研究信道容量的困難。

多輸入多輸出技術(shù)是從天線分集技術(shù)和智能天線技術(shù)演變而來，包含了兩種技術(shù)的優(yōu)勢。上世紀(jì)末，由貝爾實(shí)驗(yàn)室E.Telatar與J.Foshini證明了MIMO系統(tǒng)比較于之前的MISO和SIMO兩個通信系統(tǒng)，系統(tǒng)信道容量有明顯的提高[3-5]。

國內(nèi)外對于單個網(wǎng)絡(luò)單個信道的理論研究已經(jīng)非常成熟，而對于一般更復(fù)雜的多網(wǎng)絡(luò)或多個信道并存網(wǎng)絡(luò)的研究才剛剛開始。文獻(xiàn)[6]針對兩個BC共存時的自由度進(jìn)行了研究。通過迫零方法得到兩個小區(qū)相互干擾的K用戶BC網(wǎng)絡(luò)的自由度為d=min(2M,2KN,max(M,N)，其中兩個小區(qū)內(nèi)的基站天線配置為M，小區(qū)內(nèi)移動臺的天線配置為N。推廣到一般情況，文獻(xiàn)[7]將兩個小區(qū)擴(kuò)展到多個小區(qū)互相干擾的BC自由度分析。對于兩個PTP共存、PTP與BC共存以及基本信道與IC共存網(wǎng)絡(luò)的研究，通過線性干擾對齊技術(shù)分析均有相應(yīng)的結(jié)論。

1 系統(tǒng)模型

HM+1,M+1(k)VpkXpk+Zj(k))

(1)

其中，Yj(k)為第k個時隙第j個接收端的輸出信號，k∈{1,2,…,M}，j∈{1,2,…,M+1}；Hj,i(k)表示第k個時隙從發(fā)送端i到接收端j的信道矩陣；Xl⊕(k-1),l和Xpk表示第k個時隙主信道和次信道發(fā)送的消息，它們對應(yīng)的波束成形向量分別用Vl⊕(k-1),l和Vpk表示；Zj(k)為第k個時隙第j個接收端的噪聲。

圖1 M×M XC與PTP并存系數(shù)模型

HM+k,M+1VM+k,M+1XM+k,M+1+Zj(k)

(2)

圖2 M×M XC與BC并存網(wǎng)絡(luò)模型

2 M×M XC和PTP并存網(wǎng)絡(luò)的自由度

2.1自由度下界

圖1網(wǎng)絡(luò)中的主信道XC發(fā)送M2個消息，次信道PTP發(fā)送1個消息。將PTP發(fā)送的消息分成M個獨(dú)立的符號，用Xpk{k∈1,2,…,M}表示次信道PTP第k個時隙發(fā)送的符號。將所有M(M+1)個符號平均分配到M個時隙中發(fā)送，在第k個時隙發(fā)送的符號為Xl⊕(k-1),l(發(fā)送端l到接收端l⊕(k-1)的消息，l∈{1,2,…,M})和Xpk。若考慮M個時隙中的某一個時隙，則每個時隙相當(dāng)于一個M+1用戶干擾信道IC，如圖3所示以第1個時隙為例證明自由度下界。為了便于描述，將第一個時隙的信道矩陣Hj,i(1)簡記為Hj,i。

圖3 第1個時隙收發(fā)消息示意圖

定理1：M×MXC與PTP共存的網(wǎng)絡(luò)模型，在M個時隙內(nèi)總共可獲得的自由度為dXC+dPTP=(M+1)/2。

證明：采用干擾對齊方案：

圖3所示在接收端1，采用完美干擾對齊，將來自發(fā)送端2到發(fā)送端M+1的所有干擾消息與來自PTP發(fā)送端的消息完美對齊，約束關(guān)系如下式：

H1,2V2,2=H1,3V3,3=…=H1,MVM,M=H1,M+1VP1

(3)

在接收端k(k>1)采用漸進(jìn)干擾對齊，將來自其他發(fā)送端的所有干擾漸進(jìn)對齊到來自發(fā)送端1的干擾所在的空間維度上，得到如下約束關(guān)系：

(4)

(5)

(6)

其中，k,i∈{2,3,…,M+1},k≠i。令w=[1 … 1 1]T是Mn,1×1的列向量。從下面的集合中選擇B、V1,1，從而滿足式(6)約束關(guān)系。

(7)

(8)

要保證期望信號空間和干擾信號空間不重疊，需證明每個接收端的期望信號空間和干擾信號空間是滿秩的。

(9)

其中αk∈{0,1,2,…,n}，βk∈{0,1,2,…,n-1}，dl來自一個連續(xù)的分布。用反證法證明S是滿秩的，即只需推出P(det(S)=0)>0不成立。

將矩陣S按第一行展開得到其行列式為：

(10)

其中，Cm,n表示矩陣S中第m行第n列元素的代數(shù)余子式。如果λ1k,β1k的值給定，那么S=0必將導(dǎo)致下面所述條件之一：

(1)d1是此方程的根；

(2)λ1k、β1k的各次乘積項(xiàng)系數(shù)都等于0。

由于d1來自于一個連續(xù)的分布，所以滿足上述條件(1)的概率幾乎為零，下面只需要證明滿足上述條件(2)的概率大于零即可。即式(11)成立的概率大于零。

C1,(n+1)N+1+λ11C1,(n+1)N+2+…+

(11)

接下來考慮式(11)，同理必將滿足下面所述條件之一：

(1)λ1k是此方程的根；

(2)λ1k的各次乘積項(xiàng)系數(shù)都等于0。

滿足上述條件(1)的概率幾乎為零，故只需證明滿足上述條件(2)的概率大于零。由此可推出其中一個充分條件是P(C1,(n+1)N+nN=0)>0。然后，通過第一行最后一列元素的代數(shù)余子式等于零構(gòu)造一個方程，重復(fù)以上步驟Mn，1-1次后會推出矛盾。不失一般性，可假設(shè)w在第一列，則會推出“1=0”的矛盾。同理，在其他時隙采用相同方法，又因?yàn)橄到y(tǒng)總的自由度等于每個時隙的自由度相加再除以時隙數(shù)，所以每個時隙的自由度就等于系統(tǒng)總的自由度。

通過上述討論可以得到M×M用戶XC與PTP并存時的自由度為：dXC+dPTP=(M+1)/2。

2.2自由度上界

已知K用戶IC自由度外界為K/2，本節(jié)研究的并存信道模型上界推導(dǎo)分M個時隙考慮，即M(M+1)個符號分M個時隙發(fā)送。在第i個時隙發(fā)送的符號為Xi⊕(M-1),i和Xpi，共發(fā)送M+1個符號，這樣每時隙信道模型可以等價為一個M+1用戶IC。所以每一個時隙發(fā)送消息的自由度上界為(M+1)/2，M(M+1)個符號在M個時隙內(nèi)自由度上界為M(M+1)/2M=(M+1)/2。

由此可得，M×MXC與PTP并存網(wǎng)絡(luò)模型可達(dá)到自由度上界(M+1)/2，即自由度上下界是緊的。

3 M×M XC與BC并存網(wǎng)絡(luò)的自由度

3.1自由度下界

由圖2所示主網(wǎng)XC發(fā)送M2個消息，次網(wǎng)BC發(fā)送M個消息。在第k個時隙發(fā)送的消息為Xl⊕(k-1),l和XM+k,M+1，l∈{1,2,…,M}。同理這里以第1個時隙為例證明自由度下界。同樣，為了便于描述，信道矩陣Hj,i(1)簡記為Hj,i。

定理2：M×MXC與M用戶BC并存的網(wǎng)絡(luò)模型，在M個時隙內(nèi)總共可獲得的自由度為：

證明：采用干擾對齊方案

在接收端1，采用完美干擾對齊將發(fā)送端2到發(fā)送端M+1的干擾消息完美對齊，約束關(guān)系如下：

H1,2V2,2=H1,3V3,3…H1,MVM,M=H1,M+1VB1

(12)

在接收端k(k>1)采用漸進(jìn)干擾對齊，將來自其他發(fā)送端的干擾(除去來自發(fā)送端1的干擾外有M-1個干擾)漸進(jìn)對齊到來自發(fā)送端1的干擾所在的空間維度上，得到如下約束關(guān)系：

(13)

這樣每個接收端共有M-1個約束關(guān)系。與M×MXC與PTP并存同理，由式(12)和式(13)可得到：

(14)

(15)

其中，k,i∈{2,3,…,M+1},k≠i。令w=[1 … 1 1]T都是Mn,1×1的列向量。從下面的集合中選擇B、V1,1，從而滿足式(15)。

(16)

(17)

與M×MXC和PTP并存網(wǎng)路模型對比，接收端信號空間矩陣是相同的。滿秩證明與M×MXC和PTP并存網(wǎng)絡(luò)相同。

3.2自由度上界

已知K用戶IC自由度外界為K/2，本節(jié)研究的并存信道模型上界推導(dǎo)分M個時隙考慮，即M(M+1)個消息分M個時隙發(fā)送。每一個時隙發(fā)送M+1個消息，這樣每個時隙的信道模型可以等價為一個M+1用戶的IC。所以每一個時隙發(fā)送消息的自由度上界為(M+1)/2，M(M+1)個消息在M個時隙內(nèi)自由度上界為(M+1)/2，此上界與自由度下界是緊的。

4 結(jié)束語

本文對M×MXC與基本信道(PTP，BC)并存時網(wǎng)絡(luò)的自由度做了有關(guān)分析。首先分析了M×MXC與PTP共存網(wǎng)絡(luò)模型的自由度下界和上界，其次研究了M×MXC與M用戶BC共存時的自由度下界和上界。通過分析可知，本文所提出的干擾對齊方案可以使這兩種并存網(wǎng)絡(luò)模型的自由度下界與推導(dǎo)的自由度上界相等，即系統(tǒng)模型的自由度達(dá)到了(M+1)/2。

[1] BIGLIERI E,CALDERBANK R, CONSTANTINIDES A, et al. MIMO wireless communications[M].Cambridge University Press, 2007.

[2] 李韶華，王有政，周祖成. MIMO-OFDM中基于波束成形的天線選擇研究[J]. 微計算機(jī)信息，2007，23(6)：99-101.

[3] FOSCHINI G J,GANS M J. On limits of wireless communication in a fading environment when using multiple antennas[J].Wireless Personal Communications,1998,6(3):311-335.

[4] TELATAR I E. Capacity of multi-antenna Gaussian channels[J]. Bell Labs Tech MIMO, 1999,10(6): 585-595.

[5] CARLEIAL A. A case where interference dose not reduce capacity (corresp.) [J].IEEE Transactions on Information Theory, 1975, 21(5):569-570.

[6] KIM J, PARK S H, SUNG H, et al. Sum rate analysis of two-cell MIMO broadcast channels: spatial amultiplexing again[C].Proceedings of the Communications(ICC), 2010 IEEE International Conference on, IEEE, 2010: 1-5.

[7] SRIDHARAN G, YU W. Degrees of freedom of MIMO cellular networks: decomposition an dalinear beamforming design[J]. IEEE Transactions on Information Theory,2015,61(6):3339-3364.

王希超(1992-)，男，碩士研究生，主要研究方向：MIMO。

劉鋒(1976-)，通訊作者，男，博士，副教授，主要研究方向：無線通信。

郭倩倩(1990-)，女，碩士研究生，主要研究方向：MIMO。

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2017年8月29日-專注于新產(chǎn)品引入 (NPI) 并提供極豐富產(chǎn)品類型的業(yè)界頂級半導(dǎo)體和電子元器件分銷商貿(mào)澤電子(Mouser Electronics)即日起開售 Maxim Integrated的 MAX30004 生物電勢模擬前端(AFE)。MAX30004 AFE是針對可穿戴醫(yī)療應(yīng)用的單通道生物電勢心率監(jiān)測AFE解決方案，可用于心率胸帶和單導(dǎo)聯(lián)無線心率貼片等產(chǎn)品，在劇烈運(yùn)動時，無需在微控制器中提取和處理心電圖(ECG)數(shù)據(jù)。

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(貿(mào)澤電子 供稿)

DoF of coexisting network with M×M X channel and the basic channel

Wang Xichao, Liu Feng, Guo Qianqian, Zeng Liansun

(College of Information Engineering, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China)

This paper studied the degrees of freedom (DoF) for coexisting network composed byM×MX channel and basic channel with global channel state information (CSI) at each node. Here basic channel includes two types: point to point (PTP) andM-user broadcast channel (BC). Based on symbol extension model, we explore the asymptotic interference alignment approach to obtain the lower bound on the DoF of the coexisting network withM×MXC and the above two types of basic channels, respectively. On the other hand, this lower bound is proved to be the upper bound on DoF, so the DoF of the discussed coexisting networks is obtained.

degrees of freedom; coexisting channel; symbol extension; asymptotic interference alignment

TN929.5

：A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.17.021

王希超，劉鋒，郭倩倩，等.M×MX信道與基本信道并存網(wǎng)絡(luò)的自由度[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36(17)：71-74,78.

2017-01-14)