文︳陳金紅 黃克勤 羅先文

中國古代數(shù)學(xué)文化牽手中考試題

文︳陳金紅 黃克勤 羅先文

中國古代數(shù)學(xué)燦爛輝煌，通過我國古代數(shù)學(xué)文化特別是數(shù)學(xué)史及其著作能夠喚起學(xué)生的民族自豪感和自主創(chuàng)新精神。近年來，作為教學(xué)指南針的各地的中考試題中，體現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)文化的試題時(shí)有出現(xiàn)。命題者通過設(shè)計(jì)相關(guān)的有歷史背景的題目，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值，寓德育于考試之中，值得稱道。試摘一二賞析如下。

一、古代數(shù)學(xué)成果鼓舞人心

例1（2016孝感市）下圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為______。

賞析：例1主要考查勾股定理、全等三角形的判定、銳角三角函數(shù)的定義。設(shè)小正方形EFGH的面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，小正方形EFGH邊長(zhǎng)是a，則大正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，設(shè)AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用三角函數(shù)定義即可解答。

我國古代數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，他以“弦圖”為基本圖形，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理，其中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義?！跋覉D”因此被選為在北京召開的第22屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)圖案。以上考題選取這一背景，向?qū)W生充分展示我國古代數(shù)學(xué)家的杰出成果，有利于激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和學(xué)習(xí)激情，情感教育與考試功能實(shí)現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合。

二、古代名題引人入勝

例2（2016連云港市）某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房。（1）求該店有客房多少間？房客多少人？（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加。每間客房收費(fèi)20錢，且每間客房最多入住4人，一次性定客房18間以上（含18間），房費(fèi)按8折優(yōu)惠。若詩中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?/p>

賞析：例2主要的考點(diǎn)是二元一次方程組的應(yīng)用。（1）設(shè)該店有客房x間，房客y人，根據(jù)題意得出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)題意計(jì)算：若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，求出所需付的房費(fèi)；若一次性定客房18間，求出所需付的房費(fèi)，再進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論。

例2與我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”名題一樣都是反映了二元一次方程（組）研究的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，又體現(xiàn)了二元一次方程（組）與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，不少教材都將其收錄，目的是在教學(xué)中向?qū)W生暗示我國古代數(shù)學(xué)的杰出成就。這里作為一道考題出現(xiàn)，解法的多樣性（算術(shù)法、方程法）也利于培養(yǎng)學(xué)生多途徑解決問題的能力。

三、經(jīng)典與數(shù)學(xué)珠聯(lián)璧合

例3（2016紹興市）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”。如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)。由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）。

A.84B.336C.510D.1326

賞析：例3主要考查用數(shù)字表示事件。類比于現(xiàn)在我們的十進(jìn)制滿十進(jìn)一，可以表示滿七進(jìn)一的數(shù)為：千位上的數(shù)×73+百位上的數(shù)×72+十位上的數(shù)×7+個(gè)位上的數(shù)。解答為：1×73+3×72+2× 7+6=510，故選C。《易經(jīng)》作為中華傳世名著，對(duì)中國的哲學(xué)、文學(xué)、政治、法律、天文、歷法等都產(chǎn)生了重要影響，先哲們那豐富而深刻、極富哲理性的思想值得我們認(rèn)真品讀。

四、游戲、故事試題智趣相宜

例4（2006安徽省）田忌賽馬是一個(gè)為人熟知的故事。傳說戰(zhàn)國時(shí)期，齊王與田忌各有上、中、下三匹馬，同等級(jí)的馬中，齊王的馬比田忌的馬強(qiáng)。有一天，齊王要與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹，每匹馬賽一次，贏得兩局者為勝。看樣子田忌似乎沒有什么勝的希望，但是田忌的謀士了解到主人的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬要強(qiáng)……

（1）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣比賽，那么田忌的馬如何出陣，田忌才能取勝？（2）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣比賽，而田忌的馬隨機(jī)出陣比賽，田忌獲勝的概率是多少？（要求寫出雙方對(duì)陣的所有情況）

賞析：（1）由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)，當(dāng)齊王的馬按上、中、下順序出陣時(shí)，田忌的馬按下、上、中的順序出陣，田忌才能取勝；

（2）當(dāng)田忌的馬隨機(jī)出陣時(shí)，雙方馬的對(duì)陣情況如下：

齊王的馬上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的馬上中下上下中中上下中下上下上中下中上

雙方馬的對(duì)陣中，只有一種對(duì)抗情況田忌能贏，所以田忌獲勝的概率是

《孫子兵法》產(chǎn)生于春秋末期，是我國春秋時(shí)期軍事斗爭(zhēng)實(shí)踐的理論總結(jié)，運(yùn)籌學(xué)的早期著作，也是對(duì)策論和博弈論的早期萌芽。選取田忌賽馬這一為人熟知的故事作為背景編制的這道考查概率的計(jì)算和應(yīng)用的試題，趣味性很強(qiáng)，有利于緩解考生考場(chǎng)的緊張心理，體現(xiàn)對(duì)考生的人文關(guān)懷。同時(shí)也彰顯了運(yùn)用整體最優(yōu)思想的實(shí)際價(jià)值，趣味性和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性相得益彰。

經(jīng)典歷史原題、名人名題、古典詩詞、游戲故事等能讓學(xué)生充分領(lǐng)略古代數(shù)學(xué)的思想精髓。結(jié)合課程知識(shí)向?qū)W生展現(xiàn)古代數(shù)學(xué)及其理念、思想、方法在人類文化發(fā)展中的重要作用和地位，通過生動(dòng)活潑的形式使學(xué)生感受豐富的數(shù)學(xué)文化熏陶，一方面發(fā)揮了試題的德育功能，另一方面對(duì)引導(dǎo)廣大教師、學(xué)生對(duì)中國古代數(shù)學(xué)文化的關(guān)注具有十分積極的意義，從而積極呼應(yīng)了我國增強(qiáng)文化自信的思想、立德樹人的德育目標(biāo)，落地了學(xué)科核心素養(yǎng)的價(jià)值追求。

【本文系全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題“生命課堂視野下的教學(xué)案例研究”（課題編號(hào)：FHB130512）研究成果】

（作者單位：常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校）