祁 平，于海東，劉 爽，岳麗娟

(東北師范大學物理學院，吉林 長春130024)

基于線性反饋滑模法實現(xiàn)分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步

祁 平，于海東，劉 爽，岳麗娟

(東北師范大學物理學院，吉林 長春130024)

將整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)推廣到分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng).利用線性反饋控制理論和滑?？刂评碚?，設(shè)計了線性反饋滑?？刂破鳎趦H加一項控制器的條件下不但使該分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)達到了同步且縮短了達到同步的時間.數(shù)值仿真結(jié)果表明了該方法的有效性.

分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)；線性反饋法；線性反饋滑模法；混沌同步

在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生各種不同類型的多渦卷混沌吸引子是近年來物理學和信息科學界所研究的熱點之一.1991年，Suykens等[1]首次提出了多渦卷蔡氏混沌吸引子的概念，之后人們對多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生進行了一些研究；王發(fā)強等[2]通過構(gòu)造分段線性函數(shù)在四維系統(tǒng)中產(chǎn)生橫向偶數(shù)個多渦卷；陳仕必等[3]用多項式和階躍函數(shù)構(gòu)造出網(wǎng)格多渦卷；諶龍等[4]提出一種基于平移變換的多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法.現(xiàn)有的文獻中大多數(shù)都是整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法.而整數(shù)階微分是分數(shù)階微分的特例，整數(shù)階混沌系統(tǒng)是對實際混沌系統(tǒng)的理想化處理.利用分數(shù)階微分算子能夠更準確地描述實際系統(tǒng)的動力學特性，由于分數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更復雜的動力學行為，所以將其用于通信保密具有更高的安全性.人們提出了很多分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法，如驅(qū)動-響應同步法[5]、自適應同步法[6]、主動控制同步法[7]、線性反饋同步法[8]、滑?？刂品╗9]等.潘光等[10]提出了一種分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法；孫寧等[11]提出使用新的分數(shù)階滑模面的主動控制法，實現(xiàn)了分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的投影同步.但目前文獻中對分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步研究較少.

本文在蔡氏系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進行改進，產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子，從而有規(guī)律地提高了系統(tǒng)的復雜性，并將整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)推廣為分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，通過線性反饋法對該分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步進行了研究，但同步效果不是十分理想且同步時間較長.因此，提出了線性反饋滑模法，在僅加一項控制器的條件下，對該分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)進行了同步研究.結(jié)果表明，線性反饋滑模法極大地縮短了同步時間.

1 分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)

在Chua系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過增加非線性項構(gòu)造單方向多渦卷混沌系統(tǒng)，其無量綱狀態(tài)方程為

(1)

其中α=15.2，β=18.9，ε=0.7為系統(tǒng)參數(shù)，即非線性函數(shù)為

(2)

圖1 非線性函數(shù)f(x1)圖像

當λ=1，k=1，n=2時，非線性函數(shù)f(x1)的圖像如圖1所示.該非線性函數(shù)由斜率為∞的鍵波所隔開的6個分段線性函數(shù)組成，相應的線性函數(shù)區(qū)即為渦卷區(qū)，在該非線性函數(shù)的作用下可產(chǎn)生由鍵波運動所聯(lián)系的六渦卷運動.經(jīng)分析可知，當λ，k值一定時，改變參數(shù)n的數(shù)值即可產(chǎn)生2n+2個渦卷吸引子.

當λ=1，k=1，n=2和n=3時仿真結(jié)果如圖2所示.

將整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)推廣到分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的方程為：

其中f(x1)為非線性函數(shù)，即

(4)

其中α，β，ε，λ，k為系統(tǒng)參數(shù)，其取值與整數(shù)階系統(tǒng)中參數(shù)取值相同.選取系統(tǒng)的階次q1=q2=q3=0.98，取不同的n值可以得到2n+2個多渦卷混沌吸引子.

(a)n=2六渦卷混沌吸引子

(b)n=3八渦卷混沌吸引子

當n=2時分數(shù)階六渦卷混沌吸引子和當n=3時分數(shù)階八渦卷混沌吸引子如圖3所示.

(a)n=2六渦卷混沌吸引子

(b)n=3八渦卷混沌吸引子

由數(shù)值仿真結(jié)果可見，分數(shù)階混沌系統(tǒng)可得到多渦卷混沌吸引子，拓寬了其在通信保密中的應用.

2 線性反饋法實現(xiàn)分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步

系統(tǒng)(3)為驅(qū)動系統(tǒng)，響應系統(tǒng)為：

其中u為控制器，通過選擇合適的控制器u可使初值不同的響應系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)達到同步.

誤差為

ei=yi-xi.

(6)

則誤差系統(tǒng)為：

(7)

設(shè)控制器為

u=-ke1.

(8)

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(9)

(10)

根據(jù)混沌系統(tǒng)的有界性

(11)

其中

(12)

當k>0時，則Q為正定的，響應系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)達到同步.

選取驅(qū)動系統(tǒng)的初值為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.1，0.1)，響應系統(tǒng)的初值為(y1(0)，y2(0)，y3(0))=(0.8，0.5，0.6)，系統(tǒng)階數(shù)為q1=q2=q3=0.98，k=50，同步結(jié)果如圖4所示.

(a)e1隨時間t變化圖像

(b)e2隨時間t變化圖像

(c)e3隨時間t變化圖像

數(shù)值仿真結(jié)果表明，線性反饋法實現(xiàn)了分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步，但同步效果不是十分理想，較長時間之后才可使驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)達到同步.

3 線性反饋滑模法實現(xiàn)分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步

線性反饋滑模控制器為

u=u1+u2.

(13)

其中u1為線性反饋控制器，u2為滑?？刂破?線性反饋控制器為

u1=-ke1=-k(y1-x1).

(14)

選取分數(shù)階滑模面為

s(e)=CDα-1e(t).

(15)

則

(16)

設(shè)滑模控制律為

(17)

其中p，r為增益，且p>0，r>0，sgn(s)為符號函數(shù)，即

(18)

u2=-C-1(psgn(s)+rs)+α(εf(y1)-εf(x1))-αe2.

(19)

線性反饋滑模控制器為

u=u1+u2=-ke1-C-1(psgn(s)+rs)+α(εf(y1)-εf(x1))-αe2.

(20)

證明考慮如下的Lyapunov函數(shù)為

(21)

則

(22)

當pmin>0，rmin>0時，系統(tǒng)的軌跡在控制律作用下達到滑模面，此時誤差系統(tǒng)為：

(23)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(24)

(25)

其中

(26)

當k>0時，則Q為正定的，響應系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)達到同步，根據(jù)混沌的有界性，在線性反饋滑?？刂破鞯淖饔孟买?qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)可以達到同步.

選取驅(qū)動系統(tǒng)的初值為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.1，0.1)，響應系統(tǒng)的初值為(y1(0)，y2(0)，y3(0))=(0.8，0.5，0.6)，且k=50，p=0.2，r=26，數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示.

(a)e1隨時間t變化圖像

(b)e2隨時間t變化圖像

(c)e3隨時間t變化圖像

線性反饋滑模法較好地實現(xiàn)了分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步，線性反饋滑模法與線性反饋法對比可知，在僅加一項控制器的條件下線性反饋滑模法縮短了2個系統(tǒng)的同步時間.

4 結(jié)論

本文在Chua氏系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造出整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，并將其轉(zhuǎn)變?yōu)榉謹?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，基于線性反饋法和滑模變結(jié)構(gòu)理論，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和滑?？蛇_條件設(shè)計了一個線性反饋滑?？刂破?，在僅加一項控制器的條件下，實現(xiàn)了分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的同步.數(shù)值仿真結(jié)果表明，線性反饋滑模法比線性反饋法的控制效果好，實現(xiàn)同步時間短，控制器相對簡單，易于實現(xiàn)，應用前景廣闊.

[1] SUYKENS J，VANDEWALLE A K. Quasilinear system and design ofn-double control (n=1,2,3,4，…)[J].Circuits Devices & Systems Iee Proceedings G，1991,138(5):595-603.

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[11] 孫寧，張化光，王智良. 基于分數(shù)階滑模面控制的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步[J].物理學報，2011,60(5):050511-1-7.

(責任編輯：石紹慶)

Linearfeedbackslidingmodecontrollerforsynchronizationoffractionalmulti-scrollchaoticsystem

QI Ping，YU Hai Dong，LIU Shuang，YUE Li Juan

(School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

In this paper，the fractional chaotic system is extended from integer order chaotic system.We design a linear feedback sliding mode controller based on the theory of learning feedback control and the theory of sliding mode control.The synchronization of the fractional multi-scroll chaotic systems is achieved.The synchronization time of the fractional multi-scroll chaotic systems is shortened by linear feedback sliding mode control law.The result of numerical simulation shows the effectiveness of the proposed controller law.

fractional multi-scroll chaotic system；linear feedback；linear feedback synovial；chaos synchronization

1000-1832(2017)03-0083-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.018

2016-09-02

國家自然科學基金資助項目(10847110),吉林省自然科學基金資助項目(201115008).

祁平(1986—)，女，碩士研究生；通信作者：岳麗娟(1963—)，女，博士，教授，主要從事非線性混沌控制與同步研究.

TP 271 [學科代碼] 120·20

A