江西省南城縣沙洲中學(xué) 萬 琳

二次函數(shù)解析式的求法

江西省南城縣沙洲中學(xué) 萬 琳

函數(shù)是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，如果要解決實際生活中的數(shù)學(xué)相關(guān)問題，就要建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生可以利用函數(shù)結(jié)合身邊的生活實際中出現(xiàn)的或者類似的一些數(shù)學(xué)問題來分析它，然后想辦法解決。

函數(shù)包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等等。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是不可缺少的一部分，比較抽象。許多學(xué)生學(xué)起來感到很辛苦，覺得里面的內(nèi)容很難理解，很難把握。尤其是二次函數(shù)的綜合運用，學(xué)生往往是無從下手，很無助，很無奈，有時看到題目毫無辦法，只能干瞪眼。

二次函數(shù)是中考的熱點和考查的重點，可以考查學(xué)生的綜合能力，這是學(xué)生最怕、最頭疼的地方。從近幾年中考的情況來看，二次函數(shù)的得分情況不容樂觀。

作為從事教學(xué)工作的一線教師，我們就應(yīng)該認(rèn)真負(fù)責(zé)，檢討自己不足的地方、做得還不夠好的地方。我們應(yīng)該在教學(xué)中小心謹(jǐn)慎，從細(xì)微之處入手，因為細(xì)節(jié)決定成敗。我準(zhǔn)備通過具體的例子讓學(xué)生認(rèn)識二次函數(shù)，探索研究二次函數(shù)解析式的求法。

在初中學(xué)習(xí)過程中，二次函數(shù)的求法形式多樣，方法不一。如何根據(jù)題意，找到一種最簡單而有效的方法，是學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的問題。下面通過舉例結(jié)合習(xí)題來研究探索。

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點為（2，3），且拋物線經(jīng)過點（3，1），那么這條拋物線的解析式是？

解：由圖象頂點為（2,3）設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-2）2+3，

又拋物線經(jīng)過點（3，1），∴1=a（3-2）2+3，∴a= -2，

∴解析式為y= -2（x-2）2+3，即y=-2x2+8x-5。

例2 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是2和-4，頂點的縱坐標(biāo)是3，求此二次函數(shù)的解析式。

分析：此題為二次函數(shù)求解析式中常見的類型，解法較多。

解法一：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)題意，可得：

解法二：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-m）2+3，根據(jù)題意，得：

解法四：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c。

解法五：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意可知，2和-4是方程ax2+bx+c=0的兩個根，∴y=ax2+bx+c=a（x-2）（x+4），

解法六：可以應(yīng)用拋物線的對稱性求出頂點坐標(biāo)，然后再用頂點式來求二次函數(shù)的解析式，更為簡單。

根據(jù)題意可知，拋物線與x軸相交于A（2，0）、B（-4，0）兩點，由拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸為x=-1，則二次函數(shù)的頂點是（-1，3），

結(jié)論：通過以上六種解法我們可以分析比較，得出判斷：解法三和解法四利用了拋物線的對稱性，解法更簡便，解法五和解法六把二次函數(shù)與一元二次方程的知識結(jié)合起來，解法很有新意，讓人眼前一亮。

已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)，或者已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)和頂點的縱坐標(biāo)，或已知拋物線的對稱軸與x軸兩交點的距離和另一坐標(biāo)，或已知拋物線的對稱軸與x軸的一個交點和另一點坐標(biāo)，應(yīng)該采取交點式或頂點式求解，同時必須充分利用拋物線的對稱軸。

例3 已知拋物線經(jīng)過點A（1，0）、B（0,-3），且對稱軸是直線x=2，求此拋物線的解析式。

分析：此題也是一種常見的求二次函數(shù)解析式的題型，方法有多種，我們可以分三種方法加以討論。

解法一：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），列出方程組，求出a，b，c，從而求出其解析式，這是常用方法：

∴二次函數(shù)解析式為y= -x2+4x-3。

解法二：可設(shè)所求函數(shù)為y=a（x-2）2+n（a≠0），由已知條件可列出關(guān)于a、n的方程組，求出a、n，從而求出二次函數(shù)的解析式。

∴y=-（x-2）2+1，即 y=-x2+4x-3。

解法三：根據(jù)題意，可以求出點A（1，0）關(guān)于直線x=2的對稱點的坐標(biāo)是（3，0），然后用交點式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）求其解析式：設(shè)y=a（x-1）（x-3），將B（0，-3）代入得：

-3=a（0-1）（0-3），3a=-3，a=-1，

∴y= -（x-1）（x-3），即y= -x2+4x-3。

例4 已知拋物線的對稱軸是x=-1，它與x軸的兩個交點間的距離是4，與y軸的交點是（0，-3），求此二次函數(shù)的解析式。

分析：此題是求二次函數(shù)解析式中較常見的題目，要讓學(xué)生去討論比較。

解法一：根據(jù)題意和拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0），因為拋物線與y軸的交點是（0，-3），所以可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，可得：

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3。

解法二：根據(jù)已知條件和拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（-3，0），所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+3），即y=ax2+2ax-3a，

∵拋物線與y軸交于點（0，-3），∴-3a=-3，∴a=1，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3。

通過以上幾個例子，我想學(xué)生就不會感到二次函數(shù)解析式的求法有什么難的。激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。