【摘 要】小學(xué)生的學(xué)習(xí)還不能完全擺脫具體形象，需要借助直觀材料學(xué)習(xí)。而活動材料決定著學(xué)生對學(xué)習(xí)過程體驗的豐富性、對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的深入性。設(shè)計并提供適宜的材料，讓學(xué)生在“看得見，摸得著”的觀察、操作、想象等活動中，經(jīng)過動手嘗試、動腦思考、動口交流，才能真正“學(xué)得會，用得上”，建構(gòu)具有個性特征的數(shù)學(xué)理解和認知結(jié)構(gòu)?；顒硬牧系亩鄻?、豐富，可以為不同的學(xué)生提供更多的選擇機會，更廣的思維視角，從而促進學(xué)生的差異發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】同構(gòu)性；干擾性；多樣性；異質(zhì)性；開放性

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）22-0026-05

著名兒童心理學(xué)家皮亞杰曾指出，兒童不是學(xué)會算術(shù)的，而是重新發(fā)明算術(shù)的。說明數(shù)學(xué)概念不是教師能夠直接“告知的”，而是要通過學(xué)生“動作的建構(gòu)”“動作的內(nèi)化”來“再創(chuàng)造”的。鑒于小學(xué)生的年齡特點和認知規(guī)律，他們的學(xué)習(xí)還不能完全擺脫具體形象，需要借助直觀材料學(xué)習(xí)。可以說，活動材料決定著學(xué)生對學(xué)習(xí)過程體驗的豐富性、對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的深入性。

材料是數(shù)學(xué)活動的載體，它本身的特性及由這些特性所規(guī)定的活動方式往往決定著學(xué)生參與學(xué)習(xí)的狀態(tài)。而教師如何選擇、提供有效的活動材料，將直接影響學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)、學(xué)習(xí)興趣的調(diào)動、學(xué)習(xí)經(jīng)驗的獲得、數(shù)學(xué)思想的感悟。教師應(yīng)慎重考慮數(shù)學(xué)活動中的材料選擇，以利于激發(fā)學(xué)生與物質(zhì)材料發(fā)生有效互動，促進學(xué)生積極主動地去發(fā)現(xiàn)、去尋找、去探索。

因此，設(shè)計并提供適宜的材料，讓學(xué)生在“看得見，摸得著”的觀察、操作、想象等活動中，經(jīng)過動手嘗試、動腦思考、動口交流，才能真正“學(xué)得會，用得上”，建構(gòu)具有個性特征的數(shù)學(xué)理解和認知結(jié)構(gòu)?；顒硬牧系亩鄻印⒇S富，可以為不同的學(xué)生提供更多的選擇機會，更廣的思維視角，從而促進學(xué)生的差異發(fā)展。

一、提供同構(gòu)性材料，讓學(xué)生比較，促進學(xué)生差異發(fā)展

【案例】“初步認識多邊形”（“蘇教版”，二上）

1. 活動任務(wù)

思考為什么把這些圖形放在一起？

2. 活動材料

一個一般四邊形（黃色、斜放），一個長方形（藍色、豎放）和一個正方形（綠色、斜放）。

3. 材料分析

雖然是簡單的3個四邊形，但是蘊含的信息卻不少。它們形狀不同、顏色不同、大小不同、位置不同，但是邊數(shù)相同。形狀、顏色、大小、位置是四邊形的非本質(zhì)屬性，邊數(shù)是它的本質(zhì)屬性。

4. 教學(xué)片斷

同樣的素材（學(xué)生將圖形按邊數(shù)分類），不同經(jīng)歷的教師理解卻不一樣，實施效果也不相同。

（1）新手教師

師：為什么把它們放在一起？

生：因為它們都有4條邊。

師：它們的顏色不同，大小也不一樣，像這樣有4條邊的圖形是四邊形。（板書：四邊形 有4條邊）

（2）骨干教師

師：它們的顏色一樣嗎？

生：不一樣。（課件隱去圖形的色彩）

師：它們的大小一樣嗎？

生：不一樣。

師：它們擺放的位置有的是平的，有的是——

生：斜的，歪的。

師：那為什么還把它們放在一起？

生：因為它們都有4條邊。

師：盡管它們的顏色、大小不同，擺放的位置也不一樣，但都有4條邊，所以都是四邊形。（板書：四邊形 有4條邊）

5. 教學(xué)反思

后測發(fā)現(xiàn)，新手教師任教班級畫特殊四邊形的高達61%，說明大多數(shù)學(xué)生建立的是特殊四邊形的表象，對四邊形的認識存在以特殊代替一般的傾向與缺陷，人為地縮小了四邊形的外延，增加了概念的內(nèi)涵。骨干教師任教班級畫一般四邊形的占68.4%，說明大部分學(xué)生對四邊形的圖形已經(jīng)擺脫特殊的束縛，有了更加一般的認識。在學(xué)生畫的四邊形變式圖形中，骨干教師班級占81.6%，新手教師班級占63.4%，說明新手教師班級學(xué)生積累的四邊形表象不及骨干教師班級的豐富、多樣、全面。我們注意到，學(xué)生對四邊形概念的這些外在表征與教師采取的不同提問策略有關(guān)。新手教師教學(xué)中單刀直入，直奔主題地提問，使學(xué)生先入為主，過早過快地注意了圖形的邊數(shù)，而對概念的非本質(zhì)屬性印象不深，造成學(xué)生對四邊形表征的干癟、單調(diào)。骨干教師則欲擒故縱，采取迂回策略提問，經(jīng)過對四邊形概念非本質(zhì)屬性——顏色、大小、位置的逐一剔除、剝離后，然后再聚焦到概念的本質(zhì)屬性——有4條邊，這樣學(xué)生建立的表象才有可能從單調(diào)、刻板、特殊走向豐富、靈動、一般?？梢?，即使是同樣的活動素材，采取不同的教法，促進學(xué)生發(fā)展的程度上也不同。

二、提供多樣性材料，讓學(xué)生選擇，促進學(xué)生差異發(fā)展

【案例】“角的初步認識”（“蘇教版”，二下）

1. 活動任務(wù)

制作角。

2. 活動材料

兩根小棒，一張圓紙片，一根吸管，一幅圖。

3. 材料分析

為了使學(xué)生對角的特征體驗更深刻、把握更準確，特地安排了制作角的操作活動，提供了4種不同的操作材料，如圖2。

提供的材料可謂豐富多樣。從材質(zhì)上看，有塑料的、有紙質(zhì)的；從色彩上看，有綠色的、有紅色的、有黑色的；從操作難度上看，有容易的、有較難的；從操作方式上看，有搭的、有折的、有描的。

4. 教學(xué)片斷

師：（課件依次出示操作材料的圖片，教師逐一加以介紹，同時提示做法）這是兩根小棒，可以用它擺出一個角；這是一張圓紙片，可以用它折出一個角；這是一根吸管，可以用它做出一個角；這是一幅圖，用筆在它上面描出一個角。請組長拿出這些材料，每人選擇一種材料。

小組內(nèi)每人選擇一種材料。

師：為了使制作過程更加順利、有序，老師提出兩點制作要求：（1）每人選擇一份材料制作一個角；（2）做好后，小組成員互相檢查，幫助做得不對的同學(xué)；（3）最后，小組成員互相指一指角的頂點和邊。endprint

學(xué)生小組活動。課堂觀察發(fā)現(xiàn)，選擇小棒的學(xué)生能夠輕而易舉地搭成一個角；選擇吸管的學(xué)生一開始不知怎么辦，忽然靈光乍現(xiàn)，將它一折，形成了一個角，露出了欣喜的神情；選擇圓紙片的學(xué)生大部分折出了一個角，少數(shù)折成了三角形；選擇圖片的學(xué)生，都能從中描出一個角。

師：下面請一組上來匯報一下你們選擇的是什么材料，怎么做成角的？

生：我選擇的是兩根小棒，把它們一頭碰在一起，就組成了一個角。

生：我選擇的是吸管，把它一折就成了一個角。

生：我選擇的是圓紙片，先把它對折，然后再對折，這兒就成了一個角。

生：我選擇的是在圖上畫角（展示作品），這兒是一個角。

師：用圓紙片折角還有其他方法嗎？

生：（展示作品，邊折邊說）我是這樣折的，先這樣折一次，再從這點開始再折一次（角的頂點在圓周上，角的兩條邊是圓的兩條弦）。

生：（展示折成的三角形）我是這樣折的，將圓紙片折了三次。

生（紛紛地）：這是三角形，不是角。

師：雖然三角形中有三個角，但是三角形和角不是一回事。

5. 教學(xué)反思

明確制作要求是操作順利進行的保證。每人選擇一份材料為不同學(xué)生提供了自主選擇機會，照顧了學(xué)生的不同水平，滿足了學(xué)生的心理需求。而小組內(nèi)和小組間的相互交流，則易于將個人的聰明才智轉(zhuǎn)化為集體的共同財富，取得“奇文共欣賞，疑義相與析”之效。如用圓紙片折角，就出現(xiàn)了多種不同的情況：有的是將圓紙片對折再對折，得到的是一個直角扇形，角的頂點在圓心，半徑是角的兩條邊；有的也是將圓紙片折了兩次，不過角的頂點在圓周上，角的兩條邊是兩條弦；還有的是將圓紙片折了3次（在前一種的基礎(chǔ)上又多折了一次），折出的是一個三角形。顯然，最后一種折法把角與三角形混為一談，這和我們之前的學(xué)情調(diào)研結(jié)論是一致的。而學(xué)生出現(xiàn)的此類錯誤，恰恰是幫助學(xué)生明晰概念本質(zhì)，區(qū)分易混概念的極佳素材。

三、提供干擾性材料，讓學(xué)生排除，促進學(xué)生差異發(fā)展

【案例】“認識面積”（“蘇教版”，三下）

1. 活動任務(wù)

限時（5秒）涂色活動：選擇其中一個圖形，將它涂滿顏色。

2. 活動材料

提供了4個圖形：長方形、圓形、心形、角。

3. 材料分析

提供的材料都是圖形。從圖形的邊線看，有直線圖形和曲線圖形；從圖形是否封閉看，有封閉圖形和不封閉圖形；從圖形的形狀看，有規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形。

4. 教學(xué)片斷

師：這些都是我們熟悉的平面圖形，請你們選擇一個圖形，將它涂滿顏色，比一比誰的動作快。限時5秒。（完成在作業(yè)紙上）

（學(xué)生完成后，依次舉手統(tǒng)計選擇①～④號涂色的人數(shù)）

師：為什么沒有同學(xué)選④號？

生：④號圖形沒有封口，沒法涂。

生：如果涂了，就會滿屏。

師：為什么選②的同學(xué)最多呢？

生：因為②號的面最小，涂起來最快！

師：看來，只有封閉的圖形才是有大小的。封閉圖形的大小就是它的面積。

5. 教學(xué)反思

活動是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要渠道，但是不能為活動而活動，要讓活動與思維結(jié)合起來。同樣的素材，同樣的活動，不同的目標指向，效果是截然不同的。上述材料，第一次老師讓學(xué)生全部涂一涂，然后筆者建議改為選擇一個涂一涂，這樣活動目的就非常明確。由于要很快涂滿，絕大多數(shù)學(xué)生選擇了圓形，因為它最小，這是學(xué)生的生活常識；沒有學(xué)生選擇角，因為它“沒有封口”“如果涂了，就會滿屏”，學(xué)生有這樣的電腦畫圖經(jīng)驗。接著，圍繞選擇圖形原因的追問、質(zhì)疑、討論、交流、反思、總結(jié)，學(xué)生理解了“封閉的”“圖形是有大小的”這兩個要素，從而能深入地把握“面積”概念。這樣的選擇性學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生提供了一個連續(xù)不斷的主動建構(gòu)過程。

四、提供異質(zhì)性材料，讓學(xué)生操作，促進學(xué)生差異發(fā)展

【案例】“認識面積”（“蘇教版”，三下）

1. 活動任務(wù)

比較正方形與長方形紙片的大小。

2. 活動材料

提供了兩張紙片（分別是正方形、長方形的）、一張透明方格紙、小圓片和小方塊若干個。

3. 材料分析

提供的材料有不透明的紙片，還有透明的方格紙。從大小看，有大的紙片和小的紙片；從形狀看，有方的和圓的；從是否透明看，有透明的和不透明的；從顏色看，有藍色、黃色的，有紅色、綠色的，還有其他顏色的。

4. 教學(xué)片斷

學(xué)生在運用觀察法、重疊法比較無果后——

師：無法確定時，我們不妨動手做一做再去思考。老師給大家準備了一些材料（兩個圖形、透明方格紙、小圓片、小方塊）。

請看活動建議：（1）選擇一種材料，驗證自己的想法；（2）可以擺一擺、數(shù)一數(shù)，折一折；（3）完成后再想想，還有其他方法驗證嗎？

學(xué)習(xí)小組活動5分鐘，其間教師巡視觀察，了解、收集代表性的方法，然后選擇幾個小組展示匯報。

組1：我們貼的小圓片（如圖5）。藍色正方形上貼了9個，黃色長方形上貼了8個，我們的結(jié)論是正方形的面積比長方形的面積大。

師：用小圓片這個較小的面積去測量較大的面積。能不能說正方形面積就是9個小圓片那么大？

生：不能。貼上圓片之后，還有一些空的地方。圖形的面積比9個圓片的面積大。

組2：我們用小方塊貼上去比的（如圖6）。藍色正方形有9個小方塊大，黃色長方形有8個小方塊大，正方形面積比長方形面積大。

師：一邊是9，一邊是8。9比8大，很直觀。

組3：我們用方格紙覆蓋在圖形上，也發(fā)現(xiàn)正方形面積比長方形面積大（如圖7）。endprint

師：把方格紙覆蓋在圖形上，數(shù)出小方格的個數(shù)就能方便地進行比較了。

組4：先把兩個圖形重疊在一起，再把多余的地方折起來。接著對比多余的地方（如圖8）。

組5：我們也用了折的方法。不過，我們把藍色正方形折成了小方塊，黃色長方形也折成了小方塊。折好后，兩個小方塊一樣大。再數(shù)出兩個圖形各有9個和8個小方塊（如圖9）。

師：我們回過頭來再看一看大家想到的這幾種方法（課件展示上面3種方法），不管是用小圓片拼，還是用小方塊拼，或者是用方格紙覆蓋，最后都是在比較9大于8。將形的大小比較轉(zhuǎn)化為數(shù)的大小比較，數(shù)學(xué)真是很神奇！

5. 教學(xué)反思

多種材料，為學(xué)生活動留下了寬裕的空間，為學(xué)生思考預(yù)設(shè)了多種可能；異質(zhì)材料，為學(xué)生選擇提供了同等的機會，為學(xué)生交流提供了互動資源。比較小圓片與小正方形擺的結(jié)果，可以讓學(xué)生更好地理解面積概念；比較用小正方形密鋪與用透明方格紙覆蓋，可以發(fā)現(xiàn)用方格紙方便；比較用把正方形紙、長方形紙折成若干小正方形與直接用透明方格紙覆蓋，可以讓學(xué)生看出兩種方法異曲同工之處；比較先把兩個圖形重疊再比多余的地方，與用小正方形密鋪，可以看出孩子操作的簡單與思維的靈活。

為學(xué)生提供的豐富性、異質(zhì)性材料，讓他們經(jīng)歷觀察、重疊、割補、用方格紙覆蓋、數(shù)小方格等各種活動，最終將圖形的大小比較歸結(jié)到數(shù)的大小比較。數(shù)形合一，化繁為簡，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美。

五、提供兼容性材料，讓學(xué)生同化，促進學(xué)生差異發(fā)展

【案例】“認識分數(shù)（二）”練習(xí)（“蘇教版”，三下）

1. 活動任務(wù)

用分數(shù)表示線段、直尺、人民幣。

2. 活動材料

呈現(xiàn)平均分成10份的長方形圖。

3. 材料分析

長方形圖學(xué)生非常熟悉，它介于抽象的線段和具體的實物之間，具有半直觀性和半抽象性。提供的平均分成10份的長方形圖，雖然簡單，但是它卻具有很強的包攝性和靈活的可變性。說它具有很強的包攝性，是因為它與所有具有十進關(guān)系的物體同構(gòu)；說它具有靈活的可變性，是因為它向上可以演變?yōu)槌橄蟮木€段，向下可以還原為具有十進關(guān)系的長度單位、貨幣單位。

4. 教學(xué)片斷

師：（出示長方形圖 ）它被平均分成了多少份？我們一起數(shù)一數(shù)。

生（齊）：1、2、3……10。

師：（指圖）長方形圖平均分成10份，每份是它的幾分之幾？

生：十分之一。

師：（指圖）三份呢？

生：十分之三。

師：三份為什么是十分之三？

生：三份是三個十分之一。

師：九份呢？

生：十分之九。

師：那么，我們可以說，長方形圖平均分成10份，幾份就是它的——

生（齊）：十分之幾。

師：如果把這個長方形壓扁，最后就變成了一條——

生：線段。

師：（出示線段圖 ）每份是它的幾分之幾？

生：十分之一

師：（指圖）四份呢？

生：十分之四。

師：七份呢？

生：十分之七。

師：也就是說，一條線段平均分成10份，幾份就是它的——

生（齊）：十分之幾。

師：（指長方形圖 ）這幅圖像什么學(xué)具？

生：直尺。

師：那我標上刻度

（在圖中標上0、1、2……10厘米）。10厘米等于——

生：1分米。

師：那么1厘米是1分米的幾分之幾？

生：十分之一。

師：為什么？

生：1分米=10厘米，1厘米是10厘米的十分之一，就是1分米的十分之一。

師：2厘米是1分米的幾分之幾？

生：十分之二。

師：8厘米呢？

生：十分之八。

師：一句話，幾厘米就是1分米的——

生：十分之幾。

師：如果換成人民幣單位

呢？1分是1角的幾分之幾？

生：十分之一。

師：六分呢？

生：十分之六。

……

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)，不管是長方形、線段，還是長度單位、貨幣單位，只要符合什么條件，就可以用十分之幾表示？

生：只要平均分成10份，幾份就是它的十分之幾。

5. 教學(xué)反思

這是學(xué)生學(xué)習(xí)“分數(shù)的初步認識（二）”后教材編排的內(nèi)容。顯然，教材這樣安排起著承上啟下的作用，既是對分數(shù)有關(guān)內(nèi)容的溫習(xí)，又可以通過不同素材、相同結(jié)構(gòu)內(nèi)容的聚化，為后續(xù)學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認識”做好相應(yīng)的知識準備，達到知新的目的。但是，如果孤立地看待這些內(nèi)容，機械地使用這些素材，則不僅學(xué)生學(xué)習(xí)過程味同嚼蠟，了無趣味，而且會大大地減弱習(xí)題承載的功能，達不到預(yù)期目的。案例中，用長方形模型把教材中各類素材統(tǒng)整起來，上鉤下連，以整體、高位、聯(lián)系的視角處理教材，經(jīng)過動態(tài)、變化、有序的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)具體內(nèi)容外在形式變化下內(nèi)在數(shù)學(xué)本質(zhì)的不變。這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅因為素材、內(nèi)容不斷變化而饒有興致，而且因為建立了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成了壓縮的、穩(wěn)定的認知結(jié)構(gòu)，理解更加深刻。

參考文獻：

[1] 林俊.新手教師和專家教師概念教學(xué)關(guān)注點差異分析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016，（10）.

[2] 吳克勤.數(shù)學(xué)活動材料選擇應(yīng)該生活化[J].學(xué)前教育研究，2001，（2）.

[3] 李薇倩.淺談數(shù)學(xué)活動中操作材料的一物多用性[J].陜西教育，2014，（3）.

[4] 付新景.在數(shù)學(xué)活動中操作材料的有效選擇[J].時代教育（教育教學(xué)版），2010，（9）.

[5] 居童梅.數(shù)學(xué)活動操作材料的選擇淺探[J].廣西教育A（小教版），2013，（9）.

（編輯：趙 悅）endprint