張培培

摘 要：動(dòng)態(tài)問(wèn)題是中考題里常見的題型，涉及點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)等問(wèn)題，對(duì)于這類需要一定想象空間的問(wèn)題，我們很多同學(xué)解決起來(lái)較為困難。往往覺得“未見其題，先怕其分”，看到這些題目心理上首先就很緊張，本文通過(guò)例題分析，探討這類問(wèn)題的解決方法。

關(guān)鍵詞：牽一發(fā)動(dòng)其身 靜觀其變 有始有終

一、問(wèn)題背景

“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”是各地中考?jí)狠S題經(jīng)常出現(xiàn)的題型，它是指情境中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)凇熬€”（線段、射線或弧線）上或“面”上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.這類問(wèn)題題型繁多、題意創(chuàng)新、綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，能靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題. 解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類畫出直觀圖形.

二、例題解析

歷年中考?jí)狠S題中常常會(huì)出現(xiàn)由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起的圖形變化或重疊面積類的問(wèn)題，這一類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，考查的數(shù)學(xué)思想種類多，是大部分同學(xué)覺得比較難以解決的一類問(wèn)題，我們通過(guò)以下兩個(gè)例題來(lái)研究對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題應(yīng)該怎么去分析和入手.

例1.（2014年徐州28題）如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O，點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點(diǎn)G，連接CG.

（1）試說(shuō)明四邊形EFCG是矩形；

（2）當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中；

①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說(shuō)明理由；

②求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng).

分析：動(dòng)態(tài)問(wèn)題無(wú)論是“點(diǎn)動(dòng)”還是“線動(dòng)”都需要抓住三個(gè)“核心”.三、“牽一發(fā)動(dòng)全身”，二、“靜觀其變”，三、“有始有終”

分解核心一：所謂“牽一發(fā)動(dòng)其身”是指必須明確問(wèn)題中是誰(shuí)的運(yùn)動(dòng)引起的哪些在運(yùn)動(dòng)、在改變.本題中由于點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動(dòng)引起⊙O和矩形EFCG的大小以及位置改變.

分解核心二：所謂“靜觀其變”是指明確在變化過(guò)程的“靜態(tài)量”，也就是沒(méi)有發(fā)生改變的線段，角，圖形形狀，大小等等。點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有改變的是：①直徑CE所對(duì)的兩個(gè)圓周角∠CFE和∠GEF是直角不變，結(jié)合條件EG⊥EF，則解決問(wèn)題（1）四邊形EFCG是矩形.；② D點(diǎn)始終在⊙O上，射線BD與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)必為D，因此射線BD與⊙O相切時(shí)， OD⊥BD即如下圖所示；③∠CEF與∠CDF均為弧CF所對(duì)的圓周角，角度不變，則△CEF∽△BDC不變，則CE最短時(shí)，CF、EF最短，面積隨之最小，因此CE=CD時(shí)，矩形面積有最小值，易求矩形面積；

分解核心三：所謂“有始有終”是指明確點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起迄位置，誰(shuí)先動(dòng)，誰(shuí)后動(dòng)，何時(shí)停等等問(wèn)題。

如上兩圖是E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起迄位置，因此，G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是右圖中線段DG，即CE的長(zhǎng)，通過(guò)相似易求出CE的長(zhǎng).重點(diǎn)分析第（2）題。

解：（2）①存在.

∵∠CEF=∠CDF（同弧所對(duì)的圓周角相等）

∠CFE==∠CDB=90°

∴△CEF∽△BDC

∴CE=CD時(shí)，CF，EF最小，矩形EFCG的面積最??；

CE=AC時(shí)，CF，EF最大，矩形EFCG的面積最大為12

∴

∵AD=4，AB=3，

∴BD=5，

∴，，

∴S矩形EFCG=

∴矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為

②如圖DG=CE=CD×cos∠CEF=

∴點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)為.

[點(diǎn)評(píng)]任何動(dòng)態(tài)問(wèn)題都不是“老虎”，只要抓住關(guān)鍵的入手點(diǎn)，拿大部分分?jǐn)?shù)不是問(wèn)題，首先在心理上要相信自己。

例2. 如圖1，在等腰△ABC中，底邊BC=8，高AD=2，一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)停止；另一動(dòng)點(diǎn)P從距離B點(diǎn)1個(gè)單位的位置出發(fā)，以相同的速度沿BC向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)DC中點(diǎn)停止；已知P、Q同時(shí)出發(fā)，以PQ為邊作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）.

（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，t的值為 ，當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，t的值為 ；

（2）設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分面積為S，求出當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式以及t的取值范圍；

分析：含速度，涉及時(shí)間的點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題，離不開路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，一般隨著時(shí)間的變化，圖形在發(fā)生位置，大小，形狀上的變化。

分解核心一：“牽一發(fā)動(dòng)其身”，隨著Q，P運(yùn)動(dòng)，正方形PQMN向右平移，后逐漸變大。

分解核心二：“靜觀其變”， ①變化過(guò)程中BQ=t，CP=8-t-1=7-t，表示方法不變；②△BQR∽△BDA， △CPT∽△CDA相似關(guān)系不變，則可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出線段長(zhǎng)，從而求圖形面積.

分解核心三：“有始有終”，Q點(diǎn)從B到D，P點(diǎn)從起始到CD的中點(diǎn)，隨著時(shí)間的變化重疊部分發(fā)生五次變化，因此對(duì)于時(shí)間t需要分為五個(gè)時(shí)間段，其中有兩段是題目需要的。

解答如下：（1）1 ，

（2） 當(dāng)0當(dāng)1

當(dāng)2≤t≤4時(shí) S=1

當(dāng)4≤t≤時(shí) S=（t—3）2

當(dāng)

∴S=S△ADC-S△AMS -S△PTC

=4-（5-t）2- （7-t）2

=-t2+t-

（此處為了讓學(xué)生更好的理解對(duì)時(shí)間的分段，特別把五段函數(shù)都列舉了）

[點(diǎn)評(píng)]涉及到時(shí)間的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，關(guān)鍵要分清隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)路程的變化，圖形中哪些在變，哪些不變.

提到壓軸題，提到動(dòng)態(tài)問(wèn)題，我們往往覺得“未見其題，先怕其分”，看到這些題目心理上首先就很緊張，通過(guò)以上兩個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的研究，我們知道從題目的條件入手，分析“三個(gè)核心”信息，會(huì)幫助我們解決很多問(wèn)題.