深圳市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校(518021) 李平

正確解讀2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱中刪去的“幾何證明選講”內(nèi)容

深圳市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校(518021) 李平

我們要正確解讀2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱中刪去的“幾何證明選講”內(nèi)容,“幾何證明選講”內(nèi)容不是不考了,而是考得更加隱蔽了,更加靈活了,更加有深度了.這就要求我們老師在平時的教學(xué)和復(fù)習(xí)備考當(dāng)中,充分應(yīng)用平面幾何知識去化解立體幾何和解析幾何的難度,從而解決問題.

幾何證明選講 立體幾何 解析幾何 化解 難度

在2017年3月進(jìn)行的廣州一?？荚囍?同學(xué)們普遍反映第19題(立體幾何試題)中的第(2)小題不太容易得分,從考后的試卷分析來看(總共統(tǒng)計(jì)了兩個學(xué)校,1043位學(xué)生),該題滿分12分,學(xué)生均分只有4.13分,難度系數(shù)是0.34.一般來說,難度系數(shù)小于0.4是難題,大于0.7是容易題,在0.4和0.7之間屬于中等題.本來應(yīng)該屬于中檔題的立體幾何試題,同學(xué)們得分率偏低的問題到底出在哪里呢？下面我們來共同分析一下這道試題[1].

題目 (2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一),理科數(shù)學(xué)19題)如圖1,在直角梯形ABCD中,AB與BC平行,AB⊥BC,BD⊥DC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

(I)求證:AB⊥平面ADC；

(II)若AD=1,二面角C?AB?D的平面角的正切值為求二面角B?AD?E的余弦值[3].

圖1

圖2

分析 該題的第(1)小題比較簡單,要證線面垂直,只需證如果兩個平面互相垂直,在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另外一個平面即可.

第(2)小題是求二面角的余弦值,我們可以采用向量法和傳統(tǒng)幾何法,但不論采用哪種方法,建立空間直角坐標(biāo)系還是做輔助線構(gòu)造二面角的平面角,對大多數(shù)同學(xué)來說,都應(yīng)該是不困難的,對同學(xué)們來說最大的問題是如何確定線段AB、BD和BC的長.解決這個問題是順利做出本小題的關(guān)鍵.

而解決這個問題只需要觀察折疊前的圖形,得出△ABD～△BDC,利用相似比和勾股定理很容易求出AB、BD和BC的長,從而順利解決第(2)小題.

學(xué)生的第(2)小題得分率之所以偏低,我們通過對學(xué)生的訪問和分析,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對平面幾何證明中的相似比和勾股定理的靈活應(yīng)用還存在很大的問題,學(xué)生應(yīng)用的意識比較差,計(jì)算的能力不夠強(qiáng).這進(jìn)一步說明,在平面幾何證明的教學(xué)中,我們還存在很大的漏洞,缺乏有效的訓(xùn)練.

有些老師說,2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱中不是已經(jīng)刪去了“幾何證明選講”內(nèi)容嗎？確實(shí)正如這些老師所說,隨著新一輪高考和課程改革的逐步推進(jìn),在公布的2017年新高考數(shù)學(xué)考試大綱中,三個選考模塊中刪去了“幾何證明選講”模塊,其余兩個選考模塊的內(nèi)容和范圍不變,考生從“極坐標(biāo)和參數(shù)方程”,“不等式選講”兩個模塊中任選一個作答[4].

雖然三個選考模塊中刪去了“幾何證明選講”模塊,也就是說,“幾何證明選講”模塊不再單獨(dú)作為一道試題出現(xiàn)在新高考試卷中,但并不意味著“幾何證明選講”內(nèi)容不考了,學(xué)生不用學(xué)習(xí)了,教師也不用再講了.在2017年新高考試卷中,“幾何證明選講”內(nèi)容將會以更加隱蔽的形式潛伏在其它試題當(dāng)中,比如融入到立體幾何試題和解析幾何試題當(dāng)中.

因此,在高考復(fù)習(xí)備考中,雖然“幾何證明選講”不再作為選考模塊,但是由于新課程改革以來,初中對平面幾何教學(xué)要求的降低和弱化以及相隔時間較長造成的遺忘,我認(rèn)為除了要講“極坐標(biāo)和參數(shù)方程”,“不等式選講”兩個選考模塊外,一定要講“幾何證明選講”模塊,千萬不要因?yàn)?017年高考數(shù)學(xué)考試大綱中三個選考模塊刪去了“幾何證明選講”模塊,而對他熟視無睹,否則在以后立體幾何和解析幾何復(fù)習(xí)考試當(dāng)中,將會對學(xué)生造成極大的障礙和困擾.同時,在高三的第一輪復(fù)習(xí)當(dāng)中,建議把“幾何證明選講”這部分內(nèi)容,融入到立體幾何和解析幾何的專題復(fù)習(xí)當(dāng)中,增強(qiáng)同學(xué)們解題的靈活性和應(yīng)用性.

所以,我們要正確解讀2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱中刪去的“幾何證明選講”內(nèi)容,“幾何證明選講”內(nèi)容不是不考了,而是考得更加隱蔽了,更加靈活了,更加有深度了.這就要求我們老師在平時的教學(xué)和復(fù)習(xí)備考當(dāng)中,充分應(yīng)用平面幾何知識去化解立體幾何和解析幾何的難度,從而解決問題.

附 2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一),理科數(shù)學(xué)試題19,兩種解答方法:

解 (I)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.因?yàn)锳B?平面ABD,所以DC⊥AB.又因?yàn)檎郫B前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC.

(II)由(I)知AB⊥平面ADC,所以二面角C?AB?D的平面角為∠CAD.又DC⊥平面ABD,AD ?平面ABD,所以DC⊥AD.依題意因?yàn)锳D=1,所以設(shè)AB=x(x＞0),則依題意 △ABD ～ △BDC,所以即解得故

向量法1 如圖3所示,建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz,則D(0,0,0),所 以

圖3

由(I)知平面BAD的法向量n=(0,1,0).設(shè)平面ADE的法向量m=(x,y,z).由

得

幾何法2 如圖4所示.因?yàn)镈C⊥平面ABD,過點(diǎn)E作EF平行DC交BD于 F,則 EF⊥ 平面 ABD.因?yàn)锳D ?平面EFG,所以EF⊥AD.過點(diǎn) F作FG⊥AD于 G,連接 GE,所以 AD⊥ 平面 ABD,因此AD⊥GE.所以二面角B?AD?E的平面角為∠EGF.

由平面幾何知識求得

圖4

所以

為進(jìn)一步說明,充分應(yīng)用平面幾何知識去化解立體幾何和解析幾何的難度,從而解決問題,我再舉例一個利用平面幾何知識化解解析幾何難度的試題[1].

題目2(2014年大綱全國卷,理科數(shù)學(xué)21.)已知拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且

(1)求C的方程；

(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l′與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.

(2)通過題設(shè)分析判斷直線l與x軸不垂直.因直線l過F(1,0),可設(shè)l的方程為x=my+1(m/=0).直線l與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到y(tǒng)1+y2,y1y2關(guān)于m的表達(dá)式,借助弦長公式得(其中A(x1,y1),B(x2,y2)),同理可得(其中M(x3,y3),N(x4,y4)).由題目中的A,M,B,N 四點(diǎn)在同一圓上得到關(guān)于m的方程,進(jìn)而求出m,得到直線l的方程.

解法一 (1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px,得所以

(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m/=0).代入y2=4x,得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

故線段AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),

又直線l′的斜率為?m,所以l′的方程為

將上式代入y2=4x,并整理得

設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則

由于線段MN垂直平分線段AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價于從而即化簡得m2?1=0,解得m=1或m=?1,故所求直線l的方程為x?y?1=0或x+y?1=0[5].

分析二 (1)考查拋物線的定義與方程,借助于p的幾何意義及拋物線的性質(zhì)確定p.

(2)如何簡潔地表達(dá)“A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上”這一關(guān)鍵條件是解決問題的重難點(diǎn).事實(shí)上,選擇利用直線的參數(shù)方程,通過相交弦定理來表達(dá)共圓就可以輕松化解這一難題,并且可以用此方法得到更一般的結(jié)論.

圖5

解法二 (1)略(同解法一)(2)如下圖5所示,設(shè)直線AB的傾斜角為α,因?yàn)锳B⊥MN,直線MN 的傾斜角為90?+α,又直線MN 與直線AB相交于T(x0,y0),則直線AB的參數(shù)方程為

直線MN的參數(shù)方程為,

即為

將直線AB與拋物線C:y2=4x聯(lián)立,有(y0+tsinα)2=4(x0+tcosα),即

由韋達(dá)定理得,

從而由相交弦定理,有|TA|·|TB|=|TN|·|TM|,因此,于是 tan2α =1,tanα = ±1,即α=45?或α=135?.故所求直線l的方程為x?y?1=0或x+y?1=0.

此外,一般地,在對稱軸與坐標(biāo)軸平行或垂直的非圓二次曲線上取四點(diǎn)P,Q,M,N,且直線PQ與直線MN的斜率均存在,那么P,Q,M,N四點(diǎn)共圓的充要條件是直線PQ與直線MN的斜率互為相反數(shù).

第(2)小題的解法二,無論從形式和計(jì)算量來看,都比解法一要簡潔的多,由此,我們可以發(fā)現(xiàn),學(xué)會充分應(yīng)用平面幾何知識去化解立體幾何和解析幾何難度的重要性.

[1]何小亞,2016年數(shù)學(xué)高考全國I卷的認(rèn)知分析和備考及命題建議[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(10).

[2]蘭琦,高考數(shù)學(xué)壓軸題的分析與解[M],杭州:浙江大學(xué)出版社,2016.

[3]2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)理科數(shù)學(xué),2017.

[4]2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱[S],北京:高等教育出版社,2016.

[5]2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國大綱卷)理科數(shù)學(xué),2014.